湖南长沙市第一中学2023年高二上数学期末检测模拟试题含解析

湖南长沙市第一中学2023年高二上数学期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲、乙两名同学同时从教室出发去体育馆打球（路程相等），甲一半时间步行，一半时间跑步；乙一半路程步行，一半路程跑步.如果两人步行速度、跑步速度均相等，则（）A.甲先到体育馆 B.乙先到体育馆C.两人同时到体育馆 D.不确定谁先到体育馆2．已知公差不为0的等差数列中，（m，），则mn的最大值为（）A.6 B.12C.36 D.483．若函数，当时，平均变化率为3，则等于（）A. B.2C.3 D.14．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A.440 B.330C.220 D.1105．已知点与不重合的点A，B共线，若以A，B为圆心，2为半径的两圆均过点，则的取值范围为（）A. B.C. D.6．《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆，令我们印象深刻.如图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为：圆圆，圆若过原点的直线与圆、均相切，则截圆所得的弦长为（）A. B.C. D.7．某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元.设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（）A. B.C. D.8．由小到大排列的一组数据：，其中每个数据都小于，另一组数据2、的中位数可以表示为（）A. B.C. D.9．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为()A. B.C. D.10．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是（）A.极差 B.方差C.平均数 D.中位数11．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则（）A. B.C. D.12．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________14．已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________.15．若在上是减函数，则实数a的取值范围是_________.16．已知为等比数列的前n项和，若，，则_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线上的点P（3，c）），到焦点F的距离为6（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）和焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，求△PAB的面积18．（12分）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围.19．（12分）男子10米气步枪比赛规则如下：在资格赛中，射手在距离靶子10米处，采用立姿，在105分钟内射击60发子弹，总环数排名前8名的射手进入决赛；在决赛中，每位射手仅射击10发子弹．已知甲乙两名运动员均进入了决赛，资格赛中的环数情况整理得下表：环数频数678910甲2352327乙5502525以各人这60发子弹环数的频率作为决赛中各发子弹环数发生的概率，甲乙两人射击互不影响（1）求甲运动员在决赛中前2发子弹共打出1次10环的概率；（2）决赛打完第9发子弹后，甲比乙落后2环，求最终甲能战胜乙（甲环数大于乙环数）的概率20．（12分）已知，，分别是锐角内角，，的对边，，.（1）求的值；（2）若的面积为，求的值.21．（12分）已知圆，直线过定点.（1）若与圆相切，求的方程；（2）若与圆相交于两点，且，求此时直线的方程.22．（10分）已知抛物线过点，是抛物线的焦点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点.（1）求抛物线的方程和焦点的坐标；（2）抛物线的准线上是否存在点使，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设出总路程与步行速度、跑步速度，表示出两人所花时间后比较不等式大小【详解】设总路程为，步行速度，跑步速度对于甲：，得对于乙：，当且仅当时等号成立，而，故，乙花时间多，甲先到体育馆故选：A2、C【解析】由等差数列的性质可得，再应用基本不等式求mn的最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设及等差数列的性质知：，又m，，所以，即，当且仅当时等号成立.所以mn的最大值为.故选：C3、B【解析】直接利用平均变化率的公式求解.【详解】解：由题得.故选：B4、A【解析】由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数，故选A.点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.Ⅱ卷5、D【解析】由题意可得两点的坐标满足圆，然后由圆的性质可得当时，弦长最小，当过点时，弦长最长，再根据向量数量积的运算律求解即可【详解】设点，则以A，B为圆心，2为半径的两圆方程分别为和，因为两圆过，所以和，所以两点的坐标满足圆，因为点与不重合的点A，B共线，所以为圆的一条弦，所以当弦长最小时，，因为，半径为2，所以弦长的最小值为，当过点时，弦长最长为4，因为，所以当弦长最小时，的最大值为，当弦长最大时，的最小值为，所以的取值范围为，故选：D6、A【解析】设直线，利用直线与圆相切，求得斜率，再利用弦长公式求弦长【详解】设过点的直线.由直线与圆、圆均相切，得解得(1).设点到直线的距离为则(2).又圆的半径直线截圆所得弦长结合(1)(2)两式，解得7、D【解析】设该设备第年的营运费为万元，利用为等差数列可求年平均盈利额，利用基本不等式可求其最大值.【详解】设该设备第年的营运费为万元，则数列是以2为首项，2为公差的等差数列，则，则该设备使用年的营运费用总和为，设第n年的盈利总额为，则，故年平均盈利额为，因为，当且仅当时，等号成立，故当时，年平均盈利额取得最大值4.故选：D.【点睛】本题考查等差数列在实际问题中的应用，注意根据题设条件概括出数列的类型，另外用基本不等式求最值时注意检验等号成立的条件.8、C【解析】先根据题意对数据进行排列，然后由中位数的定义求解即可【详解】因为由小到大排列的一组数据：，其中每个数据都小于，所以另一组数据2、从小到大的排列为，所以这一组数的中位数为，故选：C9、A【解析】由题得c=1,再根据△MF2N的周长＝4a＝8得a＝2，进而求出b的值得解.【详解】∵F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝，所以椭圆方程为.故答案为A【点睛】本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10、C【解析】根据茎叶图依次计算甲和乙的平均数、方差、中位数和极差即可得到结果.【详解】甲的平均数为：；乙的平均数为：；甲和乙的平均数相同；甲的方差为：；乙的方差为：；甲和乙的方差不相同；甲的极差为：；乙的极差为：；甲和乙的极差不相同；甲的中位数为：；乙的中位数为：；甲和乙的中位数不相同.故选：C.11、A【解析】根据黄金双曲线的定义直接列方程求解【详解】双曲线中的，所以离心率，因为双曲线是黄金双曲线，所以，两边平方得，解得或（舍去），故选：A12、D【解析】根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、±1【解析】由题意得＝≠，∴a＝－4且c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，由两平行线间的距离公式，得＝，解得c＝2或c＝－6，∴＝±114、【解析】根据的中点是圆心，是半径，即可写出圆的标准方程.【详解】因为和，故可得中点为，又，故所求圆的半径为，则所求圆的标准方程是：.故答案为：.15、【解析】根据导数的性质，结合常变量分离法进行求解即可.【详解】，因为在上是减函数，所以在上恒成立，即，当时，的最小值为，所以，故答案为：16、30【解析】根据等比数列性质得，，也成等比，即可求得结果.【详解】由等比数列的性质可知，，，构成首项为10，公比为1的等比数列，所以【点睛】本题考查等比数列性质，考查基本求解能力，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据抛物线的焦半径公式求得，即可得到抛物线方程；（2）写出直线方程，联立抛物线方程，进而求得弦长|AB|,再求出点P到直线的距离，即可求得答案.【小问1详解】由抛物线的焦半径公式可知：，即得，故抛物线方程为：；【小问2详解】点Q（2，1）和焦点作直线l，则l方程为，即，联立抛物线方程：，整理得，设，则，故，点P（3，c）在抛物线上，则，点P到直线l的距离为，故△PAB的面积为.18、（1）（2）【解析】（1）由“”是“”的充分条件，可得，从而可得关于的不等式组，解不等式组可得答案；（2）“”是“”的必要条件，可得，然后分和两种情况求解即可【小问1详解】由题意得到A＝[1，5]，由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B，则，解得，故实数a的取值范围是.【小问2详解】由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A，当时，2-a＞1+2a，即a＜时，满足题意，当时，即a≥时，则，解得≤a≤1.综上a≤1，故实数a的取值范围是.19、（1）（2）【解析】（1）先求出甲运动员打中10环的概率，从而可求出甲运动员在决赛中前2发子弹共打出1次10环的概率；（2）由于甲比乙落后2环，所以甲要获胜，则乙6环，甲9环或10环，或者乙7环，甲10环，再利用独立事件和互斥事件的概率公式求解即可【小问1详解】由表中的数据可得甲运动员打中10环的概率为，所以甲运动员在决赛中前2发子弹共打出1次10环的概率为【小问2详解】因为甲比乙落后2环，所以甲要获胜，则乙打中6环，甲打中9环或10环，或者乙打中7环，甲打中10环，因为由题意可得乙打中6环的概率和打中7环的概率均为，甲打中9环的概率为，打中10环的概率为，且甲乙两人射击互不影响所以最终甲能战胜乙的概率为20、（1）；（2）4.【解析】（1）由正弦定理即可得答案.（2）根据题意得到，再由关于角的余弦定理和整理化简得，再由的面积，即可求出的值.【小问1详解】由及正弦定理可得.【小问2详解】由锐角中得，根据余弦定理可得，代入得，整理得，即，解得，，解得.21、（1）或；（2）或.【解析】（1）由圆的方程可得圆心和半径，当直线斜率不存在时，知与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，由此可得方程；（2）当直线斜率不存在时，知与圆相切，不合题意；当直线斜率存在时，利用垂径定理可构造方程求得，由此可得方程.【小问1详解】由圆的方程知：圆心，半径；当直线斜率不存