第64讲 极限和导数教案

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相关知识

1.导数的有关概念。(1)定义：

函数y=f(x)的导数f(x)，就是当?x?0时，函数的增量?y与自变量的增量?x的比极限，即f(x)?lim//

?y的?x?yf(x??x)?f(x)?lim。

?x?0?x?x?0?x(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。(3)几何意义：

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。2．求导的方法：(1)常用的导数公式：

C=0（C为常数）；(x)=mx(m∈Q);(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx;(e)=e;(a)=alna

x/

x

x/

x//

m/

m-1

/

(lnx)/?1;x1(logax)/?logae.

x(2)两个函数的四则运算的导数：

(u?v)/?u/?v/;(uv)/?u/v?uv/;/

u/v?uv/?u?(v?0).???2v?v?(3)复合函数的导数：y3.导数的运用：(1)判断函数的单调性。

当函数y=f(x)在某个区域内可导时，假使f(x)>0，则f(x)为增函数；假使f(x)f(x0)）,我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或微小值）。(3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。

A类例题例1求函数的导数

(1)y?1?x(2)y?(ax?bsin2?x)3(3)y?f(x2(1?x2)cosx?1)

(1)解:y??(1?x)?(1?x2)cosx?(1?x)[(1?x2)cosx]?(1?x2)2?cos2x??(1?x2)cosx?(1?x)[(1?x2)?cosx?(1?x2)(cosx)?](1?x2)2cos2x??(1?x2)cosx?(1?x)[2xcosx?(1?x2)sinx](1?x2)2cos2x

(x2?2x?1)cosx?(1?x)(1?x2?)sinx(1?x2)2cos2x(2)解y=μ3

,μ=ax－bsin2

ωx,μ=av－byv=x,y=sinγγ=ωx

y′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′

=3μ2(av′－by′)=3μ2

(av′－by′γ′)

=3(ax－bsin2ωx)2

(a－bωsin2ωx)(3)解法一设y=f(μ),μ=v,v=x2

+1,则

y′x=y′′x=f′(μ)·1－1μμ′v·v2v2·2x

=f′(x2?1)·

112

x2·2x?1=

xf?(x2?1),

x2?1解法二y′=［f(x2?1)］′=f′(x2?1)·(x2?1)′

11=f′(x2?1)·2?2(x+1)2·(x2

+1)′

认真爱心一心-2-

?12

=f′(x?1)·(x+1)2·2x

212=

xx2?1f′(x2?1)

说明此题3个小题分别涉及了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法这是导数中比较典型的求导类型

解答此题的关键点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数

此题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出过错

例2．观测(xn)??nxn?1，(sinx)??cosx，(cosx)???sinx，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。

f(x??x)?f(x)?f?(x)

?x?0?xf(?x??x)?f(?x)f(x??x)?f(x)?limf?(?x)?lim

?x?0?x?0??x??xf(x??x)?f(x)??f?(x)?lim??x?0??解：若f(x)为偶函数f(?x)?f(x)令lim∴可导的偶函数的导函数是奇函数

另证：f??[f(?x)]??f?(?x)?(?x)???f?(x)

∴可导的偶函数的导函数是奇函数

32

例3已知曲线Cy=x－3x+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标

解由l过原点，知k=

y032

(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x0－3x0+2x0,x0∴

y02

=x0－3x0+2x0y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2

又k=

y022

,∴3x0－6x0+2=x0－3x0+2x02x0－3x0=0,∴x0=0或x0=由x≠0,知x0=

2

3232333233∴y0=()－3()+2·=－

2228∴k=

y01=－x04认真爱心一心

-3-

∴l方程y=－

133x切点(，－)428情景再现?x21．y?f(x)???ax?bx?1在x?1处可导，则a?b?x?12．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求以下极限：

f(a?h2)?f(a)f(a?3h)?f(a?h)（1）lim；（2）lim

?h?0?h?02hh

3．设f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)，求f′(1)。

B类例题例4(1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义；

(2)若f(x)在R上可导，且f(x)=-f(x)，求f(0)。

(1)解：假使函数y=f(x)在x=0处的改变量△y与自变量的改变量△x之比

/

?yf(0??x)?f(0)?，当?x?0时有极限，这极限就称为y=f(x)在x=0处的导数。?x?x记作f(0)?/lim?x?0f(0??x)?f(0)。

?x(2)解法一：∵f(x)=f(-x)，则f(△x)=f(-△x)∴f(0)?/lim?x?0f(?x)?f(0)f(??x)?f(0)??lim

?x??x?x?0当?x?0时，有??x?0∴f(0)??//lim??x?0f(??x)?f(0)??f/(0)

??x∴f(0)?0。

解法二：∵f(x)=f(-x)，两边对x求导，得f(x)?f(x)?(?x)??f(x)∴f(0)??f(0)∴f(0)?0。

///////认真爱心一心-4-

链接说明此题涉及对函数在某一点处导数的定义。题（2）可对其几何意义加以解释：由于f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数，它的图象关于y轴对称，因此它在x=x0处的切线关于y轴对称，斜率为互为相反数，点(0,f(0))位于y轴上，且f(0)存在，故在该点的切线必需平行x轴（当f(0)=0时，与x轴重合），于是有f(0)=0。在题（2）的解二中可指出：可导的偶函数的导数为奇函数，让学生进一步思考：可导的奇函数的导函数为偶函数吗？

例5利用导数求和

2n－1*

(1)Sn=1+2x+3x+…+nx(x≠0,n∈N)

23n(2)Sn=C1n+2Cn+3Cn+…+nCn,(n∈N)

*

//

解(1)当x=1时

1Sn=1+2+3+…+n=n(n+1);

2当x≠1时，

x?xn?1∵x+x+x+…+x=,

1?x两边都是关于x的函数，求导得

2

3

nx?xn?1(x+x+x+…+x)′=()′

1?x2

3

n1?(n?1)xn?nxn?1即Sn=1+2x+3x+…+nx=

(1?x)22

n－1

2n(2)∵(1+x)=1+C1nx+Cnx+…+Cnx,

n2

n两边都是关于x的可导函数，求导得

232nn－1n(1+x)n－1=C1+2Cx+3Cx+…+nC,nnnnx令x=1得，n·2

n－1

23n=C1n+2Cn+3Cn+…+nCn,

n－1

2n即Sn=C1n+2Cn+…+nCn=n·2

说明要注意思维的灵活性