福建省2020年中考数学复习专题二：实际应用题

专题二实际应用题类型一几何类最值问题(2018·福建B卷)空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．(1)已知a＝20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米，如图1.求所利用旧墙AD的长；(2)已知0＜a＜50，且空地足够大，如图2.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．【分析】(1)按题意设出AD的长，表示出AB的长进而构成方程求解即可；(2)根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论S与菜园边长之间的数量关系．【自主解答】

1．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米．(1)求证：AE＝2BE；(2)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？2．国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图示，单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影所示)，供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.(1)求y与x的函数解析式；(2)若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；(3)若要求eq\f(1,2)≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．类型二费用、利润最值问题(2018·陕西)经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店(简称网店)将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国．小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：商品红枣小米规格1kg/袋2kg/袋成本(元/袋)4038售价(元/袋)6054根据上表提供的信息，解答下列问题：(1)已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000kg，获得利润4.2万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；(2)根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2000kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600kg.假设这后五个月，销售这种规格的红枣为xkg，销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y元，求出y与x之间的函数关系式，并求出这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．【分析】(1)分别算出红枣和小米的利润，由利润共4.2万元列方程得解；(2)列出总利润y与红枣的重量x之间的函数关系式，再根据函数性质求最值即可．【自主解答】

3．(2019·三明质检)某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件利润40元，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件童装降价1元，日销售量将增加2件．(1)若想要这种童装销售利润平均每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？(2)当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？4．(2019·福建模拟)某商店销售10件A商品和5件B商品的利润为1750元，销售5件A商品和10件B商品的利润为2000元．(1)求A商品和B商品每件的销售利润；(2)若该商店计划一次购进A，B商品共100件，其中B商品的进货量不超过A商品进货量的2倍，求该商店购进A，B商品各多少件时，全部商品销售完，总利润最大？

5．某销售商准备采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．(1)求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？(2)若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．①求m的取值范围；②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w(元)与n(元/件)的函数关系式(每件销售利润＝售价－进价－销售成本)．6．(2018·随州)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天(1≤x≤15，且x为整数)每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如下表：天数(x)13610每件成本p(元)7.58.51012任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y(件)与x(天)满足如下关系：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋20（1≤x＜10，且x为整数），,40（10≤x≤15，且x为整数）.))设李师傅第x天创造的产品利润为W元．(1)直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？(3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？类型三方案问题某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．(1)求y与x的函数解析式，其中0≤x≤21；(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【分析】(1)根据购买两种树苗所需费用＝A种树苗费用＋B种树苗费用，即可解答；(2)根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，列出不等式，确定x的取值范围，再根据(1)得出的y与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值范围，即可得出费用最省的方案．【自主解答】7．(2019·鸡西)为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生，已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．(1)求购买1个甲种文具、1个乙种文具各需多少元？(2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？(3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？

8．某学校为改善办学条件，计划采购A，B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元；(2)若学校计划采购A，B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于10台，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？(3)在(2)的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？类型四函数图象型小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行．小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min.小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示．(1)家与图书馆之间的路程为m，小玲步行的速度为m/min；(2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(3)求两人相遇的时间．【分析】(1)根据图象得到路程与速度数据；(2)根据方程思想列出小东离家路程y与时间x之间的函数关系式；(3)相遇其实质是求交点坐标．【自主解答】9．(2019·福州模拟)某商厦试销一种成本为50元/件的商品，规定试销时的销售单价不低于成本，又不高于80元/件，试销中销售量y(件)与销售单价x(元/件)的关系可近似地看成一次函数(如图)．(1)求y与x的关系式；(2)设商厦获得的毛利润(毛利润＝销售额－成本)为S(元)，则销售单价定为多少时，该商厦获利最大，最大利润是多少？此时的销售量是多少件？10．(2019·莆田模拟)甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A地时距地面的高度b为米；(2)若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式；(3)登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？11．某市制米厂接到加工大米任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量y(吨)与甲车间加工时间x(天)之间的关系如图1所示；未加工大米w(吨)与甲加工时间x(天)之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：(1)甲车间每天加工大米吨，a＝；(2)求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y(吨)与x(天)之间函数关系式；(3)若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好装满第二节车厢？12．某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线)．(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？(收益＝售价－成本)(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由；(3)已知市场部销售该种蔬菜4，5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4，5两个月的销售量分别是多少万千克？参考答案类型一【例1】(1)设AD＝x米，则AB＝eq\f(100－x,2)米．依题意得eq\f(x（100－x）,2)＝450，解得x1＝10，x2＝90.∵a＝20，x≤a，∴x2＝90不合题意，舍去，∴所利用旧墙AD的长为10米．(2)设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米．(ⅰ)如果按图1方案围成矩形菜园，依题意得S＝eq\f(x（100－x）,2)＝－eq\f(1,2)(x2－100x)＝－eq\f(1,2)(x－50)2＋1250，0＜x≤a.∵0＜a＜50，∴x≤a＜50时，S随x的增大而增大，∴当x＝a时，S最大＝50a－eq\f(1,2)a2.(ⅱ)如果按图2方案围成矩形菜园，依题意得S＝eq\f(x（100＋a－2x）,2)＝－[x－(25＋eq\f(a,4))]2＋(25＋eq\f(a,4))2，a≤x＜50＋eq\f(a,2).当a＜25＋eq\f(a,4)＜50＋eq\f(a,2)，即0＜a＜eq\f(100,3)时，则x＝25＋eq\f(a,4)时，S最大＝(25＋eq\f(a,4))2＝eq\f(10000＋200a＋a2,16).当25＋eq\f(a,4)≤a，即eq\f(100,3)≤a＜50时，S随x的增大而减小，∴当x＝a时，S最大＝eq\f(a（100＋a－2a）,2)＝50a－eq\f(1,2)a2.综合(ⅰ)(ⅱ)，当0＜a＜eq\f(100,3)时，eq\f(10000＋200a＋a2,16)－(50a－eq\f(1,2)a2)＝eq\f(9a2－600a＋10000,16)＝eq\f(（3a－100）2,16)＞0，即eq\f(10000＋200a＋a2,16)＞50a－eq\f(1,2)a2，此时按图2方案围成的矩形菜园面积最大，最大面积为eq\f(10000＋200a＋a2,16)平方米；当eq\f(100,3)≤a＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积的最大值相等．综上所述，当0＜a＜eq\f(100,3)时，围成长和宽均为(25＋eq\f(a,4))米的矩形菜园面积最大，最大面积为eq\f(10000＋200a＋a2,16)平方米；当eq\f(100,3)≤a＜50时，围成长为a米，宽为(50－eq\f(a,2))米的矩形菜园面积最大，最大面积为(50a－eq\f(1,2)a2)平方米．跟踪训练1．(1)证明：∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍．又∵EF是公共边，∴AE＝2BE.(2)解：设BE＝a，则AE＝2a，∴8a＋2x＝80，∴a＝eq\f(80－2x,8)，AB＝3a，∴y＝3a·x＝3×eq\f(80－2x,8)·x＝－eq\f(3,4)x2＋30x.∵a＝－eq\f(x,4)＋10＞0，∴x＜40，∴0＜x＜40.(3)解：∵y＝－eq\f(3,4)x2＋30x＝－eq\f(3,4)(x－20)2＋300(0<x<40)，且二次项系数为－eq\f(3,4)<0，∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．2．解：(1)由题意可得y＝(8－x)(6－x)＝x2－14x＋48(0＜x＜6)．(2)由题意可得y＝48－13＝35，则x2－14x＋48＝35，即(x－1)(x－13)＝0，解得x1＝1，x2＝13.经检验，x＝13不合题意，舍去，∴x的值为1.(3)y＝x2－14x＋48＝(x－7)2－1.当eq\f(1,2)≤x≤1时，y随x的增大而减小，故当x＝eq\f(1,2)时，y最大，此时y＝eq\f(165,4)m2.类型二【例2】(1)设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣m袋，则销售这种规格的小米eq\f(3000－m,2)袋．根据题意得(60－40)m＋(54－38)×eq\f(3000－m,2)＝42000，解得m＝1500，∴这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣1500袋．(2)y＝(60－40)x＋(54－38)×eq\f(2000－x,2)＝12x＋16000.∵12>0，∴y的值随x值的增大而增大．∵x≥600，∴当x＝600时，y＝12×600＋16000＝23200，∴这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润23200元．跟踪训练3．解：(1)设每件童装降价x元，则(40－x)(2x＋20)＝1200.解得x1＝20，x2＝10.为使顾客得到更多实惠，∴x＝20.答：每件童装应降价20元．(2)设每件童装降价x元时，每天盈利为y元，则y＝(40－x)(2x＋20)＝－2x2＋60x＋800＝－2(x－15)2＋1250.∵－2<0，∴当x＝15时，y有最大值1250元．答：当每件童装降价15元时，这种童装一天的销售利润最多，最多利润是1250元．4．解：(1)设每件A商品的销售利润为x元，每件B商品的销售利润为y元．根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x＋5y＝1750，,5x＋10y＝2000，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100，,y＝150.))答：每件A商品的销售利润为100元，每件B商品的销售利润为150元．(2)设购进A商品m件，销售总利润为n元，则购进B商品(100－m)件．根据题意得n＝100m＋150(100－m)＝－50m＋15000.∵B商品的进货量不超过A商品进货量的2倍，∴100－m≤2m，解得m≥33eq\f(1,3).∵n＝－50m＋15000，∴n随m的增大而减小．∵m为正整数，∴当m＝34时，n取最大值，此时100－m＝66.答：该商店购进A商品34件，B商品66件时，全部商品销售完，总利润最大．5．解：(1)设一件A型丝绸的进价为x元，则一件B型丝绸的进价为(x－100)元．根据题意得eq\f(10000,x)＝eq\f(8000,x－100)，解得x＝500.经检验，x＝500是原方程的解，∴一件B型丝绸的进价为400元．答：一件A型、B型丝绸的进价分别为500元、400元．(2)①由题意得m≤50－m，解得m≤25，则m的取值范围是16≤m≤25.②w＝(800－500－2n)m＋(600－400－n)(50－m)＝(100－n)m＋10000－50n.当50≤n＜100时，100－n＞0，w随m的增大而增大，故当m＝25时，w最大＝12500－75n.当n＝100时，w最大＝5000.当100＜n≤150时，100－n＜0，w随m的增大而减小，故当m＝16时，w最大＝11600－66n.综上所述，w最大＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(12500－75n，（50≤n＜100）,5000，（n＝100）,11600－66n.（100＜n≤150）))6．解：(1)p＝0.5x＋7(1≤x≤15，且x为整数)．W＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋16x＋260（1≤x＜10，且x为整数），,－20x＋520（10≤x≤15，且x为整数）.))(2)当1≤x＜10时，W＝－x2＋16x＋260＝－(x－8)2＋324，∴当x＝8时，W最大＝324(元)．当10≤x≤15时，W＝－20x＋520，∴当x＝10时，W最大＝320(元)．∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润为324元．(3)当1≤x＜10时，令W＝－x2＋16x＋260＝299，解得x1＝3，x2＝13.当W＞299时，3＜x＜13.∵1≤x＜10，∴3＜x＜10.当10≤x≤15时，令W＝－20x＋520＞299，解得x＜11.05.又∵10≤x≤15，∴10≤x≤11.由上可得李师傅获得奖金的天数是第4天到第11天，李师傅共获得奖金为20×(11－3)＝160(元)．答：李师傅共可获得160元的奖金．类型三【例3】(1)根据题意得y＝90x＋70(21－x)＝20x＋1470，∴y与x的函数解析式为y＝20x＋1470.(2)∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，∴21－x＜x，解得x＞10.5.又∵y＝20x＋1470，∴y随x的增大而增大，且x取整数，∴当x＝11时，y有最小值，最小值为1690.答：使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元．跟踪训练7．解：(1)设购买1个甲种文具a元，1个乙种文具b元．由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝35，,a＋3b＝30，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝15，,b＝5.))答：购买1个甲种文具15元，1个乙种文具5元．(2)根据题意得955≤15x＋5(120－x)≤1000，解得35.5≤x≤40.∵x是整数，∴x＝36，37，38，39，40，∴有5种购买方案．(3)W＝15x＋5(120－x)＝10x＋600.∵10>0，∴W随x的增大而增大．当x＝36时，W最小＝10×36＋600＝960(元)，∴120－36＝84.答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时，需要的资金最少，最少资金是960元．8．解：(1)设A型空调和B型空调每台各需x元，y元．由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝39000，,4x－5y＝6000，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝9000，,y＝6000.))答：A型空调每台需9000元，B型空调每台需6000元．(2)设采购A型空调a台，则购买B型空调(30－a)台．由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥10，,9000a＋6000（30－a）≤217000，))解得10≤a≤12eq\f(1,3).∵a为整数，∴a＝10，11，12，共有三种采购方案．方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，方案三：采购A型空调12台，B型空调18台．(3)设总费用为w元，则w＝9000a＋6000(30－a)＝3000a＋180000(10≤a≤12eq\f(1,3)，且a为整数)，∴w随a的增大而增大，∴当a＝10时，w取得最小值，此时w＝210000.答：采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．类型四【例4】(1)4000100提示：结合题意和图象可知，线段CD为小东路程与时间函数图象，折线O－A－B为小玲离家路程与时间图象，则家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为2000÷20＝100(m/s)．(2)∵小东从离家4000m处以300m/min的速度返回家，则y＝4000－300x(0≤x≤eq\f(40,3))．(3)由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，∴4000－300x＝200x，解得x＝8.答：两人出发后8min相遇．跟踪训练9．解：(1)设y＝kx＋b，将(60，40)，(70，30)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60k＋b＝40，,70k＋b＝30，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝100，))∴y＝－x＋100.(2)S＝(－x＋100)(x－50)＝－x2＋150x－5000.∵a＝－1，b＝150，c＝－5000，∴当x＝－eq\f(b,2a)＝75时，S最大值＝eq\f(4ac－b2,4a)＝eq\f(4×（－1）×（－5000）－1502,4×（－1）)＝eq\f(20000－22500,－4)＝625.当x＝75时，y＝－75＋100＝25，∴当销售价是75元时，最大利润是625元，此时销量为25件．10．解：(1)1030提示：甲登山上升的速度是(300－100)÷20＝10(米/分钟)，b＝15÷1×2＝30(米)．(2)当0≤x＜2时，y＝15x；当x≥2时，y＝30＋10×3(x－2)＝30x－30.当y＝30x－30＝300时，x＝11，∴乙登山全程中，距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15x（0≤x<2），,30x－30（2≤x≤11）.))(3)甲登山全程中，距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式为y＝10x＋100(0≤x≤20)．当10x＋100－