信息安全技术的应用

信息安全技术的应用1.

[1]数学的进展与创新思维数学是一种思维方式,表现了人类思维的本质和特征。几何学的公理化体系具有规律严谨性和对象抽象性从而又具有应用广泛性而素称思维的体操,这一点已得到大家的公认。

数学思维更是当前学术界的常用词,它不仅指数学中的规律思维,还特指与数学亲密相关的思维方式。数学家将这种思维分为左脑管辖的抽象思维、形式化和公理化,右脑管辖的探究性思维、形象思维和直觉思维。目前正在讨论左右脑思维的协作,以期将数学进展成为一种高效率的思维科学。[2]由此不难发觉,假如数学科学家缺乏创新思维,它必阻滞数学家创造或制造新的数学方法、思想和原理,这是千百年来数学进展规律的历史阅历总结。因此要答复数学被发觉还是被创造就必需来考察数学创新思维的一般规律。法国闻名数学家彭加勤在巴黎心理学会上作过一次闻名的演讲,在这一讲演中,关于数学创新思维的过程,彭加勒曾以自己创造富克斯群和富克斯函数理论为例,作过生动的描述。起初,彭加勒对这种函数冥思苦想想了整整两个星期,企图证明它不存在。后来,一天晚上彭加勒说:不同于平常的习惯,我喝了浓咖啡,因而辗转反复,难以入眠,众多思维蜂拥而至,我感到了它们不断地冲突和碰撞,,直到最终,它们一一相连,也就是说,形成了一个稳定的组合体。[3]由此,彭加勒构造出了第一类这种函数。就在此时,他开头了旅行生活,旅途中他忘掉了数学工作。突然在马车踏板上的一刹那,一个思想突然出现在他的脑海里,这个思想就是,他用以定义富克斯函数的变换与非欧几何变换是等价的。对彭加勒的数学创新过程我们可以概括成以下四个阶段:(1)预备阶段,这时是有意识的工作,但经常不能得到预期的结果;(2)酝酿阶段,即临时丢开手头工作,而去干些其他大事,或去休息一下子,而无意识思维却已由此而开动起来;(3)顿悟阶段,此时问题的答案或证明的途径已经出乎预料地突然消失了;(4)整理阶段,马上顿悟时所感觉到的那些结果严格地加以证明,并将其过程准确化,同时又可为下一步讨论作好必要的预备。可见,数学创新思维是由相互联系、相互作用的若干组成局部按肯定方式结合的具有特定功能的有机整体,数学创新的四个阶段是数学熟悉过程的程序化的表达。世界闻名数学家、科学家和哲学家在其科学与方一书中认为,数学直觉并不是每一个人都具有的,有些人或者没有这种如此难以定义的微妙的感觉,或者没有超常的记忆力和留意力,因此,他们肯定不行能理解较高级的数学。[4]更重要的是,在彭加勒看来,只有超常的记忆力和留意力,而没有数学直觉的人,他们能够理解数学,有时还能应用数学,但不能制造数学;而具有这种特别的数学直觉的人,尽管记忆力和留意力毫无非同寻常之处,他们也能理解数学,并且可以成为数学制造者。我国闻名数学家华罗庚、王元创立的用数论方法对多重积分进展数值计算的闻名方法。1958年,王元看到苏联数学家卡拉波夫的一篇论文,该文论述了积分近似计算与蒙特`卡罗方法之关系,之后他立刻找到华老,华先生一眼看出蒙特`卡罗方法的实质就是数论方法。从今,他们走上了用数论方法探究对多重积分进展数值计算的道路。对单重积分由牛顿、车贝契夫、高斯等都做出过出色奉献,若将他们的公式推广到高维情形,则误差将随维数增加而增加,明显这种方法是行不通的。华王二先生随即从二重积分入手,想从中找到突破口,他们仔细分析了卡拉波夫方法的特点:理论较简单且适应范围小。对此,他们大胆提出了一种直接的方法,并要快速找出一组点,适应范围尽可能大。依据华先生的直觉,他认为确定计算二重积分的点即平面上的点。用费波那契数列和黄金分割即可找到,果真如此,王先生依据华先生的想法,很快就证明出来了,对二重积分的近似计算获得了一个完善的靠近公式,发表在1960年的科学记录上,至今仍在实际中广泛应用。从以上实例不难看出,华老是直觉型数学家,王老是规律型数学家。的确说明阿达玛关于数学家之间主要区分是:有些数学家是直觉型的,另一些是规律型论述的正确。由此归结为探讨规律思维和直觉思维在数学进展中的职能问题了,规律思维是数学思维中的主导成份,直觉思维是数学制造中的关键因素,是数学创新过程中的制造型思维。

二、数学既被发觉又被创造在制造性阶段,直觉起着重要作用。一般而言,直觉是才智对客体的把握和内省,其表现往往是灵感和顿悟。由于直觉思维分散着探究者的观看力、思索力,故它本身就是一项严厉的科学活动。而科学发觉很多时候都得力于顿悟一刹那间出现出的灵光,所以它也是创造的艺术、制造的前奏。例如上例中彭加勒创造富克斯群和富克斯函数。数学直觉思维,就是直觉空间对学问空间的作用。该作用一般地说主要表现在两个方面:一是在学问的发觉方面,面对一些数学事实,通过直觉的猜想、想象活动,概括出新命题,这便是直觉归纳问题。一是在学问的证明方面,对于数学问题或猜测出的命题进展解决和证明,这虽然是规律论证的事,但是没有直觉的指引和参加好像是难以完成的,这便是直觉论证问题。在这个发觉过程中也包含了创造因素,表达了直觉的创造功能,然而不管是什么方面的作用,当我们把归纳和论证都看成是对某个问题的解决时,这些作用便可概括成为直觉思维在数学创造上的制造功能。徐利治先生是我国闻名数学家,他在数学讨论中,经常借助于由阅历获得的直观力量,以猜测的方式去探究某些可能取得的成果,例如1964年他在吉林大学任教期间,一度对超越方程求实根问题发生了兴趣,讨论目标是盼望能找到无需估算初值的大范围收敛迭代法。他想到欧拉在寻求闻名的级数和1+1/22+1/32+,+1/n2+,=P2/6时,曾把正弦函数的幂级数绽开式大胆地看成为无限次多项式,从而通过类比法得到了正弦函数的因式分解的无穷乘积公式,最终再把乘积绽开后与幂级数三次幂比拟系数,便成功地解决了雅谷柏努利的级数求和难题,得到了级数1+1/22+1/32+,+1/n2+,之和受欧拉思想方法的重要启发,使徐利治先生联想到拉盖耳迭代公式中的参数n应能令它趋向于]而获得适用于超越方程的迭代方法。再由观看马上看出当时拉氏公式的连续保持合理意义,这样,他便猜到了一个可用以求解超越方程的大范围收敛迭代法。最终,应用整函数论里的阿达玛因式定理,果真证明白上述方法的大范围收敛性。另一方面,很多现代数学家都倾向于成认数学是讨论模式的科学,数学呈现的是世界所应听从的模式之间的关系,所以从远古时期第一个整数概念形成时开头,绵延至今的数学就始终使用规律思维去思索自己的对象,为了使数学能向更高的抽象方向进展,人类便必需实行最牢靠的推理方式,除了保证自己的结果精确无误以外,它还要保证自己能够脱离物理世界而能最终符合世界。这个推理就是规律演绎。从这一点上说,数学只能被规律发觉,特殊是当某些猜想被规律证明出来时,那个数学结果似乎早就存在于那里一样,这时数学应当说是被发觉出来。钱学森先生在其大作关于思维科学一文中说:假如规律思维是线性的,形象思维是二维的,那么灵感思维似乎是三维的。总而言之,在数学创新中,既需要规律思维,也需要直觉思维和灵感思维,而且只有将三者有机地结合起来,才能成为制造数学新成果的源泉。规律思维是数学思维中的主导成份,严密的规律推理是建构数学理论体系的最重要的阶段。是几千年来数学采纳的生长学问最胜利的一种理性方式,最为典型的属欧几里的模式,这种模式即公理化方法,它通过事先选定的一组术语和确定它们特征的一组公理作根底,运用演绎规律的力气,以一系列定理证明的方式呈现、讨论、进展数学学问,这种模式融讨论和整理于一体。充分表达了规律演绎的发觉功能。再次,从数学的学科性质看,它早已被人们确认是科学,但是数学科学与其他自然科学相比,有其独特的品性,它是抽象思维建构出来的模式,并且可以进展一系列的模式运算。在信息化、高科技时代的今日,人们越来越熟悉到,数学不仅是科学,而且还是技术(数学技术)。美国科学院院士J.Glimm说:数学对经济竞争力至为重要,数学是一种关键的普遍适用的,并授予人以力量的技术闻名数学家王梓坤院士认为:数学兼有科学与技术两种品质,这是其他学科所难的,不行不知。科学与技术是有区分的,科学讲求要有所发觉,目标是追求真理,探究和发觉客观存在,是建构关于自然的学问体系,即通常所说的熟悉自然。而技术讲求要有所创造,是改造自然的活动,即通常所说的关于人们做什么和怎样做的方法和手段,具有剧烈的功利主义颜色,其目标是设计和创造自然状态中本不存在,但却为人所需要的过程、程序、装置和产品(追求有效性)。现代数学建立在公理集合论的根底上,但绝大多数数学家讨论的是群、开集等定义在集合论上的构造以及层层定义在它们之上的概念和对象,亦正是这些概念和构造的引入,打算了数学大厦的整体形象,开拓了常规数学讨论的场所,打算了数学进展的总方向。这种引入新的数学概念和构造的富于开创性的工作可以看作一种创造,在引入了一组概念从而定义了一组抽象构造以后,数学工作的中心就变成了弄清这些构造的主要特征,这可以比作发觉的过程。这个过程一般又分提出命题(猜测)和证明命题两步来完成,这两步工作中,最重要的是提出深刻的猜测,从而打算好弄清整个构造的最正确路线,证明这些猜测，则是实际去走这条路,一般而言是根底,也是较缺乏制造性的工作。[8]三、数学与真理史宁中教授的命题在最终追加了一句:/并且请留意到,真理是只能被发觉而不能被创造的。这句话正是本命题独到而深刻之所在,它一针见血地引出了数学与真理之关系。所以要答复这一命题,不得不对有关数学与真理之关系作肯定的探讨,本文无意于全面讨论数学与真理的关系,只想对当前存在的几种倾向,即数学=真理这种熟悉误区作些探讨。依据数学本质的工作最早可追溯到古希腊哲学家柏拉图。多少年来许多数学哲学家作了很多有益的探讨,有的认为数学是处于感性熟悉过渡到理性。康德认为数学是先天综合推断,康德之后,数学进展进入一个新时期,它的重要特点是公理化倾向,这一趋势使大多数数学家形成了数学是一门演绎的科学。拉卡托斯为了避开数学演绎论与阅历的片面性,从分析数学理论的构造入手,提出了数学是一门拟阅历科学。[9]林夏水先生认为:数学是一门演算的科学(其中-演.表示演绎,-算.表示计算或算法,-演算.表示演算这对冲突的对立统一)。[10]还有人认为:数学是思维,数学是猜想。[11]关于这方面的论述还有许多,这些概括都有肯定的道理,对理解数学的本质供应有益的帮忙。本文不再一一列出。在我国的数学和哲学工中有人认为,或至少潜意识地认为,数学=正确,数学=真理,即把正确和真理看成是数学的本质和数学进步的标准。在这样一种观点的导引下,自然而然地产生了一种错误的熟悉:数学的进步就被看成是随着数学的进展,它越来越正确,越来越接近真理,为什么这么说呢?首先,从规律上讲,假如说数学的进步表示它越来越正确或越来越接近真理,那么首先必需知道有一个终极的代表肯定正确或肯定真理的标准存在,然而这一标准不仅是不存在的,而且即使存在我们也不知道它毕竟在哪儿,因此我们无法断定,随着数学的进展,它毕竟是越来越接近,还是越来越远离真理。其次,从数学的真理性看,从罗巴切夫斯基空间开头只具备规律推理上的无冲突性,但后来终究发觉了它的直观模型,并在相对论中得到了应用,这就是说,一个数学的真理性问题,一个数学结论,只要它在规律推理中无冲突性是应当成认它的真理性的。至于能否得到实践的验证,还有时间条件问题,即使假定有些结论永久也不能用到实践中,那么只要它是整个数学科学有机体上一个不行缺少的组成局部,也不应当否认它的真理性。而有些结论,开头在规律构造上并不那么严格,但在实践中得到了有效应用,也应当成认其真理性。欧氏几何在理论上并不严格,甚至消失把任意三角形证明为等腰三角形的谬误,但它在应用上是有效的,因而它是真理。而它理论上的不严格最终也被希尔伯特解决了。通过以上事实我们可以说,规律上的无冲突性和实践中的有效性都可以作为推断数学结论的真理性的标准。[12]这正是数学与真理的本质区分,所以说,我们对数学的最大误会莫过于把数学看作是真理,误认为数学的结论只能靠规律严谨推理得到,从而追求肯定的真理和真心求理的内功路向,这可能也是我们的数学工不敢大胆提出自己科学假说(或叫猜测)的最主要缘由。总之,规律推理在数学中的作用是双重和互补的,它既是数学追求的目标,又是数学为到达目标而采纳的手段。由以上争论我们不难看出,数学这一讨论模式的科学,由于模式客观性和现实客观性的统一,使数学兼具发觉和创造两种特性,正是这两种特性使数学在获得模式真理性的同时也就自动在某种意义上获得了现实真理性,并最终使这两种真理性到达完全全都,检验数学真理性的标准既可以是规律上的无冲突性也可以是实践中的有效性,而通常意义下的真理其检验标准只能正如邓小平同志的名言:实践是检验真理的惟一标准。因此，数学既能发觉又能创造,真理只能发觉而不能创造。

在中国古代，按所提出的宇宙模式的不同，天文学共有3家学说，“盖天说”是其中之一，而《周髀算经》是“盖天说”的代表。这派学说主见：天像盖笠，地法覆盆（天空如斗笠，大地像翻扣的盆）。

据考证，现传本《周髀算经》大约成书于西汉时期（公元前1世纪）为赵君卿所作，北周时期甄鸾重述，唐代李淳风等注。历代很多数学家都曾为此书作注，其中最闻名的是唐李淳风等人所作的注。《周髀算经》还曾传入朝鲜和日本，在那里也有不少翻刻解释。

从所包含的数学内容来看，书中主要叙述了学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比拟简单的分数计算等。

书中有矩(一种量直角、画矩形的工具)的用途，勾股定理及其在测量上的应用，相像直角三角形对应边成比例定理等数学内容．

在《周髀算经》中还有开平方的问题，等差级数的问题,使用了相当繁复的分数算法和开平方法,以及应用于古代的“四分历”计算的相当简单的分数运算．还有相当繁杂的数字计算和勾股定理的应用。

又如《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，亲密联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后中国数学的作大体实行两种形式：或为之作注，或仿其体，例着书；甚至西算传入中国之后，人们着书立说时还经常把包括西算