交变电流的产生和描述（教师版）

第一讲交变电流的产生和描述[选择性必修第二册]1.第三章第1节【思考与讨论】，完成对应的三个问题。提示：①线框由甲到乙，磁通量减少，AB边电流方向为B→A；线框由乙到丙，磁通量增大，AB边电流方向为A→B；②线框由丙到丁，磁通量减少，AB边电流方向为A→B。③当线框位置处于甲、丙(中性面)时，磁通量为最大，电流为0，电流方向发生改变。当线框位置处于乙、丁(中性面的垂面)时，磁通量为0，电流最大，电流方向不改变。2.第三章第1节，阅读“交变电流的变化规律”这一部分内容，图5中的线圈若自中性面开始计时，穿过线圈的磁通量和线圈中产生的电动势随时间变化的函数表达式各是什么？提示：穿过线圈的磁通量随时间变化的函数表达式为Φ＝Bldcosωt；线圈中产生的电动势随时间变化的函数表达式为e＝Bldωsinωt。3.根据线框中的磁通量随时间的变化的函数表达式，如何应用数学方法推导出电动势随时间变化的函数表达式？提示：Φ＝Bldcosωt=Φmcosωt；根据法拉第电磁感应定律可知，对磁通量Φ函数进行对时间求导，就是感应电动势，即e＝=Φmωsinωt=Bldωsinωt。4.第三章第2节【思考与讨论】，如何计算交流电的有效值？提示：根据电流的热效应，让交流电与恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在交变电流的一个周期内它们产生的热量相等，就把这个恒定电流的电压与电流分别定义为对应交变电流的有效值。应用等效思想来定义有效值。考点一正弦式交变电流的产生及变化规律一、交变电流1.定义大小和方向都随时间做周期性变化的电流。2.正弦式交变电流的产生条件在匀强磁场中，线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动。二、正弦式交变电流的描述1.周期和频率(1)周期(T)：交变电流完成一次周期性变化(线圈转一周)所需的时间，单位是秒(s)，公式T＝eq\f(2π,ω)。(2)频率(f)：交变电流在1s内完成周期性变化的次数，单位是赫兹(Hz)。(3)周期和频率的关系：T＝。2.正弦式交变电流产生过程中的两个特殊位置图示概念中性面位置与中性面垂直的位置特点B⊥SB∥SΦ＝BS，最大Φ＝0，最小e＝neq\f(ΔΦ,Δt)＝0，最小e＝neq\f(ΔΦ,Δt)＝nBSω，最大电流为零，方向改变电流最大，方向不变3.正弦式交变电流的变化规律(线圈从中性面位置开始计时)函数表达式图像磁通量Φ＝Φmcosωt＝BScosωt电动势e＝Emsinωt＝nBSωsinωt电流i＝Imsinωt＝eq\f(Em,R＋r)sinωt电压u＝Umsinωt＝eq\f(REm,R＋r)sinωt【注意】e、i、u三个量的变化步调总是一致的，且总是与Φ的变化反相。题型一交变电流的产生(2022·北京市丰台区高三一模)交流发电机的示意图如图所示，当线圈ABCD绕垂直于磁场方向的转轴OO′匀速转动时，电路中产生的最大电流为Im，已知线圈转动的周期为T，下列说法正确的是()A.图示位置磁通量最大，磁通量的变化率最大B.图示位置电流最大，方向为A→BC.从图示位置开始经过，电流方向将发生改变D.从图示位置计时，线圈中电流i随时间t变化的关系式为i＝ImsintD题图示位置为中性面，磁通量最大，磁通量的变化率最小，电流最小，每经过一次中性面，电流方向题型二交变电流的图像图甲为小型旋转电枢式交流发电机的原理图，其单匝矩形线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO′匀速转动，线圈的两端经集流环和电刷与R＝10Ω的电阻连接，发电机内总电阻r＝2Ω，与电阻R并联的交流电压表为理想电压表，示数是10V。图乙是矩形线圈中磁通量Φ随时间t变化的图像，则()A.该电动势的瞬时值e＝12sin(100πt)VB.R两端的电压瞬时值u＝14.1cos(100πt)VC.t＝0.02s时，R两端的电压瞬时值为零D.通过R的电流i随时间t变化的规律是i＝14.1cos(50πt)AB由题图乙可知，t＝0.02s时磁通量变化率最大，R两端的电压瞬时值最大，故C错误；由Φt图像可知T＝2×10－2s，t＝0时刻Φ＝0,R两端的电压u随时间t变化的规律是u＝14.1cos(100πt)V，故B正确；通过R的电流i随时间t变化的规律是i＝1.41cos(100πt)A，故D错误；电动势的最大值Em＝eq\f(R＋r,R)Um＝16.92V，故A错误。故选：B。(多选)在匀强磁场中，匝数N＝100的矩形金属线圈绕垂直磁感线的转轴匀速转动，线圈中产生的感应电动势随时间变化的规律如图所示，则下列说法正确的是()A.t＝0.5×10－2s时，线圈平面与中性面重合B.t＝1×10－2s时，线圈中磁通量变化率最大C.穿过每一匝线圈的最大磁通量为1×10－3WbD.线圈转动的角速度为100πrad/sCD根据题图知，t＝0.5×10－2s时，感应电动势最大，对应的磁通量的变化率最大，而此时矩形金属线圈磁通量为零，线圈平面与磁场方向平行，与中性面垂直，A错误；根据题图知，t＝1×10－2s时，感应电动势为零，对应的磁通量的变化率为零，故B错误：线圈转动的角速度ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,0.02)rad/s＝100πrad/s，根据Em＝NωBS，Φm＝BS可知，穿过每一匝线圈的最大磁通量为Φm＝eq\f(Em,Nω)＝eq\f(10π,100×100π)Wb＝1×10－3Wb，故CD正确。故选：CD。求解交变电流图像问题的四点注意：(1)只有当线圈从中性面位置开始计时，电流的瞬时值表达式才是正弦函数形式，其变化规律与线圈的形状及转动轴处于线圈平面内的位置无关。(2)注意峰值公式Em＝NBSω中的S为线圈在中性面位置处于磁场中的有效面积。(3)在解决有关交变电流的图像问题时，应先把交变电流的图像与线圈的转动位置对应起来，再根据特殊位置求解。(4)根据法拉第电磁感应定律E＝neq\f(ΔΦ,Δt)，若Φ按余弦规律变化，则e必按正弦规律变化；若Φ按正弦规律变化，则e必按余弦规律变化，即Φ＝Φmsinωt，e＝nωΦmcosωt。故Φ增大时，e必减小；Φ最大时，e最小。1.(多选)(2022·河北省邯郸市高三(上)期末)如图所示，两根间距为的足够长的粗糙金属导轨平行固定在水平面上，导轨电阻忽略不计。在导轨内部空间存在以正弦曲线和导轨的中位线为边界的匀强磁场，中位线上方磁场方向垂直纸面向里，中位线下方磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B＝1T。现有一导体棒在外力作用下以10m/s的速度匀速向右运动(接触电阻忽略不计)。已知导体棒接入导轨间的电阻为10Ω，电流表和电压表均为理想电表，与电流表相连的电阻R＝10Ω，则下列叙述正确的是()A.回路中产生的是交流电，且按照正弦规律变化B.电压表示数为0.5VC.导体棒的热功率为0.1WD.当导体棒运动到图示位置时，电流表示数最大AB因为磁场边界是正弦曲线，可得回路产生的是正弦式交流电，故A正确；正弦式交流电的电压峰值为Um＝Bl有效v＝，U有效＝eq\f(Um,\r(2))＝1V，则电压表的示数为0.5V，故B正确；导体棒的热功率P＝eq\f(U有效2,2R总)＝0.025W，故C错误；电表显示的是有效值，无论棒处于何种位置示数均不变，故D错误。故选：AB。2.(多选)一固定的矩形线框水平放置，线框的左端接一阻值为R的定值电阻，线框的电阻为r，线框面积为S，如图甲所示。空间存在与线框平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小随时间按如图乙所示的正弦规律变化，其中Bm为磁感应强度的最大值，T为磁场变化的周期，选向上为正方向，下列说法正确的是()A.t＝eq\f(T,2)时，回路中的感应电流为0B.通过定值电阻的电流为C.在0～时间内，通过定值电阻的电荷量为eq\f(BmS,R＋r)D.线圈中产生的感应电动势瞬时值的表达式为e＝BmSsintBCt＝时，穿过回路的磁通量为0，磁通量的变化率最大，回路中的感应电流最大，故A错误；磁感应强度随时间变化的表达式为B＝Bmsint，穿过回路的磁通量随时间变化的表达式为Φ＝BmSsint，磁通量Φ对时间t求导得Φ′＝e＝BmScost，故D错误；感应电动势的峰值Em＝BmS，电流的最大值Im＝eq\f(Em,R＋r)，有效值I＝eq\f(Im,\r(2))＝，故B正确；在0～时间内，电动势的平均值＝eq\f(SΔB,Δt)＝，平均电流＝，通过定值电阻的电荷量Q＝＝eq\f(BmS,R＋r)，故C正确。故选：BC。3.一矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动时，产生正弦式交变电流，电动势随时间的变化规律如图线a所示。仅调整线圈转速，电动势随时间的变化规律如图线b所示，则图线b电动势瞬时值的表达式是()A.e＝10sin(5πt)V B.e＝10sinVC.e＝12sin(5πt)V D.e＝12sinVB感应电动势最大值Em＝NBSω，转速调整前后，NBS相同，Em与ω成正比，由图可知，Ema＝15V，ωa＝eq\f(2π,0.4)rad/s＝5πrad/s，ωb＝eq\f(2π,0.6)rad/s＝eq\f(10π,3)rad/s，则Emb＝eq\f(ωb,ωa)Ema＝10V，所以图线b电动势的瞬时值表达式e＝Emb·sinωbt＝10sinV，故选B。考点二交变电流有效值的计算一、对有效值的理解1.交流电流表、交流电压表的示数是指有效值；2.用电器铭牌上标的值（如额定电压、额定功率等）指的均是有效值；3.计算热量、电功率用的是有效值；4.通常没有特别加以说明的，一般指有效值。二、有效值的两种计算方法公式法若图像部分是正弦(或余弦)交流电，其中从零(或最大值)开始的周期整数倍的部分可直接应用正式弦式交变电流有效值与最大值间的关系、求解热效应法若交变电流为非正弦交变电流，在计算有效值时要注意根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内在“相同电阻”上产生“相同热量”。再利用两类公式：和分别求电流有效值和电压有效值三、几种典型的电流及其有效值名称电流(电压)图像有效值正弦式交变电流I＝eq\f(Im,\r(2))U＝eq\f(Um,\r(2))正弦半波电流I＝eq\f(Im,2)U＝eq\f(Um,2)正弦单向脉动电流I＝eq\f(Im,\r(2))U＝eq\f(Um,\r(2))矩形脉动电流I＝I1U＝U1非对称性交变电流I＝U＝题型一公式法(2021·辽宁高考)如图所示，N匝正方形闭合金属线圈abcd边长为L，线圈处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，绕着与磁场垂直且与线圈共面的轴OO′以角速度ω匀速转动，ab边距轴。线圈中感应电动势的有效值为()A.NBL2ω B.eq\f(\r(2),2)NBL2ωC.NBL2ω D.eq\f(\r(2),4)NBL2ωB线圈绕垂直于磁感线且与线圈共面的轴匀速转动，产生正弦式交变电流，且感应电动势的最大值Em＝NBSω＝NBL2ω，则线圈中感应电动势的有效值为E＝eq\f(Em,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)NBL2ω，故选：B。题型二热效应法一电阻R接到如图甲所示的正弦式交流电源上，两端电压的有效值为U1，消耗的电功率为P1；若该电阻接到如图乙所示的方波交流电源上，两端电压的有效值为U2，消耗的电功率为P2。若甲、乙两图中的U0、T所表示的电压值、周期值是相同的，则下列说法正确的是()A.U1＝U0 B.U2＝U0C.P1＝eq\f(U02,2R) D.P1P2＝C电阻接到正弦式交流电源上，两端电压的有效值为U1＝eq\f(\r(2)U0,2)，功率P1＝eq\f(U12,R)＝eq\f(U02,2R)，故A错误，C正确；电阻接到方波交流电源上，设两端电压的有效值为U2，则有·＋eq\f(U02,R)·＝eq\f(U22,R)T，解得U2＝U0，功率P2＝eq\f(U22,R)＝eq\f(5U02,2R)，则P1P2＝，BD错误。故选：C。如图所示的区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一扇形闭合导线框，电阻为R、半径为L、圆心角为60°，绕顶点O(位于磁场边界)在纸面内匀速转动，角速度为ω。线框串有一理想交流电流表(未画出)，则交流电流表的示数为()A.eq\f(\r(2)BL2ω,2R)B.eq\f(\r(2)BL2ω,4R)C.eq\f(\r(3)BL2ω,3R)D.eq\f(\r(3)BL2ω,6R)D设线框转动周期为T，而线框转动一周只有的时间内有感应电流，此时感应电流的大小为I＝＝eq\f(\f(1,2)BL2ω,R)＝eq\f(BL2ω,2R)根据有效值的定义有RT＝R·所以感应电流的有效值为＝eq\f(\r(3)BL2ω,6R)，D正确。故选：D。题型三含有二级管有效值的计算某研究小组成员设计了一个如图所示的电路，已知纯电阻R的阻值不随温度变化。与R并联的是一个理想的交流电压表，D是理想二极管(它的导电特点是正向电阻为零，反向电阻为无穷大)。在A、B间加一交流电压，瞬时值的表达式为，则交流电压表示数为()A.10V B.20V C.15V D.14.1VD二极管具有单向导电性，使得半个周期内通路，另半个周期内断路，在正半周内，交流电的有效值为20V，故一个周期内的电阻发热为，解得：，故D正确，ABC错误。故选：D。(1)高中阶段可以定量求解有效值的只有正弦式交变电流(或其特定部分)、方波式电流及其组合。(2)交变电流一个周期内的图像为完整的或周期正弦(余弦)函数图像，或者瞬时值从0或峰值开始的周期的正弦(余弦)函数图像，则该交变电流的有效值，可根据交变电流有效值的定义及正弦式交变电流有效值的大小进行对比求解，例如正弦半波电流及正弦单向脉动电流有效值的求解。(3)正弦半波、矩形脉动等电流只能利用电流的热效应计算有效值。(4)其他情况的有效值一般不能进行定量计算，但有的可以与正弦式交变电流的有效值定性比较。如图1交变电流与如图2正弦式交变电流比较，可知其有效值小于Im。1.现在市场上的调光台灯、调速风扇是用可控硅电子元件来实现调节的。如图为一个经过元件调节后加在电灯上的电压，在正弦式交流电的每半个周期中都截去了前面的四分之一。现在加在电灯上的电压是()A.UmB.eq\f(Um,\r(2))C.eq\f(Um,4)D.eq\f(Um,2)D使该交流电与一恒定电流分别通过相同电阻R，设该恒定电流的电压为U，交流电在一个周期内产生的热量为：Q1＝·，恒定电流在一个周期内产生的热量为：Q2＝T，由Q1＝Q2，得U＝eq\f(Um,2)，则该交流电电压的有效值为eq\f(Um,2)，即为加在电灯上的电压。故选：D。2.(2023·湖北黄冈市模拟)如图是某一线圈通过的交流电的电流－时间关系图像(前半个周期为正弦波形的)，则一个周期内该电流的有效值为()A.I0B.eq\f(\r(5),2)I0C.eq\f(\r(3),2)I0D.I0B设该电流的有效值为I，由I2RT＝R·eq\f(T,2)＋(2I0)2R·，解得I＝I0，故选B。3.如图所示电路，电阻R1与电阻R2串联接在交变电源上，且R1＝R2＝10Ω，正弦交流电的表达式为u＝20eq\r(2)sin(100πt)V，R1和理想二极管D(正向电阻为零，反向电阻为无穷大)并联，则R2上的电功率为()A.10WB.15WC.25W D.30WC由题图可知，当电流从A流出时，R1被短路，则此时R2上电压有效值为U2＝eq\f(Um,\r(2))＝20V；当电流从B流出时，R1、R2串联，则R2两端电压有效值为U2′＝eq\f(U2,2)＝10V。设在一个周期内R2两端的电压有效值为U，则×＋×＝T，解得U＝V，则P2＝＝W＝25W，故选：C。4.(2021·浙江6月选考)如图所示，虚线是正弦交流电的图像，实线是另一交流电的图像，它们的周期T和最大值Um相同，则实线所对应的交流电的有效值U满足()A.eq\f(Um,2)B.eq\f(\r(2)Um,2)C.eq\f(\r(2)Um,2) D.eq\f(\r(2)Um,2)D虚线是正弦交流电的图像，其有效值为＝eq\f(Um,\r(2))＝eq\f(\r(2)Um,2)，由图可知，在任意时刻，实线所代表的交流电的瞬时值都不大于虚线表示的正弦交流电的瞬时值，则实线所代表的交流电的有效值小于虚线表示的正弦交流电的有效值，则U<eq\f(\r(2)Um,2)，故选：D。考点三交变电流的“四值”的比较交变电流的“四值”及应用物理含义重要关系适用情况瞬时值交变电流某一时刻的值e＝Emsinωti＝Imsinωt计算线圈某一时刻的受力情况峰值交变电流最大的瞬时值Em＝nBSωIm＝eq\f(Em,R＋r)确定用电器的耐压值、电容器的击穿电压有效值与交变电流的热效应等效的恒定电流值E＝eq\f(Em,\r(2))U＝eq\f(Um,\r(2))I＝eq\f(Im,\r(2))(1)计算与电流热效应相关的量(如功率、热量)(2)交流电表的测量值(3)用电器设备标注的额定电压、额定电流(4)保险丝的熔断电流平均值i­t图像中图线与时间轴所围面积与时间的比值＝neq\f(ΔΦ,Δt)＝计算通过电路某截面的电荷量【注意】正(余)弦交流电的有效值和峰值的关系：E＝eq\f(Em,\r(2))，U＝eq\f(Um,\r(2))，I＝eq\f(Im,\r(2))。(2023·广西柳州市模拟)为研究交变电流产生的规律，某研究小组把长60m导线绕制成N＝100匝的矩形闭合线圈，如图所示．现把线圈放到磁感应强度大小B＝0.1T、方向水平向右的匀强磁场中，线圈可以绕其对称轴OO′转动．现让线圈从图示位置开始(t＝0)以恒定的角速度ω＝10πrad/s转动．下列说法正确的有()A.t＝0时，线圈位于中性面位置B.t＝0.05s时，感应电流达到最大值C.当bc＝2ab时，感应电动势的表达式为e＝2πsin10πt(V)D.当ab＝ad时，感应电动势的有效值最大Dt＝0时，线圈位于与中性面垂直的位置，故A错误；线圈的周期为T＝eq\f(2π,ω)＝0.2s，t＝0.05s时，线圈转过90°，到达中性面位置，此时磁通量最大，感应电流为零，故B错误；电动势最大值为Em0＝NBS0ω，S0＝ab·bc，N(ab＋bc)×2＝60m,2ab＝bc，联立可得Em0＝2π(V)，线圈从题中图示位置(平行于磁场方向)开始转动，因此感应电动势的表达式为e＝2πcos10πt(V)，故C错误；线圈周长为0.6m，当ab＝ad时，边长相等，此时线圈面积最大，又Em＝NBSω，则感应电动势最大，即感应电动势的有效值最大，故D正确。故选：D。(2021·北京卷)一正弦式交变电流的i－t图像如图所示。下列说法正确的是()A.在t＝0.4s时电流改变方向B.该交变电流的周期为0.5sC.该交变电流的表达式为i＝2cos(5πt)AD.该交变电流的有效值为AC在t＝0.4s时电流最大，电流方向不变，A错误；该交变电流的周期为0.4s，B错误；ω＝eq\f(2π,T)＝5π，故该交变电流的表达式为i＝2cos(5πt)A，C正确；该交变电流的有效值为eq\r(2)A，D错误。故选：C。(多选)如图甲所示，标有“220V40W”的灯泡和标有“20μF320V”的电容器并联接到交流电源上，V为交流电压表，交流电源的输出电压随时间的变化规律如图乙所示，闭合开关S。下列判断正确的是()A.t＝时刻，V的示数为零B.灯泡恰好正常发光C.电容器不可能被击穿D.电压表的示数保持V不变 BC电压表的示数应是电压的有效值220V，选项A、D错误；电压的有效值恰好等于灯泡的额定电压，灯泡正常发光，选项B正确；电压的峰值Um＝V≈311V，小于电容器的耐压值，故电容器不可能被击穿，选项C正确。故选：BC。(多选)图甲是一种振动发电装置的示意图，半径为r＝0.1m、匝数n＝20的线圈位于辐向分布的磁场中，磁场的磁感线均沿半径方向均匀分布(其右视图如图乙所示)，线圈所在位置的磁感应强度的大小均为B＝T，线圈电阻为R1＝0.5Ω，它的引出线接有R2＝9.5Ω的小电珠L，外力推动线圈框架的P端，使线圈沿轴线做往复运动，线圈运动速度v随时间t变化的规律如图丙所示(摩擦等损耗不计)，则（）A.小电珠中电流的峰值为0.16AB.小电珠中电流的有效值为0.16AC.电压表的示数约为1.5VD.t＝0.1s时外力的大小为0.128NAD由题意及法拉第电磁感应定律知，线圈在磁场中做往复运动，产生的感应电动势的大小符合正弦曲线变化规律，线圈中的感应电动势的峰值为Em＝nBlv＝nB·2πrvm，故小电珠中电流的峰值为Im＝＝A＝0.16A，选项A正确，B错误；电压表示数为U＝·R2≈1.07V，选项C错误；当t＝0.1s也就是时，外力的大小为F＝nB·2πrIm＝0.128N，选项D正确。故选：AD。解决交变电流“四值”问题的关键1.涉及交流电表的读数、功、功率、热量都用有效值。2.涉及计算通过截面的电荷量用平均值。3.涉及电容器的击穿电压考虑峰值。4.涉及电流、电压随时间变化的规律时，即与不同时刻有关，考虑瞬时值。1.(多选)如图甲所示，将阻值为R＝5Ω的电阻接到内阻不计的正弦交变电源上，电流随时间变化的规律如图乙所示，电流表串联在电路中测量电流的大小。对此，下列说法正确的是()A.电阻R两端电压变化规律的函数表达式为u＝2.5sin200πt（V）B.电阻R消耗的电功率为1.25WC.如图丙所示，若此交变电流由一矩形线框在匀强磁场中匀速转动产生，当线圈的转速提升一倍时，电流表的示数为1AD.这一交变电流与图丁所示电流比较，其有效值之比为AD图乙所示电流的最大值为Im＝0.5A，周期为T＝0.01s，其角速度为ω＝＝200πrad/s，由部分电路欧姆定律得Um＝ImR＝2.5V，所以R两端电压瞬时值的表达式为u＝2.5sin200πt（V），选项A正确；该电流的有效值为I＝，电阻R消耗的电功率为P＝I2R，解得P＝0.625W，选项B错误；电流表的示数为有效值，若该交变电流由图丙所示矩形线圈在匀强磁场中匀速转动产生，当转速提升一倍时，电动势的最大值Em＝nBSω为原来的2倍，电路中电流的有效值也是原来的2倍，为2×A≠1A，选项C错误；图乙中的正弦交变电流的有效值为A，图丁所示的交变电流虽然方向发生变化，但大小恒为0.5A，故有效值之比为，选项D正确。故选：AD。2.(2023·江苏省常熟中学模拟)图甲是某发电机的示意图，正方形金属框边长为L，其两端与两个半圆环相连，在磁感应强度为B的匀强磁场中以恒定角速度绕OO′轴转动．阻值为R的电阻两端的电