小学数学思维训练-工程问题

小学数学思维训练----工程问题一、知识讲解在日常生活中，做某一件事、制造某种产品、完成某项任务、完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量。在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。当工作总量没有具体给出或者不需要给出时，一般的思路：①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间。在解答工程问题时要注意以下几点：1．有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，解题时要细心辨析，层层梳理工作过程、灵活运用基本数量关系。2．涉及到具体数量的工程问题，关键要找到已知的具体数量与对应分率之间的关系，转化为分数应用题来解答。3．对一些有循环周期的工程问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间。4.水管工程问题，注水量或排水量就是工作量，单位时间里的注水量或排水量就是工作效率，水管工程问题与一般工程问题的解题思路基本相同。解题时可以借鉴牛吃草问题的解题思路。二、例题解析例1一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？分析：设这项工程为单位“1”，则甲乙合作的工作效率是1/12，乙丙合作的工作效率为1/15，甲丙合作的工作效率为1/20。因此甲乙丙三队合作的工作效率的两倍为1/12＋1/15＋1/20，所以甲乙丙三队合作的工作效率为（1/12＋1/15＋1/20）÷2＝1/10。因此三队合作完成这项工程的时间为1÷1/10＝10（天）。我们通常把工作总量“一项工程”看成单位“1”。工作效率=工作量÷工作时间=1÷工作时间，即工作时间的倒数。如例1中甲乙两队合作的工作时间为12天，那么工作效率为1/12，它表示甲乙两队一天完成全部工程的1/12。例2甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。审清题意，灵活改编，可以把复杂的、不熟悉的转化为简单的、熟悉的题型，问题也就迎刃而解了。例3师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？分析：师傅加工一个零件用5分钟，工作效率是每分钟加工1/5个零件；徒弟加工一个零件用9分钟，工作效率是每分钟加工1/9个零件。师徒两人工作效率的比是1/5：1/9，由于两人的工作时间一定，根据工作量÷工作效率＝工作时间（一定），工作量与工作效率成正比例。168－x＝168－108＝60（个）．答：师傅加工108个，徒弟加工60个．解法2：由于师徒工作效率的比是1/5：1/9，那么他们工作量的比也是1/5：1/9，因此师傅工作量是徒弟工作量的1/5÷1/9＝9/5倍，徒弟的工作量是单位1。徒弟加工的个数：168÷（1/5÷1/9＋1）＝168÷14/5＝60个师傅加工的个数：60×（1/5÷1/9）＝108个解法3：师傅每分钟加工1/5个，徒弟每分钟加工1/9个，合作的工作效率就是：1/5＋1/9，工作时间=工作量÷工作效率，师徒各自加工的个数，即工作量，等于各自的工作效率乘以工作时间。在工程问题中，工作量一定时工作时间和工作效率成反比，工作效率一定时工作量与工作时间成正比，工作时间一定时工作量与工作效率成正比。利用工程问题中三个基本数量之间的比例关系，从比例的角度思考，可以拓宽工程问题的解题思路，使解题方法更加灵活，适用。例4洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？分析：这是一道从比例角度求解的工程问题，工作效率和工作时间是变量，不变量是计划生产5天后剩下的台数．从工作效率来看，有原来的效率1600÷20＝80台/天，又有提高后的效率80×（1＋25％）＝100台/天．从工作时间上看，有原来计划的天数，要求工作效率提高后还需要的天数．根据工作效率和工作时间成反比例的关系，得：提高后的效率×所需天数＝剩下的台数．解法2：此题还可以转化成正比例。根据实际效率是原来效率的1＋25％＝1.25倍，把原来效率看作单位“1”，实际和原来效率之比是5：4，因为工作效率和工作时间成反比例，所以实际与原来所需时间的比是4∶5，如果设实际还需要x天，原来计划的天数是20－5＝15天，根据实际与原来时间的比等于实际天数与原来天数的比，可以用正比例解答．解法3：（按工程问题解）设完成计划还需x天。1/20×（1＋25％）×x＝1－1/20×51/16×x＝1－1/4x＝12对比三种解法可以发现：解决工程问题的关键就是确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。有些工程问题数量关系比较复杂，可以考虑列方程求解，思路更加简洁。例5蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有1/6池水．如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙…的顺序，轮流各开一小时，多少时间后水开始溢出水池？分析：把水池的容积（即工作量）看作单位“1”，甲、乙、丙、丁的工作效率分别为1/3、1/4、1/5、1/6；可以先求按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流各开一小时（即一个周期）水池进水多少；再求多少时间后水开始溢出水池；由此解答即可．池中已有水量为1/6，且空出1/3的容积：（1－1/6－1/3）÷7/60＝4又2/7即需要5个周期后水池的水量才能达到2/3，。第6个周期的进水量情况：需要注入水量：1－1/6－5×7/60＝1/4甲管还需要注水时间：1/4÷1/3＝3/4（小时）所以，从开始到水溢出共需时间：4×5＋3/4＝20又3/4（小时）答：20又3/4小时后水开始溢出水池。周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期中的工作量、各个工作成员独自的工作量即工作交替顺序，再利用周期规律，使复杂疑难问题变得简单明了。其次要注意算清最后不满一个周期的工作量及所需的工作时间，从而正确解答。三、巩固练习（一）选择题1．一个水池有甲、乙两个进水管。单开甲管1/6小时能注满水池，单开乙管1/10小时能注满水池。如果甲、乙两管同时开启，多少分钟后水池还有1/5尚未注满？（）A.2B.3C.4D.52．一份稿件，甲、乙、丙三人单独打字需要的时间分别是20小时、24小时、30小时，现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用12小时完成，甲只打了多少小时？（）A.2B.3C.4D.5（二）填空题1.一项工作，甲乙两队合作9天完成，乙丙两队合作12天完成，甲丙两队合作需18天完成，现在三队合作需天完成.2.轮船以相同的速度航行，从A城到B城需3昼夜，从B城到A城需4昼夜。小筏从A城漂流到B城，需要昼夜.3．修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修小时.4．某水池可以用甲、乙两水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满。现在规定10小时内必须注满水池，那么甲、乙两管同时注水时间至少要小时.5．一段布，可以做30件上衣，也可做48条裤子。如果先做20件上衣后，还可以做条裤子（三）解答题1、修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？2、一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？3.有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？4．一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？5．甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天?巩固练习答案：（一）选择：1.B（1－1/5）÷（1/10＋1/6）＝3（分钟）2.A[1－（1/24＋1/30）×12]÷1/20＝2（天）（二）填空；1.81÷[（1/9+1/12+1/18）÷2]=8(天)2.6.1÷（）÷2=6（昼夜）3.7.51÷（EQ\F(1,4×6)+EQ\F(1,8×5)）÷2＝7.5小时4.4（1－10×1/12）÷1/24＝4（小时）5.16 48－48÷30×20＝16条（三）解答：1、解：把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则1÷[15×8+110×6]÷6=4（天）或1÷[（15×8+110×6）×6]=4（天）答：4天可以完成。解法二：假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是EQ\F(1,12)×14，比总工作量多了EQ\F(1,12)×14-1=EQ\F(1,6)，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了EQ\F(1,12)-EQ\F(1,20)=EQ\F(1,30)，因此甲做了EQ\F(1,6)÷EQ\F(1,30)=5（天）3、解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.4、解：先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4×60=240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240÷（5×150-8×90）=8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8×8×90，其中90分钟内流入水量是4×90，因此原来水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷（8×13-4）=54（分钟）.所以打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的