定积分学习要点

定积分一、本章学习要求与内容提要(一)学习要求1．理解定积分的概念及其性质．2．了解定积分的几何意义．3．了解变上限的定积分的性质，熟练掌握牛顿莱布尼茨公式．4．掌握定积分的换元法和分部积分法．了解无穷区间上的广义定积分的几何意义，牛顿-莱布尼茨公式，定各分的换元法和分部积分法．重点定积分的概念及定积分的几何意义，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法.难点变上限的定积分，定积分的换元法和分部积分法.(二)内容提要1.曲边梯形所谓曲边梯形是指由曲线、直线和数轴所围成的平面图形.2.定积分的概念与定积分的几何意义定积分的概念设函数y=f(x)在区间［a,b］上有定义，任取分点a=x<x<x<A<x<xTOC\o"1-5"\h\z0 12 n-1 n把区间［a,b］分成n个小区间［x x］(i=1,2A,n)，记为max1<i<max1<i<nAx=x一x(i=1,2,A,n),九\o"CurrentDocument"ii i-1再在每个小区间［x,x］上，任取一点E，取乘积f忆)Ax的和式，即i-1i i ii£f(E)Ax.iii=1如果九T0时上述极限存在(即这个极限值与［a,b］的分割及点E的取法均无关)，则i称函数f(x)在闭区间［a,b］上可积，并且称此极限值为函数f(x)在［a,b］上的定积分，记做Jbf(x)dx，即aJbf(x)dx=lim工f(g)Ax,iia 尢一0.i=1其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，［a，b］称为积分区间，a与b分别称为积分下限与积分上限，符号Jbf(x)dx读做函数f(x)从a到b的定a积分．关于定积分定义的说明：①定积分是特定和式的极限，它表示一个数.它只取决于被积函数与积分下限、积分上限，而与积分变量采用什么字母无关，例如Jn/2sinxdx=Jn/2sintdt，一般地有00Jbf(x)dx=Jbf(t)dtaa②定积分的存在定理：如果f(x)在闭区间［a,b］上连续或只有有限个第一类间断点,则f(x)在［a,b］上可积.定积分的几何意义设f(x)在［a,b］上的定积分为Jbf(x)dx，其积分值等于曲线y=f(x)、直线ax=a,x=b和y=0所围成的在x轴上方部分与下方部分面积的代数和.3．定积分的性质积分对函数的可加性，即Jb[f(x)土g(x)dx]=Jbf(x)dx±Jbg(x)dx,a a a可推广到有限项的情况，即Jb[f(x)±f(x)±A土f(x)]dx=Jbf(x)dx±A±Jbf(x)dx.a12na1an积分对函数的齐次性，即Jbkf(x)dx=kJbf(x)dx (k为常数).aa如果在区间[a,b]上f(x)三1，贝yJb1dx=b—a.a(积分对区间的可加性)如果a<c<b，贝yJbf(x)dx=Jcf(x)dx+Jbf(x)dx.

注意：对于a,b,c三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍有Jbf(x)dx二Jcf(x)dx+fbf(x)dx.a a c(积分的比较性质)如果在区间［a,b］上有f(x)<g(x)，则Jbf(x)dx<Jbg(x)dx.aa(积分的估值性质)设M与m分别是函数f(x)在闭区间［a,b］上的最大值与最小值，则m(b—a)<Jbf(x)dx<M(b—a).a(积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则在区间［a,b］上至少存在一点E，使得Jbf(x)dx二f(Q(b—a).a4．变上限的定积分(1)变上限的定积分当x在［a,b］上变动时，对应于每一个x值，积分Jxf(t)dt就有一个确定的值,aJxf(t)dt因此是变上限的一个函数，记作a①(x)二Jxf(t)dt (a<x<b)，a称函数①(x)为变上限的定积分.(2)变上限的定积分的导数如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则变上限定积分①(x)=Jxa［a,b］上可导，并且它的导数等于被积函数，即(a<x<b)．d① (a<x<b)．—"'(x)=—Jxf(t)dt=f(x)dx dxa5．无穷区间上的广义积分设函数f(x)在［a,+8)上连续，任取实数b>a，把极限limJbf(x)dx称为函数f(x)b-+x>a在无穷区间上的广义积分，记做

J+8f(x)dx二limJbf(x)dx,a bsa若极限存在,则称广义积分J+8f(x)dx收敛;若极限不存在，则称广义积分J+8f(x)dxaa发散．类似地，可定义函数f(x)在(-8,b上的广义积分为Jbf(x)dx二limJbf(x)dx.—8> a—y—8>a函数f(x)在区间(-8,+8)上的广义积分为J+8f(x)dx二Jcf(x)dx+J+8f(x)dx,—8 —8 c其中c为任意实数，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分J+8f(x)dx才是收敛的;—8否则广义积分J+8f(x)dx是发散的.微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，如果F(x)是f(x)的任意一个原函数，则JbJbf(x)dx二F(x)a二F(b)—F(a)，以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿-莱布尼茨公式.定积分的计算(1)定积分的换元法设函数f(x)在［a,b］上连续，令x=申(t)，则有Jbf(x)dxiz2(t)Jpf叩(t)”(t)dt,aa其中函数应满足以下三个条件：①申(a)=a,申(卩)=b；②p(t)在［a,卩］上单值且有连续导数;③当t在［a,卩］上变化时，对应x=p(t)值在［a,b］上变化.上述公式称为定积分换元公式.在应用换元x=p(t)公式时要特别注意：用变换把原来的积分变量x换为新变量t时，原积分限也要相应换成新变量t的积分限，也就是说，换元

的同时也要换限．原上限对应新上限，原下限对应新下限(2)定积分的分部积分公式设函数u(x),v(x)在区间［a,b］上均有连续导数，则JbudvJbudva二(uv)—Jbvdu.a以上公式称为定积分的分部积分公式，其方法与不定积分类似，但结果不同，定积分是一个数值，而不定积分是一类函数．偶函数与奇函数在对称区间上的定积分设函数f(x)在关于原点对称区间［—a,a］上连续，则当f当f(x)为偶函数时当f(x)为奇函数时,f(x)dx二2^af(x)dx,—a 0Jaf(x)dx二0.利用上述结论，对奇、偶函数在关于原点对称区间上的定积分计算带来方便．二、主要解题方法1．变上限的定积分对上限的求导方法TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".sinx, ,例1已知F(x)=J v'1+1dt ,求F(x).x2解F(x)二Jsinx\；TT7dt=J^vT^dt+fsindt\o"CurrentDocument"x2 x2 c=—fx dt+fsin.TT7dt,cc\o"CurrentDocument"- |! I1F(x)=—v'1+x2(2x)+、1+sinx-cosx=—2xY1+x2+\-1+sinx•cosx.小结如果定积分上限是x的函数，那么利用复合函数求导公式对上限求导；如果定积分的下限是x的函数，那么将定积分的下限变为变上限的定积分，利用复合函数求导公式对上限求导；如果复合函数的上限、下限都是x的函数，那么利用区间可加性将定积分写成两个定积分的和，其中一个定积分的上限是x的函数，另一个定积分的下限也是x的函数，都可以化为变上限的定积分来求导．2．利用换元积分法计算定积分的方法

例2计算(1)f4 ",dx,o1+屮x(2)J4sec4xtanxdx.0例2计算(1)f4 ",dx,o1+屮x(2)J4sec4xtanxdx.0解（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限令T=-Jx,x=T2 dx二2tdt当x=0时，T=0，当x=4时，T=2，于是dx=J2上2TdT=J2[4-2t-—]dTo1+\/xo1+T o 1+TLt—T2-41n|l+t|P=4-41n3.n n(2)J4sec4xtanxdx=J4sec3xd(secx)001=—sec4x4小结用换元积分法计算定积分，如果引入新的变量，那么求得关于新变量的原函数后，不必回代，直接将新的积分上下限代入计算就可以了．如果不引入新的变量，那么也就不需要换积分限，直接计算就可以得出结果．3．利用分部积分法计算定积分的方法JBudv=uv|B-JBvdu.A A例3计算（1）J1arctanxdx，0分部积分公式为2)J；2x|lnxdx.e解(1)J10arctanxdx=xarctanx10-J101+x2—dx=4-2ln(1+x2)0=---ln2.4 2（2）由于在丄，1］上lnx<0；在［l,e2］上lnx>0，所以eJ：2x|lnx|dx=J；(一xlnx)dx+Je2xlnxdxe e

=-11lnxd(9+1 xd与ex2 x2 x2 x2=[一Inx+ ]i+[Inx一]4丄2 4e=-11lnxd(9+1 xd与ex2 x2 x2 x2=[一Inx+ ]i+[Inx一]4丄2 4e11111+ )+(e4一 e4+)4e22e2 4 413

+e4.2 4e241 "4

=1-e21小结被积函数中出现绝对值时必须去掉绝对值符号,这就要注意正负号,有时需要分段进行积分.4．广义积分的计算方法例4判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值.(1)I+gx dx , (2)I3丄 dx.0(1+x2)2 0(x-2)2解(1)因为积分区间为无穷区间，所以原式二limIb dx=lim丄Ibd(丄 >=lim[丄]bbT+g0(丄+x2)2 bT+g20(丄+x2)2bT+g2(丄+x2)0=lim[—一丄 +丄]bT+s2(1+b2) 21=2'故所给广义积分收敛，且其值为2•(2)因为xT2时,1Tg，所以x=2为间断点.(x-2)2dx原式二lim12-6161T0+0 (x-2)2+limI362T0+2+62dx(x-2)2lim ]2巧+lim ]3x—20 「T0+x—22+62丄丄 丄=lim[--—]+lim[-1+—]=s,61T0+61 2 -2T0+ 62故广义积分发散．小结由上例可见,对于积分区间是有限的积分,首先要判断是定积分(称常义积分)

3 d3 dx0(x—2)21 1 3x—23一1-2一2错误结果・三、学法建议i.本章的重点是定积分的概念及几何意义.牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法．2．学好本章内容，首先要理解定积分的概念，掌握用定积分的思想分析问题解决问题的方法．要深刻理解微积分基本定理：牛顿-莱布尼茨公式。微积分基本定理，一方面揭