四川省成都市彭州市2023-2024学年上学期高三期中考试数学(理科)试题

彭州市2023~2024学年度上期高三期中教学质量调研理科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名､座位号和考号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上､试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）A.B.C.D.3.已知命题不是素数，则为（）A.是素数B.是素数C.是素数D.是素数4.已知等差数列的前项和为，则数列的公差为（）A.1B.2C.3D.4

5.已知向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.2023年“三月三”期间，四川交通部门统计了2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年比较，得到同比增长率[同比增长率（今年车流量-去年同期车流量）去年同期车流量）]数据，绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（）A.2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为23B.2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17C.2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量的标准差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路车流量的标准差D.2022年4月23日的高速公路车流量为20万车次7.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.1D.-1

8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：）A.B.C.D.9.已知双曲线的左､右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（）A.B.C.2D.3

10.已知定义在上的奇函数满足，当时，.若函数在区间上有10个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.11.已知，则不等式的解集为（）A.B.C.D.12.已知，对任意，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值为（）A.B.C.D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中常数项为__________.14.已知数列满足，且，则__________.15.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则__________.16.已知正数满足（e为自然对数的底数），有下列四个关系式：①②③④其中正确的是__________（填序号）.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）记的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的面积.18.（12分）如图，在四棱锥中，底面，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.19.（12分）某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的两门学科成绩作为样本.将他们的学科成绩整理得到如图所示的频率分布直方图，且规定成绩不小于70分为良好.已知他们中学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人.（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为这次考试学生的学科良好与学科良好有关；学科良好学科不够良好合计学科良好学科不够良好合计（2）用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中学科均良好的人数为随机变量，求的分布列与数学期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（12分）已知椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上，且.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求的面积.21.（12分）已知函数，其中.（1）当时，证明：；（2）设函数，若为的极大值点，求的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线分别交于两点（异于极点），求的长度.23.（10分）已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.彭州市2023~2024学年度上期高三期中教学质量调研理科数学参考答案及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.123456789101112AADBBCDDDABC二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2414.15.16.①②③④解析：16.由题意得，令，则恒成立，所以在上单调递增，故，所以，②正确，，①正确，，④正确，，，又在上单调递增，，故，从而，设，，又恒成立，在上单调递增.从而.三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（12分）解：（1），由正弦定理得，，可得，即.，所以；（2）解法1：由正弦定理，，可得，，所以，的面积为.解法2：因为，且，，可得，，，，可得，，，由余弦定理得，即，解得，即，的面积为.18.（12分）解：（1）方法一：综合法——平行平面的性质取的中点，连结（如图），由分别为的中点及中位线定理得，，平面平面，平面平面.又平面，平面平面.平面，平面方法二：综合法——直线与平面平行的判定连结延长交的延长线于，连结，，即，又，，又，平面平面，平面.方法三：空间向量方法底面底面，，又，故两两垂直，以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：由知：，，，设平面的一个法向量为由得，取得，，又平面，平面（2）方法一：由（1）方法三可得：，，设平面的一个法向量为，由，得，取，得，设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，由几何体的空间结构知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为方法二：连结，由得：，，，在中，，由余弦定理得：，则，底面底面，平面，平面.又平面，为二面角的平面角，在直角三角形中，，在直角三角形中，，在三角形中，由余弦定理得：，二面角的余弦值为19.（12分）解：（1）由直方图可得学科良好的人数为（人），所以列联表如下：学科良好学科不够良好合计学科良好403070学科不够良好102030合计5050100假设学科良好与学科良好无关，，所以有把握认为学科良好与学科良好有关；（2）学科均良好的概率，的可能取值为，且.所以，，所以的分布列为0123因为，所以.20.（12分）解：（1）由题意知，又，则，，解得（负值舍去），由在椭圆上及得，解得，椭圆的方程为；（2）由（1）知，右焦点为，据题意设直线的方程为，则，于是由得，化简得由，消去整理得，，由根与系数的关系得：，代入式得：，解得，直线的方程为，方法一：，由求根公式与弦长公式得：，设点到直线的距离为，则，方法二：由题意可知，代入消去得，，.21.（12分）解：（1）证明：若，则，且，则，令，得.在上，单调递减；在上，单调递增；故；（2）.当时，易得，若，则，在上单调递增，这与为函数的极大值点相矛盾.若，令，则，又令，则对恒成立，在上单调递增.又，，存在唯一，使得，在上，单调递减，又，在上，，故单调递增，在上，，故单调递减，为函数的极大值点，满足题意，综上，的取值范围为.22.（10分）解：（1）曲线的极坐标方程为：，曲线的普通方程为：