6.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理（第三课时）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（3）1.进一步理解并掌握两个计数原理；2.能根据具体问题使用“分类”或“分步”学习目标两个计数原理分别是什么？各自特点是什么？复习引入例7计算机编程人员在编好程序之后需要对程序进行测试，需要知道有多少执行路径。一般地，一个程序有许多子模块组成。

（1）下图有多少条执行路径？

（2)为了减少测试时间，

程序员需要设法减少测试次数，

怎样设计一个测试方式，

以减少测试次数呢？

分析：要完成的一件事是：“确定程序执行的路径”典例解析整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：

第1步是从开始执行到A点；

第2步是从A点执行到结束.而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成，分别有18、45、28个不同的方法；第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成，分别有38、43个不同的方法.因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理来完成.

解：(1)由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为18+45+28=91条；

子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81条；典例解析

由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为：91x81=7371条

(2)可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常.总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=172.

再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：3x2=6.

每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常了.

测试整个模块的次数就变为：172+6=178

典例解析这不意谓着否定计数原理，而是从另一个角度解决实际问题，两者并不矛盾。

例8通常，我国民用汽车号牌的编码由两部分组成：第一部分为由汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代码，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号.

其中，序号的编码规则为：

（1）由10个阿拉伯数字和除O、I之外的24个英文字母组成；

（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关

采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能

发放多少张汽车号牌？

典例解析分析：要完成的一件事：“确定汽车号牌编号”由编号组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数.根据序号编码规则，每个序号中的数字、字母都是可以重复的。可以将序号分为三类：没有字母；有一个字母；有两个字母。以字母所在的位置为分类标准，将有一个字母的序号分为5个子类；将有二个字母的序号分为10个子类.

典例解析解:由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.(1)第1类：当序号中没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为

10×10×10×10×10=100000典例解析(2)第2类：当序号中有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.

当第1位是字母时,分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1步,从24个字母中选1个放在第1位,有24种选法;第2～5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置,各有10种选法,根据分步乘法计数原理,号牌张数为24×10×10×10×10=240000同样，其余四个子类号牌也各有240000张.根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为

240000+240000+240000+240000+240000=12000005×24×104＝1200000典例解析（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位；第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位；第3位和第4位，第3位和第5位；第4位和第5位。当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1~2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为24x24x10x10x10=576000.同样，其余九个子类号牌也各有576000张.则这类号牌张数一共为576000x10=5760000张.典例解析.综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为：100000+1200000+5760000=7060000典例解析解：展开后共有3×3×5＝45项.1.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项?解：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45(个).2.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个?3.某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，那么共有多少种不同的进出商场的方式?解：进出商场的不同方式有6×5＝30(种).4.任意画一条直线，在直线上任取n个分点.(1)从这n个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段?(2)从这n个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量?解：课本P11巩固练习

用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点:(1)要完成的“一件事”是什么;

(2)需要分类还是需要分步.

分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总