2023-2024学年八年级数学上册 13.3 等腰三角形分析

PAGE1第十三章轴对称13.3等腰三角形1等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；如下图，在∆ABC中，AB=AC，则∠B=∠C.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称：三线合一）.①如下图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，且BD=CD，则∠BAD=∠CAD，且AD⊥BC；②如下图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，且∠BAD=∠CAD，则BD=CD，且AD⊥BC；③如下图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，且AD⊥BC，则∠BAD=∠CAD，且BD=CD.（均可用全等三角形证明）2等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（简称：等角对等边）如下图，在∆ABC中，∠B=∠C，则AB=AC.（均用全等三角形证明）3等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形；（2）性质：三个内角都是60°，每条边都存在三线合一.（3）判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4含30°的直角三角形在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.如下图，在Rt∆ABC中，∠B=90°，∠A=30°，则证明在AC上取点D，使得CB=CD，又∵∠C=60°，∴∆BCD是等边三角形，∴∠DBC=60°，∴∠ABD=30°，又∵∠A=30°，∴AD=BD=BC，∴AC=AD+CD=BC+BC=2BC，即BC=1【题型1】等腰三角形（等边三角形）的性质【典题1】如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AC＝BD．若∠B＝50°，则∠CAD的度数为()​A．10° B．15° C．20° D．25°解析∵AB＝AC＝BD，∴∠B＝∠C＝50°，∠ADB＝∠BAD，又∵2∠ADB＝180°﹣∠C＝130°，∴∠ADB＝65°，∴∠CAD＝65°﹣50°＝15°．故选：B．【典题2】如图，在△ABC中，AB＝AC，边BC在x轴上，且点B(﹣1，0)，点A(2，4)，则△AOC的面积为()A．5 B．8 C．10 D．20解析如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC，∴BD=CD=1∵点A(2，4)，∴OD＝2，AD＝4，∵点B(﹣1，0)，∴OB＝1，∴BD＝1+2＝3＝CD，∴OC＝2+3＝5，∴△AOC的面积＝12OC•AD＝1故选：C．【巩固练习】1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为()A．70° B．100° C．110° D．140°答案C解析∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，故选：C．2.如图，点D是△ABC的BC边上一点，AB＝AD＝DC．若∠BAD＝80°，则∠C＝()​A．50° B．40° C．20° D．25°答案D解析∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，∵∠BAD＝80°，∴∠B＝50°＝∠ADB，∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠C＝12∠ADB故选：D．3.如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE，FG分别经过点B，C，DE∥FG．若∠DBC＝45°，∠ACG＝10°，则∠ABE的度数为()A．100° B．105° C．110° D．115°答案A解析∵DE∥FG，∴∠BCG＝∠DBC＝45°，∵∠ACG＝10°，∴∠ACB＝45°﹣10°＝35°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝35°，又∵∠EBC＝180°﹣45°＝135°，∴∠ABE＝135°﹣35°＝100°，故选：A．4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若∠BAD＝35°，则∠C＝()A．65° B．55° C．50° D．45°答案B解析在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD＝35°，∠B＝∠C，∴∠BAC＝2∠BAD＝2×35°＝70°，∴∠故选：B．5.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC于点E，交AB于点M且AE＝CE，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交DE于点F，连接CF交AB于点G．若CG＝FG，则∠B的度数为()A．75° B．70° C．65° D．60°答案A解析连接AF，∵DE⊥AC，AE＝CE，∴AF＝CF，由题意可知CF＝CA，∴AF＝CF＝CA，∴△AFC是等边三角形，∵CG＝FG，∴∠CAB＝12∠CAF∵AB＝AC，∴∠故选：A．6.如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．(1)若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；(2)若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝12∠B答案(1)50°(2)略解析(1)∵∠AFD＝155°，∴∠DFC＝25°，∵DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠FDC＝∠AED＝90°，在Rt△FDC中，∴∠C＝90°﹣25°＝65°，∵AB＝BC，∴∠C＝∠A＝65°，∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．(2)连接BF∵AB＝BC，且点F是AC的中点，∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝12∠ABC∴∠CFD+∠BFD＝90°，∠CBF+∠BFD＝90°，∴∠CFD＝∠CBF，∴∠CFD＝12∠ABC【题型2】等腰三角形（等边三角形）的判定【典题1】已知：在△ABC中，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE＝DF．求证：△ABC是等腰三角形．证明∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∴∠AED＝∠CFD＝90°，∵D为AC的中点，∴AD＝DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中&AD∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，∴∠A＝∠C，∴BA＝BC，∴△ABC是等腰三角形．【典题2】如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD＝CF．(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)当∠F＝度时，△ABC是等边三角形？请证明你的结论．解析(1)证明：∵CD＝CF，∴∠F＝∠CDF，∵∠ADE＝∠CDF，∴∠F＝∠ADE，∵DE⊥AB，∴∠F+∠B＝90°，∠ADE+∠A＝90°，∴∠B＝∠A，∴△ABC是等腰三角形；(2)解：当∠F＝30度时，△ABC是等边三角形，理由如下：∵DE⊥AB，∴∠B+∠F＝90°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，由(1)知△ABC是等腰三角形，∴△ABC是等边三角形．故答案为：30．【巩固练习】1.下列对△ABC的判新，不正确的是()A．若AB＝AC，∠C＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形 C．若∠A＝50°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40°答案D解析A、若AB＝AC，∠C＝60°，则△ABC是等边三角形，说法正确，不符合题意；B、若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；C、若∠A＝50°，∠B＝80°，可得∠C＝50°，则△ABC是等腰三角形，说法正确，不符合题意；D、若AB＝BC，∠C＝40°，则∠A＝40°，说法错误，符合题意；故选：D．2.如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中的一条腰，这样的点C一共有()A．3个 B．4个 C．5个 D．6个答案C解析如图，点C的位置共有5个．故选：C．3.如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为．答案等边三角形解析∵以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，∴OA＝OC，∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，∴AC＝AO，∴OC＝AC＝OA，∴△AOC的形状是等边三角形，故答案为：等边三角形．4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．求证：△ADC是等腰三角形．证明∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠DAB＝45°，∴∠∵∠DAB＝45°，∠B＝30°∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∴△ADC是等腰三角形．5.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC于点D，且DE＝DB，试判断△CEB的形状，并说明理由．答案等边三角形解析△CEB是等边三角形．证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC，∴∠CBE＝∠ABE＝60°．又∵DE＝DB，BE⊥AC，∴CB＝CE．∴△CEB是等边三角形．6.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠ABC＝90°，点E是AC的中点．(1)求证：△BED是等腰三角形；(2)当∠DAB＝°时，△BED是等边三角形．答案(1)略(2)30解析(1)证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，∴DE=1∴DE＝BE，即△BED是等腰三角形；(2)解：∵DE＝BE＝AE，∴∠DAE＝∠ADE，∠EAB＝∠EBA，∴∠DEC＝2∠DAE，∠BEC＝2∠EAB，∴∠DEB＝2∠DAB，当∠DAB＝30°时，∠DEB＝60°，又∵BE＝DE，∴△BED是等边三角形，故答案为：30．【题型3】含30°的直角三角形【典题1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝3，则AD的长度为()A．6 B．9 C．12 D．15解析∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∵∠CDB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，在Rt△CDB中，∠BCD＝30°，∴BC＝2BD＝6，在Rt△ACB中，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12，∴AD＝AB﹣BD＝12﹣3＝9，故选：B．【巩固练习】1.5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是()A．4m B．6m C．10m D．12m答案B解析如图，作AD⊥BC于点D，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠又∵AD⊥BC，∴AD=1故选：B．2.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米 B．9米 C．12米 D．15米答案B解析如图，根据题意BC＝3米，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×3＝6米，∴3+6＝9米．故选：B．3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AB＝8，则AD＝()A．2 B．23 C．4 D．答案A解析∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，∵∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，∵AB＝8，∴AB＝2AC＝8，∴AC＝2AD＝4，∴AD＝2．故选：A．4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AC＝12，则AD的长是()A．6 B．8 C．32 D．答案B解析连接BD，如图所示：∵DE是AB的垂直平分线，∴BD＝AD，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠CBD＝180°﹣90°﹣30°×2＝30°，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，∴CD∴AD∵AC＝12，∴AD故选：B．5.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A、C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，连接PQ交AB于D．当∠BQD＝30°时，AP的长为．答案2解析∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°，设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，∴QC＝QB+BC＝6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，∴PC=12QC，即6﹣x＝12(6+∴AP＝2．故答案为：2．6.如图，早上8：00，一艘轮船以20海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，到上午10：00，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛P周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？答案无触礁的危险解析轮船继续向前航行，无触礁的危险．过点P作PDAC于D，依题意得AB＝2×20＝40(海里)，∠PAB＝15°，∠PBC＝30°，则∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝15°∴∠A＝∠APB＝15°∴PB＝AB＝40(海里)．在Rt△PBD中，∠PBD＝30°，∴PD＝12PB∴轮船继续向前航行，无触礁的危险．【A组基础题】1.下列能确定△ABC为等腰三角形的是()A．∠A＝50°、∠B＝80° B．∠A＝42°、∠B＝48° C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝4、BC＝5，周长为15答案A解析A、∵∠A＝50°、∠B＝80°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，∴∠A＝∠C，∴△ABC为等腰三角形；故本选项能确定△ABC为等腰三角形；B、∵∠A＝42°、∠B＝48°，∴∠∴∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形；故本选项能确定△ABC不是等腰三角形；C、∵∠A＝2∠B＝70°，∴∠B＝35°，∴∠∴∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形；故本选项能确定△ABC不是等腰三角形；D、∵AB＝4、BC＝5，周长为15，∴AC＝15﹣4﹣5＝6，∴AB≠BC≠AC，∴△ABC不是等腰三角形；故本选项能确定△ABC不是等腰三角形．故选：A．2.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC＝()A．36° B．54° C．72° D．108°答案C解析∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．故选：C．3.如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为()A．60° B．105° C．75° D．15°答案C解析在等边△ABC中，D为BC边上的中点，∴∠DAC＝30°(三线合一)，在△ADE中，AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝12故选：C．4.下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是()A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C答案D解析A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．故选：D．5.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，下列结论不成立的是()A．∠BAC＝∠AFE B．∠EBC＝∠2 C．∠1＝∠2 D．∠AFE＝∠C答案A解析∵∠AFE是△ABF的外角，∴∠AFE＝∠1+∠ABF，无法得到∠ABF＝∠2，无法得到∠BAC＝∠AFE，故A错误，符合题意；∵AD⊥BC于D，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BEC，∵∠C＝∠C，∴∠EBC＝∠2，故B正确，不符合题意；∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，故C正确，不符合题意；在Rt△AEF中，∠AFE＝90°﹣∠2，在Rt△ADC中，∠C＝90°﹣∠2，∴∠AFE＝∠C，故D正确，不符合题意；故选：A．6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，且∠BAD＝30°，若AD＝DE，∠DAE＝72°，则∠EDC的度数为．答案33°解析∵∠BAD＝30°，∠DAE＝72°，AB＝AC，∴∠∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝72°，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣39°＝33°，故答案为：33°．7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB+BC＝12cm，则AB等于。答案8cm解析Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°；∴AB＝2BC；∴AB+BC＝3BC＝12cm，即BC＝4cm，AB＝2BC＝8cm．8.如图，等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴上，A(﹣1，0)，过点B作BD⊥AB，垂线BD交x轴于点D，则点D的坐标为．答案(3，0)解析∵A(﹣1，0)，∴OA＝1，∵△ABC是等边三角形，OB⊥AC，∴OC＝OA＝1，∴AC＝BC＝2，∠ACB＝∠ABC＝60°，∵BD⊥AB，∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝30°，∴∠BDC＝∠ACB﹣∠DBC＝30°，∴∠BDC＝∠CBD，∴CD＝BC＝2，∴OD＝OC+CD＝3，∴点D的坐标(3，0)．故答案为：(3，0)．9.如图，将含有30°角的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB，EC，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④△ABD为等边三角形．其中正确的是．(填序号)答案①②④解析在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴∠ABC＝60°，∵△ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△ABD为等边三角形，∴∠BAD＝∠ADB＝60°，∴∠EAC＝∠BAD＝60°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝30°＝∠ACB，∴∠DAC＝∠DCA，所以①正确；∵AC＝AE，∠EAC＝60°，∴△AEC为等边三角形，∴EA＝EC，而DA＝DC，∴ED为AC的垂直平分线，所以②正确；∴DE⊥AC，∵AB⊥AC，∴AB∥DE，∴∠ABE＝∠BED，∵AB≠AE，∴∠ABE≠∠AEB，∴∠AEB≠∠BED，∴EB平分∠AED不正确，故错误；所以③错误；在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴∠ABC＝60°，由旋转知，AB＝AD∴△ABD为等边三角形，故④正确；故答案为：①②④．10.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．(1)求∠ADB的度数；(2)求证：△ADE是等腰三角形．答案(1)108°；(2)略解析(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝12∠ABC∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；(2)证明：∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝72°，∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，∴∠∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形．11.在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．(1)如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；(2)如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？答案(1)3；(2)t＝6解析(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等边三角形，∴BP＝BQ，由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴当t的值为3时，PQ∥AC；(2)如图2，①当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣(BC+CQ)＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．【B组提高题】1.如图，在△AA1B中，AB＝A1B，∠A＝50°；在A1B上任取一点B1，延长AA1到A2，使A1B1＝A1A2；在A2B1上任取一点B2，延长A1A2到A3，使A2B2＝A2A3；按此做法继续下去，则∠A5A6B5的度数为答案65解析∵BA＝BA1，∠B＝50°，∴∠∵A1B1＝A1A2，∴∠A1A2B1＝∠A1B1A2，∵∠AA1B＝∠A1A2B1+∠A1B1A2，∴∠同法可得∠A2.