人教A版数学选修2-1讲义第2章2.32.3.1双曲线及其标准方程Word版含答案

2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程学习目标核心素养1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养.2.通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养.1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b21．动点P到点M(1，0)的距离与点N(3，0)的距离之差为2，则点P的轨迹是()A．双曲线 B．双曲线的一支C．两条射线 D．一条射线D[由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.]2．双曲线eq\f(x2,10)－eq\f(y2,2)＝1的焦距为()A．3eq\r(2) B．4eq\r(2)C．3eq\r(3) D．4eq\r(3)D[c2＝10＋2＝12，所以c＝2eq\r(3)，从而焦距为4eq\r(3).]3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()A.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1B.eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1C.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝1D.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝0或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,24)＝0C[b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.]4．与双曲线eq\f(x2,8)－eq\f(y2,10)＝1具有相同焦点的双曲线方程是________(只写出一个即可)．eq\f(x2,6)－eq\f(y2,12)＝1[与eq\f(x2,8)－eq\f(y2,10)＝1具有相同焦点的双曲线方程为eq\f(x2,8＋k)－eq\f(y2,10－k)＝1(－8＜k＜10)．]双曲线的定义及应用【例1】若F1，F2是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．思路探究：(1)直接利用定义求解．(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.[解](1)设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知||MF2|－16|＝6，即|MF2|－16＝±6.解得|MF2|＝10或|MF2|＝22.(2)由eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝64，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×64×eq\f(\r(3),2)＝16eq\r(3).求双曲线中的焦点三角形△PF1F2(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S△PF1F2＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．(2)利用公式S△PF1F2＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|求得面积．1．(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是()A．|PF1|－|PF2|＝±3B．|PF1|－|PF2|＝±4C．|PF1|－|PF2|＝±5D．|PF1|2－|PF2|2＝±4A[|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选A.(2)已知定点A的坐标为(1，4)，点F是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．9[由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4，0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝eq\r(（4－1）2＋42)＝eq\r(25)＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9.]求双曲线的标准方程【例2】根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a＝4，经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4\r(10),3)))；(2)与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有相同的焦点，且经过点(3eq\r(2)，2)；(3)过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上．思路探究：(1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解．(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．[解](1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－eq\f(16,15)×eq\f(160,9)<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,b2)＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.(2)法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①∵双曲线经过点(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,a2)－eq\f(4,b2)＝1.②由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.法二：设所求双曲线的方程为eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.∵点P，Q在双曲线上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).))∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.1．求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；(2)求出a2，b2的值．2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)来求解．2．(1)与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是()A.eq\f(x2,4)－y2＝1 B.eq\f(x2,3)－y2＝1C.eq\f(x2,2)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,2)＝1C[设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(1,b2)＝1，,c2＝a2＋b2＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝2，,b2＝1，))所以所求双曲线方程为eq\f(x2,2)－y2＝1.](2)已知双曲线中心在坐标原点，且一个焦点为F1(－eq\r(5)，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的方程是()A.eq\f(x2,4)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1B[由双曲线的焦点可知c＝eq\r(5)，线段PF1的中点坐标为(0，2)，所以设右焦点为F2，则有PF2⊥x轴，且PF2＝4，点P在双曲线右支上．所以PF1＝eq\r(（2\r(5)）2＋42)＝eq\r(36)＝6，所以PF1－PF2＝6－4＝2＝2a，所以a＝1，b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为x2－eq\f(y2,4)＝1，选B.]与双曲线有关的轨迹问题[探究问题]1．到两定点F1，F2的距离之差是常数(小于|F1F2|[提示]一支．2．求以两定点F1，F2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？[提示]以直线F1F2和线段F1F2的垂直平分线分别为x轴和y【例3】如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4eq\r(2)，且三个内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．思路探究：eq\x(\a\al(建立平面直,角坐标系))→eq\x(\a\al(由已知条件得,到边长的关系))→eq\x(\a\al(判断轨迹,的形状))→eq\x(写出轨迹方程)[解]以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2eq\r(2)，0)，B(2eq\r(2)，0)．由正弦定理，得sinA＝eq\f(|BC|,2R)，sinB＝eq\f(|AC|,2R)，sinC＝eq\f(|AB|,2R)(R为△ABC的外接圆半径)．∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，即|AC|－|BC|＝eq\f(|AB|,2)＝2eq\r(2)<|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．由题意，设所求轨迹方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(x>a)，∵a＝eq\r(2)，c＝2eq\r(2)，∴b2＝c2－a2＝6.即所求轨迹方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1(x>eq\r(2))．求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系，化简得到方程．(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．3．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解]圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝eq\f(3,2)，c＝5，于是b2＝c2－a2＝eq\f(91,4).∴动圆圆心M的轨迹方程为eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,\f(91,4))＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2))).1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F2．在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解.1．已知m，n∈R，则“mn＜0”是“方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示双曲线，必有mn＜0；当mn＜0时，方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示双曲线，所以“mn＜0”是“方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n