2019年研究生入学考试数学二真题及答案

2019年研究生入学考试数学二真题及答案一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当x→0，x-tanx与xk是同阶无穷小，求k______

A．1

B．2

C．3

D．4

2、的拐点坐标是______

A．

B．(0，2)

C．(π，-2)

D．

3、下列反常积分发散的是______

A．

B．

C．

D．

4、已知微分方程y"+ay'+6y=cex的通解为y=(C1+C2x)e-x+ex，则a，b，c依次为______

A．1，0，1

B．1，0，2

C．2，1，3

D．2，1，4

5、已知平面区域，，，试比较I1，I2，I3的大小______

A．I3＜I2＜I1

B．I1＜I2＜I3

C．I2＜I1＜I3

D．I2＜I3＜I1

6、已知f(x)，g(x)二阶导数且在x=a处连续，请问f(x)，g(x)相切于a且曲率相等是的什么条件?______

A．充分非必要条件

B．充分必要条件

C．必要非充分条件

D．既非充分又非必要条件

7、设A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若线性方程Ax=0的基础解系中只有2个向量，则A*的秩是______

A．0

B．1

C．2

D．3

8、设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A2+A=2E．且|A|=4，则二次型xTAx规范形为______

A．

B．

C．

D．

二、填空题9、

10、曲线在对应点处切线在y轴上的截距为______．

11、设函数f(u)可导，，则

12、设函数的弧长为______．

13、已知函数，则

14、已知矩阵，Aij表示|A|中(i，j)元的代数余子式，则A11-A12=______．

三、解答题本题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．15、已知求f'(x)，并求f(x)的极值．

16、求不定积分

y=y(x)是微分方程满足特解．17、求y(x)；18、设平面区域D={(x，y)}，D={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤y(x)}，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．19、已知平面区域D满足|x|≤y，(x2+y2)3≤y4，求

20、设n是正整数，记Sn为y=e-xsinx(0≤x≤nπ)与x轴所围图形的面积，求Sn，并求

21、已知函数u(x，y)满足，求a，b的值，使得在变换u(x，y)=v(x，y)eax+by之下，上述等式可化为函数v(x，y)的不含一阶偏导数的等式．

已知函数f(x，y)在[0，1]上具有二阶导数，且f22=0，f23=1，，证明：22、存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=0；23、存在η∈(0，1)，使得f"(η)＜-2．24、已知向量组(Ⅰ)(Ⅱ)，若向量组(Ⅰ)和向量组(Ⅱ)等价，求a的取值，并将卢β3用α1，α2，α3线性表示．

已知矩阵相似，25、求x，y；26、求可逆矩阵P使得P-1AP=B．

答案:

一、选择题

1、C[解析]

因，若要x-tanx与xk是同阶无穷小，则k=3，故选C．2、B[解析]y'=sinx+xcosx-2sinx，y"=-xsinx，令y"=0得x=0，x=π，又因为y'''=-sinx-xcosx，将上述两点代入y"(π)≠0，所以(π，-2)是拐点．3、D[解析]

对A：

对B：

对C：

对D：4、D[解析]

由条件知特征根为λ1=λ2=-1，特征方程为(λ-λ1)(λ-λ2)=λ2+2λ+1=0，故a=2，b=1，而y*=ex为特解，代入得c=4，故选D．5、A[解析]

因为，，所以I2＜I1，I3＜I1．

所以I3＜I2，所以I3＜I2＜I1，故选A．6、B[解析]

必要性：f(x)，g(x)相切于a，则f(a)=g(a)f'(a)=g'(a)，

f(x)与g(x)相切于点a，且曲率相等，故选B．7、A[解析]

因为Ax=0的基础解系中只有2个向量，∴4-r(A)=2，则r(A)=2

∴r(A*)=0，故选A．8、C[解析]

设λ为A的特征值，由A2+A=2E得λ2+λ=2．

解得λ=-2或1，所以A的特征值是1或-2．

又∵|A|=4，所以A的三个特征值为1，-2，-2，∴二次型xTAx的规范形为，故选C．二、填空题

9、4e2[解析]

10、[解析]

当时，

即为点

在y轴上的截距为11、[解析]

12、[解析]y=lncosx，

13、[解析]

14、-4[解析]

三、解答题15、解：当x＞0时f(x)=x2x=e2xlnxf'(x)=e2xlnx(2lnx+2)=2x2x(lnx+1)

当x＜0时，f'(x)=ex+xex=(x+1)ex

∴有f(x)在x=0点不可导．

令f'(x)=0得，x2=-1，于是有下表

于是有f(x)的极小值为，极大值为f(0)=1．

16、解：令

则3x+6=A(x-1)(x2+x+1)+B(x2+x+1)+(Cx+D)(x-1)2

令x=1得9=3B，B=3

令x=0得6=-A+B+D

令x=-1得3=-2A+B+4(D-C)

令x=2得12=7A+7B+2C+D

解得A=-2，B=3，C=2，D=1

17、解：

由得C=0，

所以

18、解：

19、解：(x2+y2)3=y4的极坐标方程为r=sin2θ，由对称性：

20、解：设区间[kπ，(k+1)π](k=0，1，2，…，n-1)上所围的面积记为uk，则

记I=∫e-xsinxdx，则

I=-∫e-xdcosx=-(e-xcosx-∫cosxde-x)

=-e-xcosx-∫e-xdsinx=-e-xcosx-(e-xsinx-sinxde-x)

=-e-x(cosx+sinx)-I

所以

因此

(这里需要注意coskπ=(-1)k)

21、解：

代入已知条件

得

根据已知条件，上式不含一阶偏导，故a=0，3-4b=0

22、证明：设f(x)在ξ处取得最大值，

则由条件f(0)=0，f(1)=1，

可知f(ξ)＞1，于是0＜ξ＜1，

由费马引理得f'(ξ)=0．

23、证明：若不存在η∈(0，1)，使f(n)＜-2，

则对任何x∈(0，1)，有f(x)≥-2，

由拉格朗日中值定理得：

f(x)-f(ξ)=f(e)(x-ξ)，C介于x与ξ之间，

不妨设x＜ξ，f'(x)≤-2(x-ξ)，

积分得

于是f(ξ)-f(0)＜1，即f(ξ)＜1，

这与f(ξ)＞1相矛盾，故存在η∈(0，1)，使f"(η)＜-2．

24、解：由等价的定义可知β1，β2，β3都能由α1，α2，α3线性表示，则有

r(α1,α2,α3)=r(α1,α2，α3，β1，β2，β3)

对(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行变换可得：

当a=-1时，有r(α1，α2，α3)＜r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)；

当a=1，则r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=2

可知a≠1且a≠-1时，此时r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3

则由a=1或者a≠1且a≠-1时，β1，β2，β3可由α1，α2，α3线性表示．

此时，要保证α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示，

对(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行变换可得：

当a=1时，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=2

可知当a≠1且a≠-1时，此时r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3

此时，α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示，

综上所述：当a=-1时，向量组α1，α2，α3与向量组β1，β2