黑龙江省齐齐哈尔市五校联考2023-2024学年高一上学期10月期中考试数学试题（解析版）

2023~2024学年度上学期期中考试高一数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章~第三章.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集运算即可求.【详解】易知集合及集合的公共元素为1和2，所以．故选：C2.已知函数，则值是（）A.－2022 B.0 C.1 D.2022【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数可求的值.【详解】的定义域为，定义域关于原点对称.，故为奇函数，则．故选：B.3.函数定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组，解不等式组可求得结果【详解】要使函数有意义，必须，解得且，则函数的定义域为，故选：D．4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】解不等式得到，根据范围的大小关系得到答案.【详解】，，故“”是“”的必要不充分条件.故选：C.5.函数在上的最小值为（）A.2 B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】由反比例函数的性质判断的单调性即可得出答案.【详解】因为在上单调递减，所以当时取最小值为.故选：B．6.设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数为偶函数，得到，，再利用时，是增函数求解.【详解】解：因为函数为偶函数，所以，，因为当时，是增函数，又，所以，即，故选：A.7.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过的部分2.07元超过但不超过的部分4.07元超过的部分6.07元若某户居民本月缴纳的水费为108.1元，则此户居民本月的用水量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可知，该题为分段函数模型.可求出函数，根据各段的值域，可知，代入解析式，即可求出.【详解】设此户居民本月的用水量为，水费为元.当时，则；当时，则；当时，则.综上所述，由前面可知，，则有，解得.故选：D.8.函数，若对任意，（），都有成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】确定函数单调递减，根据单调性得到不等式，解得答案.【详解】因为对任意，（），都有成立，所以是减函数，则，解得.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，则下列不等式中正确的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】应用作差法判断各选项中不等式的正误.详解】由，可得.A：由，当时，，故不正确；B：由，当时，，故不正确；C：由，故正确；D：由，故正确.故选：CD.10.设定义在上的函数，则下列函数必为偶函数的有（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用偶函数定义逐项计算判断即得.【详解】对于A，令，，即为偶函数，A正确；对于B，令，，为偶函数，B正确；对于C，令，，无法判断的奇偶性，C错误；对于D，令，，为偶函数，D正确．故选：ABD11.若函数的值域为，则的可能取值为（）A. B. C. D.0【答案】BCD【解析】【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.【详解】①时，，值域为，满足题意；②时，若的值域为，则；综上，．故选：BCD12.已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（）A. B.C.为奇函数 D.为上的减函数【答案】ACD【解析】【分析】特殊值代入计算即可得到A正确，特殊值代入可得B错误，经过变换可得到C正确，根据函数的单调性的定义得到D正确.【详解】对于A，由题可知，故，故A正确；对于B，由题可知，，故B错误；对于C，，故，为奇函数，故C正确；对于D，当时，，，是上的减函数，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题：“，”的否定是__________.【答案】，【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得.【详解】根据特称命题的否定是全称命题，则命题：“，”的否定是“，”.故答案为：，.14.已知幂函数的图象经过点，则________．【答案】##【解析】【分析】根据幂函数定义，设幂函数，带入点求出参数a，求出函数解析式，再带入计算即可.【详解】设幂函数，所以，解得，所以，所以．故答案为：15.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________.【答案】##【解析】【分析】由题意，根据必要不充分条件可得⫋，从而建立不等关系即可求解.【详解】解：不等式的解集为，不等式的解集为，因为“”是“”的必要不充分条件，所以⫋，所以，解得，所以实数的取值范围为，故答案为：.16.已知，函数有最大值，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】注意到反比例函数的定义域不包括0，因此对分类讨论即可.【详解】当时，无最大值，要使函数存在最大值，则且，即，解得.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知集合.（1）若，求，的值；（2）若，且，求，的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可得出答案；（2）易得，再根据，列出方程组，解之即可得解.【小问1详解】解：若，则有，解得；【小问2详解】解：，因为，所以，解得.18.（1）比较和的大小；（2）请判断“，”是“”的什么条件?（“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）【答案】（1）；（2）充分不必要条件.【解析】【分析】（1）利用作差法比较大小即可.（2）利用不等式性质及举例说明，并结合充分条件、必要条件的定义判断得解.【详解】（1）依题意，，由，，，得，当且仅当取等号，所以与的大小关系为.（2）由，，得，则，因此“，”是“”的充分条件；取，，，，此时，但，因此成立，不能保证，同时成立，即“，”不是“”的必要条件，所以“，”是“”的充分不必要条件.19.已知函数．（1）用定义法证明：函数f（x）在（0，2）上单调递增；（2）求不等式解集．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）结合函数单调性的定义，通过计算，来证得在上递增.（2）结合函数的奇偶性的单调性求得不等式的解集.【小问1详解】任取，则，因为，所以，所以，所以f（x）在（0，2）上单调递增.【小问2详解】函数f（x）的定义域为（－2，2）．因为，所以函数f（x）为奇函数，又f（0）＝0，所以函数f（x）在（－2，2）上单调递增，原不等式可化为不等式，因此解得，所以原不等式的解集为．20.（1）若关于的不等式的解集是，求不等式的解集；（2）已知两个正实数，满足，并且恒成立，求实数取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据不等式的解集以及韦达定理即可求得，再解不等式即可.（2）利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可.【详解】（1）不等式的解集是，，是方程的两个根，由韦达定理得：，，即，解不等式可得：或，故的解集为或（2）恒成立，，，当且仅当，即时等号成立，解得，则实数的范围是：.21.已知函数．（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在实数或【解析】【分析】（1）先求出的增区间，再利用子集关系求解即可；（2）求出在上的最值，其一定不比大，可先求出的初步范围，在分类讨论求最值即可求出的值.【小问1详解】因为二次函数的解析式为，所以的对称轴为且开口向上，即的增区间为，又函数在上单调递增，所以，可得，解得．所以的取值范围是；【小问2详解】令，假设存在实数，使得函数在区间上的最小值为，则，得，解得或．当时，在上递增，则，所以，得；当时，在上递减，则，所以，得，综上所述，存在实数或，使得函数在区间上的最小值为.22.对于定义在D上的函数，若存在实数m，n且，使得在区间上的最大值为，最小值为，则称为的一个“保值区间”．已知函数是定义在R上的奇函数，当）时，．（1）求函数的解析式；（2）求函数在内的“保值区间”；（3）若以函数在定义域内所有“保值区间”上的图象作为函数的图象，求函数的值域．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性即得函数的解析式；（2）根据“保值区间”的概念结