证明直线与圆相切的常见方法（定稿）

证明直线与圆相切的常见方法（定稿）第一篇：证明直线与圆相切的常见方法（定稿）证明直线与圆相切的常见方法学习了直线与圆的位置关系,常会遇到证明一条直线是圆的切线的题目,如何证明一条直线是圆的切线,一般会出现以下三种情况.一、若证明是圆的切线的直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,此时可根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.简记为“见半径，证垂直”.例1如图1,已知AB为⊙O的直径,直线PA过点A,且∠PAC=∠B.求证:PA是⊙O的切线.图1分析：要证明PA是⊙O的切线，因为AB是⊙O的直径，所以只要证明AB⊥AP.可结合直径所对的圆周为直角进行推理.证明：因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠CAB+∠B=90°，因为∠PAC=∠B，所以∠CAB+∠PAC=90°，即∠BAP=90°，所以PA是⊙O的切线.二、若给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，则连结公共点和圆心，然后根据“经过半径外端且垂直这条半径的直线是圆的切线”来证明.简记为“作半径，证垂直”.例2如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明：连接OC，则OA=OC，所以∠CAO=∠ACO，因为AC平分∠EAB，所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，所以AE∥CO，又AE⊥DE，所以CO⊥DE，所以DE是⊙O的切线．三、若直线与圆的公共点不明确时，则过圆心作该直线的垂线段，然后根据“圆心到直线的距离等于圆的半径，该直线是圆的切线”来证明.简记为“作垂直，证相等”.例3如图3，已知，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F.求证：CD与⊙O相切．图3分析：要识别“CD与⊙O相切”，由于不知道CD经过圆上哪一点，所以先过点O作：ON⊥CD于N，再证明ON是⊙O半径。易知OM是⊙O的半径，只要证明：OM=ON即可.证明：连结OM，作ON⊥CD于N，因为⊙O与BC相切，所以OM⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以AC平分∠BCD.所以OM=ON.图4所以CD与⊙O相切.总结：切线判断并不难，认真审题是重点；直线与圆有交点，连接半径是关键，推得垂直是切线；若没明确是切点，作过圆心垂线段，半径相等得切线.第二篇：怎样证明直线与圆相切？怎样证明直线与圆相切？在直线与圆的各种位置关系中，相切是一种重要的位置关系．现介绍以下三种判别直线与圆相切的基本方法：(1)利用切线的定义——在已知条件中有“半径与一条直线交于半径的外端”，于是只需直接证明这条直线垂直于半径的外端．例1：已知：△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AE交BC于F点，点P在BC的延长线上，且∠CAP=∠ABC．求证：PA是⊙O的切线．证明：连接EC．∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∴∠E＋∠EAC=90°．∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，∴∠E=∠CAP，∴∠EAC＋∠CAP=∠EAC＋∠E=90°，∴∠EAP=90°，∴PA⊥OA，且过A点，则PA是⊙O的切线．(2)利用切线的判定定理——在已知条件中，有“一条直线过圆上某一公共点(即为切点)，但没有半径”，于是先连接圆心与这个公共点成为半径，然后再证明这条直线和这条半径垂直．例2：以Rt△ABC的直角边BC为直径作⊙O交斜边AB于P，Q为AC的中点．求证：PQ必为⊙O的切线．证明连接OP，CP．∵BC为直径，∴∠BPC=90°，即∠APC=90°．又∵Q为AC中点，∴QP=QC，∴∠1=∠2．又OP=OC，∴∠3=∠4．又∠ACB=90°，∴∠2＋∠4=∠1＋∠3=∠ACB＝90°，∴∠OPQ=90°．∵P点在⊙O上，且P为半径OP的端点，则QP为⊙O的切线．说明：要证PQ与半径垂直，即连接OP．这是判别相切中添辅助线的常用方法．(3)证明“d=R”——在已知条件中“没有半径，也没有与圆有公共交点的直线”，于是过圆心作直线的垂线，然后再证明这条垂线的长(d)等于圆的半径(R)．例3：已知：在△ABC中，AD⊥BC与D，且AD=BC，E、F为AB、AC的中点，O为EF2的中点。求证：以EF为直径的圆与BC相切．证明：作OH⊥BC于H，设AD与EF交于M，又AD⊥BC，∴OH∥MD，则OHDM是矩形．∴OH是⊙O的半径，则EF为直径的圆与BC相切.思考题：1．AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=CD，EF过点C，EF⊥BD于G．求证：EF是⊙O的切线．提示：连接CO，则OC是⊙O的半径，再证OC⊥EF．2．DB是圆的直径，点A在DB的延长线上，AB=OB，∠CAD=30°．求证：AC是⊙O的切线．提示：∵AC与⊙O没有公共点，∴作OE⊥AC于E，再证OE是⊙O的半径．第三篇：圆锥曲线与直线相切的条件教案圆锥曲线与直线相切的条件教案教学目的(1)掌握圆锥曲线与直线相切的条件及圆锥曲线切线的定义；(2)使学生会用初等数学方法求圆锥曲线的切线；(3)应用相切的公式解题，从而培养学生综合应用能力．教学过程一、问题提出1．有心的二次曲线包括哪些？无心的二次曲线包括哪些？(答：有心的二次曲线是圆、椭圆及双曲线；无心的二次曲线是抛物线．)(由教师启发下，让学生共同讨论．)(1)当α＞0，β＞0且α＝β时，方程表示为圆；(2)当α＞0，β＞0且α≠β时，方程表示为椭圆；(3)当α、β为异号时，方程表示为双曲线．因此，这个方程可以统一表示有心的二次曲线．3．圆锥曲线与直线的相切的条件是什么？设直线l′与圆锥曲线相交于P、Q两点(图1)，将直线l′绕点P旋转，使点Q逐渐靠近点P，当l′转到直线l的位置时，点Q与点P重合，这时，直线l叫做圆锥曲线在点P的切线．也就是圆锥曲线与直线l相切．根据这个定义，于是圆锥曲线方程f(x，y)＝0与直线方程y＝kx＋m组成的方程组应有两个相同的实数解．实系数一元二次方程有两个相同的实数解的充要条件是判别式Δ＝0，根据条件转化为求Δ＝0．(启发学生回答，由教师归纳，然后板书课题．)今天我们要研究“圆锥曲线与直线相切的条件”．二、讲述新课根据上面分析，得由②代入①，化简、整理得(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③当αk＋β≠0时(二次项系数)，Δ＝4αkm－4α(αk＋β)(m－β)＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2＝4αβ(αk2＋β－m2)．(启发学生讨论．)由于α、β均不为零，因此当Δ＝0时可知有心二次曲线与直线y＝kx＋m相切的充要条件为m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0)④这里αk2＋β恰是方程③的二次项系数．(引导学生对结论④，在圆、椭圆、双曲线各种情况下变化规律进行讨论，教师边归纳，边板书．)(1)对于圆x2＋y2＝γ2，可写成222222即有α＝β＝γ2，于是相切条件为m2＝γ2(k2＋1)．(2)对于椭圆(焦点在x轴上)即有α＝a，β＝b，于是相切条件为m＝ak＋b．(3)对于椭圆(焦点在y轴上)即有α＝b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝b2k2＋a2．(4)对于双曲线(焦点在x轴上)即有α＝a2，β＝－b2，于是相切条件为m2＝a2k2－b2．(5)对于双曲线(焦点在y轴上)即有α＝－b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝a2－b2k2．[应用有心曲线统一公式，这样就不必从圆、椭圆、双曲线一个一个地去求，可避免一个一个冗长复杂的计算，使问题的解决变得简捷．]2．无心的二次曲线y2＝2px与直线y＝kx＋m相切的条件根据上面的分析，得由②代入①，化简整理，得(kx＋m)2＝2px，k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．当二次项系数k2≠0时，Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp＝4p(p－2mk)＝0．无心的二次曲线x2＝2py与直线y＝kx＋m相切的条件，应为(让学生独立完成．)三、巩固新课(让学生直接对照上述结论，设所求公切线的斜率为k，截距为m，再根据椭解设所求的公切线斜率为k，截距为m，根据相切条件有由②代入①，化简整理，得81k4＋36k2－5＝0，(9k2－1)(9k2＋5)＝0，∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，代入②，得m＝±5．因此，所求的公切线方程为即x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．求双曲线的两条互相垂直的切线交点的轨迹方程．(帮助学生分析解题的几个要点，然后由学生上黑板解，教师巡视指点．)y=kx＋m，则由相切条件，可知m2=a2k2－b2．(2)设两切线交点为P(x0，y0)，则切线方程为y－y0=k(x－x0)，即y=kx＋(y0－kx0)．(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直线，就有m=(y0－kx0)，∴(y0－kx0)=ak－b．整理得(4)k1k2=－1，用韦达定理从方程①求得k1k2，即因此，点P的轨迹方程为x＋y=a－b．这里a＞b，点P的轨迹是一个实圆；a=b，点P的轨迹是一个点圆；a＜b，点P无轨迹(虚圆)．解略．法，不难得出轨迹方程为圆方程x＋y=a＋b；这题若改为求抛物线y=2px的两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程，方法也类似，不难得出轨迹方程为即点P一定在准线上．[这样改变一下题目，可让学生开拓思路，举一反三．]四、练习1．已知l为椭圆x＋4y=4的切线并与坐标轴交于A、B两点，求|AB|的最小值及取得最小值时切线l的方程．2解如图2，设切线方程为y=kx＋m，根据相切条件有m2=4k2＋1，即①|OA|2=4k2＋1．在y=kx＋m中，令y=0，得即于是得代入m=4k＋1，求得2因此，所求的切线共有四条(图3)，它们的方程为求四边形ABCD的最大面积．则由相切条件，知m2=a2k2＋b2，故两切线方程为即两切线间的距离∴四边形ABCD的最大面积为五、补充作业轨迹方程．2．求出斜率为k的圆锥曲线的切线方程．教案说明这一节课的指导思想是：根据现代教育理论，强调在教学的过程中培养能力，特别是思维能力．数学思维结构与科学结构十分相似，学习数学的过程，就是从一种思维结构过渡到另一种思维结构的过程，数学知识只是进行思维结构训练的材料．二次曲线与直线相切的条件若从上述结构进行训练，就是使学生形成完整的思维结构，使对数学的认识有新的突破．这一点已成为我在课堂教学中进行探索和研讨的课题．这节课的整个教学过程中，着重于讲解——启导——探究，培养学生的分析能力．讲解时，突出重点：“相切条件”，并以此为中心，达到举一反三、触类旁通．其中也穿插了自学讨论，而不是教师满堂灌．在练习中，注意到了再现性练习、巩固性练习，同时也留有发现性练习，使学生以新带旧，巩固新知，发展智力，反过来从思维结构上形成完整体系，以认识数学本身．第四篇：直线与圆小测试（模版）直线与圆小测试A组1、已知过A1,a、Ba,8两点的直线与直线2xy10平行，则a的值为（）A.-10B.2C.5D.172、设直线xmyn0的倾角为，则它关于x轴对称的直线的倾角是（）Ａ.B.2C.D.23、不论k为何值，直线(2k1)x(k2)y(k4)0恒过的一个定点是（）A.(0,0)B.(2,3)C.(3,2)D.(-2,3)（2，0）4、已知直线l过点，当直线l与圆x2y22x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）（2222）（22）A.B.C.（22）44（）D.11885、过圆x2y24xmy0上一点P(1,1)的圆的切线方程为（）A.2xy30B.2xy10C.x2y10D.x2y106、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是7、圆(x1)2(y2)23的一条弦的中点为(,)，这条弦所在的直线方程为8、圆的半径为3，圆心在y2x上且被y轴所截得的弦长为2的圆的方程为B组9、“a=b”是“直线yx2与圆(xa)2(yb)22相切”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件（）C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件123210、圆(x1)2(y2)28上与直线xy10的距离等于2的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11、已知圆C的圆心与点P(2,1)关于直线yx1对称，直线3x4y110与圆C相交于A、B两点，且AB6，则圆C的方程为．C组10.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由11.设数列{an}的前n项和Sn=na+n（n－1）b，（n=1，2，„），a、b是常数且b≠0.（1）证明：{an}是等差数列.（2）证明：以（an，直线的方程.（3）设a=1，b=Sn－1）为坐标的点Pn（n=1，2，„）都落在同一条直线上，并写出此n1，C是以（r，r）为圆心，r为半径的圆（r＞0），求使得点P1、P2、P32都落在圆C外时，r的取值范围.第五篇：立体几何常见证明方法立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A，过a的平面B与平面A相交于b，则a//b。3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b。4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a//b。5、由向量共线定理，若ABxCD，且AB、CD不共线，则向量AB所在的直线a与向量cd所在的直线b平行，即a//b。二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A。(用相似三角形或平行四边形)3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。4、向量法，向量c与平面A法向量垂直，且向量c所在直线c不在平面内，则c//A。三、面面平行的证明方法1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。3、垂直同一直线的两平面平行。4、平行同一平面的两平面平行。5、向量法，证明两平面的法向量共线。四、两直线垂直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为90°2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).5、向量法.五、线面垂直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.6、向量法,证明平面的法向量与表示该直线的向量共线.六、面面垂直的证明方法1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。2、根据面面垂直的判定定理，一平面经过另一平面的一条垂线，则两平面垂直。3、一平面垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个。4、向量法，证明两平面的法向量垂直（即法向量的数量积为零）。七、两异面直线所成角的求法1、根据定义，平移其中一条和另一条相交，然后在三角形中求角。2、利用中位线，将两异面直线平移至一特殊点（中位线的交点）然后在三角形中求角。3、cos=cos1cos24、向量法.八、直线与平面所成角的求法1、根据定义，作出直线与平面所成角，然后在直角三角形中求角。2、转化为距离(sin=h/l)3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜线与法向量的夹角。（注意为正弦）注：对两异面直线所成角和直线与平面所成角一定要注意角的范围。九、二面角的求法1、定义法，从二面角的棱上的某一点分别在两个半平面内作棱的垂线，求两条垂线所形成的角。2、根据三垂线定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。3