内蒙古自治区北京八中乌兰察布分校2023年数学高二上期末调研模拟试题含解析

内蒙古自治区北京八中乌兰察布分校2023年数学高二上期末调研模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，内角所对的边为，若，，，则（）A. B.C. D.2．在一次体检中，发现甲、乙两个单位的职工中体重超过的人员的体重如下（单位：）.若规定超过为显著超重，从甲、乙两个单位中体重超过的职工中各抽取1人，则这2人中，恰好有1人显著超重的概率为（）A. B.C. D.3．等差数列中，若，则（）A.42 B.45C.48 D.514．已知等比数列的前项和为，则关于的方程的解的个数为（）A.0 B.1C.无数个 D.0或无数个5．已知直线过点且与直线平行，则直线方程为（）A. B.C. D.6．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为()A. B.C. D.7．设为等差数列的前项和，若，则的值为（）A.14 B.28C.36 D.488．在数列中，，则此数列最大项的值是（）A.102 B.C. D.1089．已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．为了解青少年视力情况，统计得到名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数，则该组数据的中位数是（）A. B.C. D.11．已知双曲线，且三个数1，，9成等比数列，则下列结论正确的是（）A.的焦距为 B.的渐近线方程为C.的离心率为 D.的虚轴长为12．以下说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位③线性回归方程必过④设具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，之间的线性相关程度越高；⑤在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。其中错误的个数是（）A.0 B.1C.2 D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数列中，，则______14．设，分别是椭圆C：左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为___________15．已知函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，则的外接圆E的方程是________16．直线与直线间的距离为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，C上的点M满足，且直线的斜率之积等于（1）求C的方程；（2）过点的直线l交C于A，B两点，若，其中，证明：18．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，两点，的中点坐标为.（1）求直线l的方程；（2）求的面积.19．（12分）已知双曲线：的两条渐近线所成的锐角为且点是上一点（1）求双曲线的标准方程；（2）若过点的直线与交于，两点，点能否为线段的中点？并说明理由20．（12分）已知命题p：实数x满足；命题q：实数x满足．若p是q的必要条件，求实数a的取值范围21．（12分）某公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间x/分101112131415等候人数y/人232526292831调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”.（1）若选取的是中间4组数据，求y关于x的线性回归方程=x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”.（2）假设该起点站等候人数为24人，请你根据（1）中的结论预测车辆发车间隔多少时间合适?附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为22．（10分）如图所示，在三棱柱中，，点在平面ABC上的射影为线段AC的中点D，侧面是边长为2的菱形（1）若△ABC是正三角形，求异面直线与BC所成角的余弦值；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段BD的长

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用正弦定理角化边得到，再利用余弦定理构造方程求得结果.【详解】，，由余弦定理得：，，.故选：B.2、B【解析】列举出所有选取的情况，再找出满足题意的情况，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】不妨用表示每种抽取情况，其中是指甲单位抽取1人的体重，代表从乙单位抽取人的体重.则所有的可能有16种，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，，其中满足题意的有6种：，，，，，故抽取的这2人中，恰好有1人显著超重的概率为：.故选：.3、C【解析】结合等差数列的性质求得正确答案.【详解】依题意是等差数列，，.故选：C4、D【解析】利用等比数列的求和公式讨论公比的取值即得.【详解】设等比数列的公比为，当时，，因为，所以无解，即方程的解的个数为0，当时，，所以时，方程有无数个偶数解，当时，方程无解，综上，关于的方程的解的个数为0或无数个.故选：D.5、C【解析】由题意，直线的斜率为，利用点斜式即可得答案.【详解】解：因为直线与直线平行，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，即，故选：C.6、C【解析】将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围【详解】，，当且仅当时取等号，故故选：C7、D【解析】利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出.【详解】因为为等差数列的前项和，所以故选：D【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题.8、D【解析】将将看作一个二次函数，利用二次函数的性质求解.【详解】将看作一个二次函数，其对称轴为，开口向下，因为，所以当时，取得最大值，故选：D9、A【解析】由，结合基本不等式可得，由此可得，由此说明“”是“”的充分条件，再通过举反例说明“”不是“”的必要条件，由此确定正确选项.【详解】∵，∴（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），∴（当且仅当时等号成立），若，则，∴，所以“”是“”的充分条件，当时，，此时，∴“”不是“”的必要条件，∴“”是“”的充分不必要条件，故选：A.10、B【解析】将样本中的数据由小到大进行排列，利用中位数的定义可得结果.【详解】将样本中的数据由小到大进行排列，依次为：、、、、、、、、、，因此，这组数据的中位数为.故选：B.11、D【解析】先求得的值，然后根据双曲线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】方程表示双曲线，则，成等比数列，则，所以双曲线方程为，所以，故双曲线的焦距为，A选项错误.渐近线方程为，B选项错误.离心率，C选项错误.虚轴长，D选项正确.故选：D12、C【详解】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，故②不正确；线性回归方程必过样本中心点，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对于观察值来说，越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故⑤正确.故选：C【点睛】本题主要考查用样本估计总体、线性回归方程、独立性检验的基本思想.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】根据可得，则，所以可得数列是以6为周期周期数列，再由计算出的值，再利用对数的运算性质可求得结果【详解】因为，所以，所以，所以数列是以6为周期的周期数列，因为，，所以，所以，所以所以，故答案为：114、【解析】先计算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的横坐标为，代入椭圆C：求出.【详解】椭圆C：,所以.因为M在椭圆上,.因为M在第一象限,故.为等腰三角形,则,所以,由余弦定理可得.过M作MA⊥x轴于A,则所以,即M的横坐标为.因为M为椭圆C：上一点且在第一象限，所以，解得：所以M的坐标为.故答案为：15、【解析】由题可求三角形三顶点的坐标，三角形的外接圆的方程即求.【详解】令，得或，则，∴外接圆的圆心的横坐标为2，设，半径为r，由，得，则，即，得，.∴的外接圆的方程为.故答案为：.16、【解析】利用平行间的距离公式可求得结果.【详解】由平行线间的距离公式可知，直线、间的距离为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）由椭圆定义可得到，再利用斜率公式及直线的斜率之积等于，列出方程，化简对比系数可得；（2）分直线l的斜率为0和不为0两种情况讨论，利用可得到T在定直线上，且该直线是的中垂线即可得到证明.【小问1详解】因为C上的点M满足，所以C表示焦点在x轴上的椭圆，且，即，，所以，设，则，①所以直线的斜率，直线的斜率，由已知得，即，②由①②得，所以C的方程为【小问2详解】当直线l的斜率为0时，A与重合，B与重合，，，成立.当直线l的斜率不为0时，设l的方程为联立方程组，消x整理得所以，解得或设，则，由，得，所以设，由，得，所以，所以，所以点T在直线上，且，所以是等腰三角形，且，所以，综上，【点睛】关键点点晴：本题第二问突破点是证明T在定直线上，且该直线是的垂直平分线，从而得到，考查学生的数学运算能力，转化化归思想.18、（1）（2）【解析】（1）设，根据AB的中点坐标可得，再利用点差法求得直线的斜率，即可求出直线方程；（2）易得直线过左焦点，联立直线和椭圆方程，消，利用韦达定理求得，再根据即可得出答案.【小问1详解】解：设，因为的中点坐标为，所以，则，两式相减得，即，即，所以直线l的斜率为1，所以直线l的方程为，即；【小问2详解】在直线中，当时，，由椭圆：，得，则直线过点，联立，消整理得，则，.19、（1）；（2）点不能为线段的中点，理由见解析.【解析】（1）由渐近线夹角求得一个斜率，再代入点的坐标，然后可解得得双曲线方程；（2）设直线方程为（斜率不存在时另说明），与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理，结合中点坐标公式求得，然后难验证直线与双曲线是否相交即可得【详解】解：（1）由题意知，双曲线的渐近线的倾斜角为30°或60°，即或当时，的标准方程为，代入，无解当时，的标准方程为，代入，解得故的标准方程为（2）不能是线段的中点设交点，，当直线的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个交点，不符合题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，则，由得，将代入判别式，所以满足题意的直线也不存在所以点不能为线段的中点20、【解析】由题设得是为真时的子集，即，法一：讨论、，根据集合的包含关系求参数范围；法二：利用在恒成立，结合参变分离及指数函数的单调性求参数范围.【详解】由，得，则命题对应的集合为，设命题对应的集合为，是的必要条件，则，由，得，又，法一：若时，，则，显然成立；若时，，则，可得，综上：法二：在恒成立，即，∵在单调递减，∴.21、（1），是“恰当回归方程”；（2）10分钟较合适.【解析】（1）应用最小二乘法求出回归直线方程，再分别估计、时的值，结合“恰当回归方程”的定义判断是否为“恰当回归方程”.（2）根据（1）所得回归直线方程，将代入求x值即可.【小问1详解】中间4组数据是：间隔时间（分钟）11121314等候人数（人）25262928因为，所以，故，又，所以，当时，，而；当时，，而；所以所求的线性回归方程是“恰当回