社团小专题(十二)与三角形有关的证明

第十三章轴对称小专题(十二)

与三角形有关的证明可编辑PPT请双击文本框弹出对象，便可编辑修改哦！！题组(一)证明角相等类型1利用内、外角和进行简单证明1．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°.∴∠ACD＝∠B.(2)在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF，在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE.∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE.∴∠AED＝∠CFE.又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE.

解：(1)∵∠2＝∠CAD＋∠3，∠2＝100°，∠3＝30°，∴∠CAD＝70°.∵AD平分△ABC的外角∠CAE，∴∠EAC＝2∠CAD＝140°.又∵∠EAC＝∠1＋∠2，∴∠1＝140°－100°＝40°.类型2运用全等进行证明3．已知：如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB于B，DH⊥AC于H，G是AB上一点，GD＝DC.求证：∠C＝∠BGD.4．已知：如图，A，E，B三点在一条直线上，B，D，C三点在一条直线上，且AB＝BC，BD＝BE，AD交CE于F点，连接BF.求证：(1)∠A＝∠C；(2)BF平分∠ABC.(2)∵AB＝BC，BE＝BD，∴AE＝CD.又∵∠A＝∠C，∠AFE＝∠CFD，∴△AFE≌△CFD(AAS)．∴EF＝DF.又∵BE＝BD，BF＝BF，∴△BFE≌△BFD(SSS)．∴∠FBA＝∠FBC.∴BF平分∠ABC.5．如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.(1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数．(2)在等边△ECD中，∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ADC＝120°.∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC＝∠ADC＝120°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED

＝120°－60°

＝60°.6．如图，点D在CB的延长线上，DB＝CB，点E在AB上，连接DE，DE＝AC，求证：∠A＝∠DEB.证明：延长EB到F点，使得BF＝BE，连接CF.∵BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，BD＝BC，∴△BDE≌△BCF(SAS)．∴DE＝CF＝AC，∠DEB＝∠F.∴∠F＝∠A.∴∠A＝∠DEB.类型3运用等腰三角形(或线段垂直平分线)的性质进行证明7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，DE⊥AB.(1)求证：∠BAC＝2∠BDE；(2)若AC＝4，DE＝3，求△ABC的面积．解：(1)证明：∵AB＝AC，D为边BC的中点，∴∠DAC＝∠DAB，AD⊥BC.∵DE⊥AB，∴∠BDE＝∠DAB＝∠DAC.∴∠BAC＝2∠BDE.(2)∵AB＝AC＝4，DE＝3，∴S△ABD＝6.∵CD＝BD，∴S△ACD＝6.∴S△ABC＝12.8．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC.(1)求证：∠BAD＝2∠MAN；(2)连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ABC的度数．解：(1)证明：连接AC.在△ABC中，∵AN⊥BC，N为BC中点，∴AN平分∠BAC，即∠BAN＝∠CAN.同理：∠CAM＝∠DAM.∴∠BAD＝∠BAN＋∠CAN＋∠CAM＋∠DAM＝2(∠CAN＋∠CAM)＝2∠MAN.题组(二)证明线段之间的位置关系类型1证明线段平行思路：先证明角相等，然后利用平行线的判定证明两直线平行9．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，且FB＝CE，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，求证：(1)△ACB≌△DFE；(2)AB∥DE.(2)∵△ACB≌△DFE，∴∠B＝∠E.∴AB∥DE.类型2证明线段垂直思路一：证明角为90°10．如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD.求证：BE⊥AC.思路二：等腰三角形三线合一11．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD⊥EF.12．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD和△BCE是等边三角形，连接CD，ED.求证：BD⊥CE.题组(三)证明线段之间的数量关系类型1证明线段相等思路一：利用全等三角形的性质证明线段相等13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，AD⊥AB交BE延长线于点D，CF平分∠ACB交BD于点F，连接CD.求证：(1)AD＝CF；(2)点F为BD的中点．证明：(1)∵E为AC边的中点，∴AE＝CE.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CF平分∠ACB，∴∠BAC＝45°＝∠ECF.∵AD⊥AB，∴∠DAC＝45°＝∠FCE.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△CFE(ASA)．∴AD＝CF.(2)∵AC＝CB，∠DAC＝∠FCB，AD＝CF，∴△ACD≌△CBF(SAS)．∴CD＝BF，∠ACD＝∠CBF.∵∠DCF＝∠ACD＋∠ECF＝∠ACD＋45°，∠DFC＝∠CBF＋∠BCF＝∠CBF＋45°，∴∠DCF＝∠DFC.∴DC＝DF.∴BF＝DF，即点F为BD的中点．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，过D作DE⊥AB交AC于点E，BC＝BD，连接CD交BE于点F.(1)求证：CE＝DE；(2)若点D为AB的中点，求∠AED的度数．(2)∵DE⊥AB，∴∠ADE＝∠BDE＝90°.∵点D为AB的中点，∴AD＝BD.又∵DE＝DE，∴△ADE≌△BDE(SAS)．∴∠AED＝∠DEB.∵△BCE≌△BDE，∴∠CEB＝∠DEB.∴∠AED＝∠DEB＝∠CEB.∵∠AED＋∠DEB＋∠CEB＝180°，∴∠AED＝60°思路二：利用等腰(边)三角形的性质与判定证明线段相等15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求证：CE＝AB.证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的高，∴∠BAE＝∠CAE.∵CE∥AB，∴∠E＝∠BAE.∴∠E＝∠CAE.∴CE＝AC.∵AB＝AC，∴CE＝AB.16．如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．思路三：利用线段的垂直平分线的性质与判定证明线段相等17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，求证：BM＝MN＝NC.证明：连接AN，AM.∵ME垂直平分AB，NF垂直平分AC，∴BM＝AM，CN＝AN.∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C.∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.∴∠AMN＝∠ANM＝60°.∴△AMN是等边三角形．∴AM＝AN＝MN.∴BM＝MN＝NC.思路四：利用角平分线的性质与判定证明线段相等18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ACB的平分线交AD于点E，交AB于点F，FG⊥BC于点G，求证：AE＝FG.证明：∵CF平分∠ACB，∠BAC＝90°，FG⊥BC，∴∠ACF＝∠ECD，FG＝FA.∵∠AFC＋∠ACF＝90°，∠DEC＋∠ECD＝90°，∴∠AFC＝∠DEC.又∵∠AEF＝∠DEC，∴∠AFC＝∠AEF.∴AE＝FA.∴AE＝FG.类型2证明线段的和差关系19．如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA，BE交AD的延长线于点F.求证：(1)△ABE≌△AFE；(2)AD＋BC＝AB.20．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．解：BC＝BE＋CD.证明：在BC上截取BF＝BE，连接OF.∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO.又∵OB＝OB，∴△EBO≌△FBO(SAS)．∴∠EOB＝∠FOB.∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，类型3证明线段的倍分关系21．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是边AC，BC上的点，且AD＝CE，AE与BD相交于点P.(1)求∠BPE的度数；(2)若BF⊥AE于点F，试判断BP与PF的数量关系，并说明理由．22．如图，一个直角三角形的顶点A在∠MON的边OM上(不与O重合)，且AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A，点C在ON上，∠MON的平分线OP分别交AB，AC于D，E两点．(1)线段AD和AE有怎样的数量关系？并说明理由；(2)射线ON上的点F与点A关于OP所在的直线对称，那么线段DF和AE有怎样的数量关系？并说明理由；(3)若∠MON＝45°，猜想线段AC，AD，OC之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想．解：(1)AD＝AE.理由如下：∵AC⊥OM，∴∠AEO＋∠AOE＝90°.∵AB⊥ON，∴∠ODB＋∠DOB＝90°.∵∠ADE＝∠ODB，∴∠ADE＋∠DOB＝90°.∵OP平分∠MON，∴∠AOE＝∠DOB.∴∠AEO＝∠ADE.∴AD＝AE.(2)DF＝AE.理由如下：连接DF.∵点F与点A关于OP所在的直线对称，且点D在对称轴上，∴DA＝DF.∵AD＝AE，∴DF＝AE.(3)OC＝AC＋AD.证明：延长EA到G，使AG＝AE，连接OG.∵AC⊥OM，∴∠OAG＝∠OAE＝90°.又∵OA＝OA，∴△OAE≌△OAG(SAS)．∴∠AOG＝∠AOE.∵AD＝AE，∴AG＝AD.∵∠MON＝45°，OP平分∠MON，∴∠ACO＝45°，∠AOG＝∠AOE＝22.5°.∴∠COG＝3×22.5＝67.5°.∴∠OGC＝180°－45°－67.5°＝67.5°.∴OC＝GC＝AC＋AG＝AC＋AD.

23．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A，B分别在坐标轴上．(1)如图1，若点C的横坐标为5，直接写出点B的坐标

；(2)如图2，若点A的坐标为(－6，0)，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB，AB为边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，PB的长