江苏省南京市南京一中2023-2024学年高二上数学期末教学质量检测模拟试题含解析

江苏省南京市南京一中2023-2024学年高二上数学期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，，若，则实数（）A. B.C. D.2．命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.a≥4 B.a≤4C.a≥5 D.a≤53．中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为，在逆水中的速度为，则游船此次行程的平均速度V与的大小关系是（）A. B.C. D.4．已知数列中，，当时，，设，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.5．若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为（）A. B.C. D.6．（一）单项选择函数在处的导数等于（）A.0 B.C.1 D.e7．等比数列的公比，中有连续四项在集合中，则等于（）A. B.C D.8．已知直线：恒过点，过点作直线与圆：相交于A，B两点，则的最小值为（）A. B.2C.4 D.9．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，过作轴的平行线交椭圆于、两点，为坐标原点，双曲线的虚轴长为，且以、为顶点，以直线、为渐近线，则椭圆的短轴长为（）A. B.C. D.10．如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，中点，，则（）A.B.C.D.11．已知双曲线的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A. B.C. D.12．设为数列的前n项和，，且满足，若，则（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，则___________.14．已知是等差数列，，，设，数列前n项的和为，则______15．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为_________16．函数定义域为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）篮天技校为了了解车床班学生的操作能力，设计了一个考查方案；每个考生从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成零件加工，规定：至少正确加工完成其中个零件方可通过．道备选题中，考生甲有个零件能正确加工完成，个零件不能完成；考生乙每个零件正确完成的概率都是，且每个零件正确加工完成与否互不影响（1）分别求甲、乙两位考生正确加工完成零件数的概率分布列（列出分布列表）；（2）试从甲、乙两位考生正确加工完成零件数的数学期望及两人通过考查的概率分析比较两位考生的操作能力18．（12分）已知，p：，q：（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围19．（12分）如图，四棱台的底面为正方形，面，（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线m与平面所成角的正弦值20．（12分）已知三角形的内角所对的边分别为，且C为钝角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面积.21．（12分）已知双曲线（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围22．（10分）如图，已知等腰梯形，，为等腰直角三角形，，把沿折起（1）当时，求证：；（2）当平面平面时，求平面与平面所成二面角的平面角的正弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】先根据题意求出，然后再根据得出，最后通过计算得出结果.【详解】因为，，所以，又，，所以，即，解得.故选：.【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算及向量垂直的相关性质，熟记运算法则即可，属于常考题型.2、C【解析】先要找出命题为真命题的充要条件，从集合的角度充分不必要条件应为的真子集，由选择项不难得出答案【详解】命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，恒成立即只需，即命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的的充要条件为，而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知C符合题意.故选：C3、A【解析】求出平均速度V，进而结合基本不等式求得答案.【详解】易知，设奥运公园码头到漕运码头之间的距离为1，则游船顺流而下的时间为，逆流而上的时间为，则平均速度，由基本不等式可得，而，当且仅当时，两个不等式都取得“=”，而根据题意，于是.故选：A.4、A【解析】根据递推关系式得到，进而利用累加法可求得结果【详解】数列中，，当时，，，，，且，，故选：A5、D【解析】判断点M与椭圆的位置关系，再借助点差法求出直线AB的斜率即可计算作答.【详解】显然点椭圆内，设点，依题意，，两式相减得：，而弦恰好被点平分，即，则直线AB的斜率，直线AB：，即，所以所在的直线方程为.故选：D6、B【解析】利用导数公式求解.【详解】因为函数，所以，所以，故选；B7、C【解析】经分析可得，等比数列各项的绝对值单调递增，将五个数按绝对值的大小排列，计算相邻两项的比值，根据等比数列的定义即可求解.【详解】因为等比数列中有连续四项在集合中，所以中既有正数项也有负数项，所以公比，因为，所以，且负数项为相隔两项，所以等比数列各项的绝对值单调递增，按绝对值排列可得，因，，，，所以是中连续四项，所以，故选：C.8、A【解析】根据将最小值问题转化为d取得最大值问题，然后结合图形可解.【详解】将，变形为，故直线恒过点，圆心，半径，已知点P在圆内，过点作直线与圆相交于A，两点，记圆心到直线的距离为d，则，所以当d取得最大值时，有最小值，结合图形易知，当直线与线段垂直的时候，d取得最大值，即取得最小值，此时，所以.故选：A.9、C【解析】不妨取点在第一象限，根据椭圆与双曲线的几何性质，以及它们之间的联系，可得点的坐标，再将其代入椭圆的方程中，解之即可【详解】解：由题意知，在椭圆中，有，在双曲线中，有，，即，双曲线的渐近线方程为，不妨取点在第一象限，则的坐标为，即，将其代入椭圆的方程中，有，，解得，椭圆的短轴长为故选：10、D【解析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.【详解】，故选：D11、A【解析】根据离心率及a，b，c的关系，可求得，代入即可得答案.【详解】因为离心率，所以，所以，，则，所以C的渐近线方程为.故选：A12、B【解析】由已知条件可得数列为首项为2，公差为2的等差数列，然后根据结合等差数列的求和公式可求得答案【详解】在等式中，令，可得，所以数列为首项为2，公差为2的等差数列，因为，所以，化简得，，解得或（舍去），故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由的导数为，将代入，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.14、-3033【解析】先求得，进而得到，再利用并项法求解.【详解】解：因为是等差数列，且，，所以，解得，所以，则，所以，，，，.故答案为：-303315、##【解析】根据给定条件探求出椭圆长轴长与其焦距的关系即可计算作答.【详解】设椭圆长轴长为，焦距为，即，依题意，，而直线是圆的切线，即，则有，又点在椭圆上，即，因此，，从而有，所以椭圆的离心率为.故答案为：16、【解析】根据函数定义域的求法，即可求解.【详解】解：,解得,故函数的定义域为:.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）分布列见解析（2）甲的试验操作能力较强，理由见解析【解析】（1）设考生甲、乙正确加工完成零件的个数分别为、，则的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，计算出两个随机变量在不同取值下的概率，可得出这两个随机变量的概率分布列；（2）计算出、、、的值，比较、的大小，以及、的大小，由此可得出结论.【小问1详解】解：设考生甲、乙正确加工完成零件的个数分别为、，则的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，，，，所以，考生甲正确加工完成零件数的概率分布列如下表所示：，，，，所以，考生乙正确加工完成零件数的概率分布列如下表所示：【小问2详解】解：，，，，所以，，从做对题的数学期望分析，两人水平相当；从通过考查的概率分析，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的试验操作能力较强.18、（1）（2）或【解析】（1）根据命题对应的集合是命题对应的集合的真子集列式解得结果即可得解；（2）“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，等价于与一真一假，分两种情况列式可得结果.【详解】（1）因为p：对应的集合为，q：对应的集合为，且p是q的充分不必要条件，所以，所以，解得.（2），当时，，因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以与一真一假，当真时，假，所以，此不等式组无解；当真时，假，所以，解得或.综上所述：实数x的取值范围是或.【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数取值范围，一般可根据如下规则转化：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）：连结交交于点O，连结，，通过四棱台的性质以及给定长度证明，从而证出，利用线面平行的判定定理可证明面；（2）利用线面平行的性质定理以及基本事实可证明，即求与平面所成角的正弦值；通过条件以及面面垂直的判定定理可证明面面，则为与平面所成角，利用余弦定理求出余弦值，即可求出正弦值.【详解】（1）证明：连结交交于点O，连结，，由多面体为四棱台可知四点共面，且面面，面面，面面，∴，∵和均为正方形，，∴，所以为平行四边形，∴，面，面，∴平面（2）∵面，平面，平面，∴，又∵，∴∴求直线m与平面所成角可转化为求与平面所成角，∵和均为正方形，，且，∴，，∴，又∵面，∴∴面，∴面面，由面面，设O在面的投影为M，则，∴为与平面所成角，由，可得，又∵，∴∴，直线m与平面所成角的正弦值为.【点睛】思路点睛：（1）找两个平面的交线，可通过两个平面的交点找到，也可利用线面平行的性质找和交线的平行直线；（2）求直线和平面所成角，过直线上一点做平面的垂线，则垂足和斜足连线与直线所成角即为直线和平面所成角.20、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理边化角，可求得角的正弦，由同角关系结合条件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出边的长，进一步求得面积【小问1详解】因为，由正弦定理得因，所以.因为角为钝角，所以角为锐角，所以【小问2详解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合题意舍去，故的面积为=21、（1）焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为；（2）.【解析】（1）根据双曲线方程确定，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）先求（用表示），再根据解不等式得结果.【详解】（1）当时，双曲线方程化为，所以，，，所以焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为.（2）因为，所以，解得，所以实数的取值范围是【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点E，连，证明四边形为平行四边形，从而可得为等边三角形，四边形为菱形，从而可证，，即可得平面，再根据线面垂直的性质即