圆和圆的位置关系经典例题+练习

PAGEPAGE8例1.已知⊙O1、⊙O2半径分别为15cm和13cm，它们相交于A、B两点，且AB长24cm，求O1O2长。分析：该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性：1.两圆心在公共弦的两侧；2.两圆心在公共弦的同侧；因此，我们必须分两种情况来解。解：（1）连结O1O2交AB于C（2）连结O1O2并延长交AB于C∵⊙O1⊙O2交于A、B两点在Rt△AO1C中，由勾股定理：在Rt△AO2C中，由勾股定理：∴如图（1）O1O2=O1C+O2C=14cm如图（2）O1O2=O1C－O2C=4cm例1是两圆相交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。例2.如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，AC切⊙O2于C交⊙O1于B，AP交⊙O2于D，求证：（1）PC平分∠BPD（2）若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。证明：（1）过P点作公切线PM交AC于M点∵AC切⊙O2于C∴MP=MC∴∠MCP=∠MPC在⊙O1中，由弦切角定理：∠BPM=∠A∵∠CPD为△APC的外角∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC∴PC平分∠BPD。（2）两圆内切时仍有这样的结论。证明：过P点作公切线PM交AB延长线于M∵AM切⊙O2于C，∴MC=MP∴∠MPC=∠MCP∴∠MPB=∠A∵∠MCP为△CPA的外角∠MCP=∠CPA+∠A又∠MPC=∠MPB+∠BPC∴∠BPC=∠CPA即PC平分∠BPD。在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线，利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。从这道题我们还可以联想到做过的两道题，①当A、B重合时，也就是AC成为两圆的外公切线时，PC⊥AD，即我们书上的例题（P129例4）②当APD经过O1、O2时，PB⊥AC，PC平分∠BPD的证法就更多了。例3.如图，以FA为直径的⊙O1与以OA为直径的⊙O1内切于点A，△ADF内接于⊙O，DB⊥FA于B，交⊙O1于C，连结AC并延长交⊙O于E，求证：（1）AC=CE（2）AC2=DB2－BC2分析：（1）易证（2）由（1）我们可联想到相交弦定理，延长DB交⊙O于G：即AC·CE=DC·CG由垂径定理可知DB=BG，问题就解决了。证明：（1）连结OG，延长DB交⊙O于G，∵OA为⊙O1直径∴OC⊥AE在⊙O中OC⊥AE∴AC=CE（2）在⊙O中，∵DG⊥直径AF∴DB=GB由相交弦定理：AC·CE=DC·CG=（DB－BC）（BG＋BC）∵AC=CE∴AC2＝DB2－BC2本题中主要应用了垂径定理，相交弦定理等知识，另外，证明过程中线段代换比较巧妙，应认真体会。例4.如图：⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A作⊙O1切线交⊙O2于点C，过点B作两圆割线交⊙O1和⊙O2于D、E，DE与AC相交于P点，（1）求证：PA·PE=PC·PD（2）当AD与⊙O2相切且PA=6，PC=2，PD=12时，求AD的长。分析：（1）从图中我们看到有相交弦定理和切割线定理可用。（2）求AD想到用切割线定理，但PB、PE均未知，利用相交弦定理也只能求出它们的乘积，我们连结公共弦得两个弦切角，再连结CE，可推出AD∥CE，这样，问题就解决了。（1）证明：∵PA切⊙O1于A，PBD为⊙O1割线在⊙O2中由相交弦定理（2）连结AB、CE∵CA切⊙O1于AAB为弦∴∠CAB=∠D∵⊙O2中∠CAB=∠E∴∠D=∠E∴AD∥CE∴BE=3+4=7DB=12－3=9由切割线定理AD2=DB·DE=9×(9+7)∴AD=12解与两圆相交的有关问题时，作两圆的公共弦为辅助线，使不同的两个圆的圆周角建立联系，沟通它们之间某些量的关系，同学们应注意它的应用。例5.如图，已知：⊙O与⊙B相交于点M、N，点B在⊙O上，NE为⊙B的直径，点C在⊙B上，CM交⊙O于点A，连结AB并延长交NC于点D，求证：AD⊥NC。分析：要证AD⊥NC，我们可证∠C+∠CAD=90°或∠DBN+∠BND=90°，这里可用到的是①NE为直径，它对的圆周角是直角，因此我们连结EC，而∠ECM=∠ENM，又可利用圆内接四边形的性质得∠ENM=∠CAD，从而得证。证明：连结EC∵EN为直径∴∠ECM+∠ACD=90°∵四边形ABNM内接于⊙O∴∠CAD=∠MNE∵∠ECM=∠MNE∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠ADC=180°－90°=90°∴AD⊥NC从证明中可见点B在⊙O上这一条件的重要性。例6.如图：已知△DEC中DE=DC，过DE作⊙O1交EC、DC于B、A，过A、B、C作⊙O2，过B作BF⊥DC于F，延长FB交⊙O1于G，连DG交EC于H，（1）求证：BF过⊙O2的圆心O2（2）若EH=6，BC=4，CA=4.8，求DG的长。分析：要证BF过⊙O2圆心O2，只需证它所在弦对的圆周角是直角即可，故应延长BF交⊙O2于M，连CM，去证∠MCA+∠ACB=90°，而连AB后可得∠MCA转移到∠MBA，再由圆内接四边形的性质转移到∠CDG，而DH⊥EC，于是可证。（1）证明：延长BF交⊙O2于M，连MC、AB∵四边形ABGD内接于⊙O1∴∠ABM=∠ADG∵DG⊥EC于H∴∠ADG+∠DCH=90°∵∠ABM=∠ACM∴∠ADG=∠ACM∵∠ACM+∠ACB=90°∴BM为⊙O2直径∴BF过⊙O2的圆心O2。（2）解：∵四边形ADEB内接于⊙O1∴∠CAB=∠E∵DE=DC∠E=∠DCB∴∠CAB=∠ACB∴AB=BC=4∴等腰△CBA∽△CDE∴设CD=5k，EC=6k∵DH⊥ECDE=DC∴EC=2EH=12=6k，∴k=2∴CD=10在Rt△DHE中，由勾股定理：∵BH=6－4=2由相交弦定理：DH·HG=EH·HB∴DG=8+1.5=9.5【试题】一、选择题1.两圆的圆心距为6，两圆半径为方程的两根，则两圆（）A.外切 B.外离 C.相交 D.内切2.两圆半径分别为5和8，若它们共有3条公切线，则圆心距d为（）A.d=3 B.3<d<13 C.d=13 D.d>133.半径分别为2、1的两圆相交于A、B两点，圆心为O1、O2，若O1H⊥O2H，则公共弦AB的长为（）A. B. C. D.4.两圆半径分别为4、1，一条公切线长为4，则两圆的位置关系为（）A.相交 B.外切 C.外离 D.相交或相切5.半径分别为1和2的两个圆外切，与这两个圆都相切且半径为3的圆共有（）个A.6 B.5 C.4 D.36.如图：⊙O1和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O1的圆心交⊙O1于C、D，若AC∶CD∶DB=3∶4∶2，则⊙O1与⊙O2的的直径之比为（）A.2∶7 B.2∶5 C.1∶4 D.1∶37.如图：⊙O'和⊙O外切于点A，外公切线BC与⊙O'、⊙O分别切于B、C，与连心线OO'的延长线交于点P，若∠BPO'=30°，则⊙O'与⊙O的半径比为（）A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.3∶48.下列各图形中标记的直角符号，是某同学边画图，边推理标注上去的，请你仔细观察图形，认真思考，判断哪个是错误的（）二、填空1.两圆直径分别为7+t，7－t，圆心距为t，两圆位置关系为__________2.两圆半径之比为5∶7，外切时圆心距为6，两圆半径为__________3.三角形三边长为3、4、5，以各顶点为圆心的圆两两外切时，三个圆的半径为__________4.⊙O1交⊙O2于A、B两点，O2在⊙O1上，O1在⊙O2上，则O1O2∶AB=_________5.⊙O1、⊙O2连心线与一条内公切线夹角为45°，⊙O1与⊙O2直径分别为8cm，10cm，则内公切线长____________6.⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，AB交O1O2于G，若AB=48，⊙O1、⊙O2半径分别为30、40，则△AO1O2的面积为____________7.⊙O1与⊙O2外切于点P，它们半径之比为3∶2，AB为外公切线，A、B为切点，AB=，则⊙O1与⊙O2的圆心距为____________8.两圆半径之和为7cm，内公切线长cm，外公切线长12cm，则两圆半径为___________三、已知：如图：⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB延长线于F。（1）求证：BC是⊙P的切线（2）若CD=2CB=求EF的长（3）若设k=PE∶CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。四、如图：已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD延长线交⊙O1于点N（1）过A作AE∥CN交⊙O1于点E求证：PA=PE（2）连PN若PB=4，BC=2，求PN的长五、如图：AB为⊙O直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E。（1）求证：AD=DC（2）求证：DE是⊙O1的切线（3）如果OE=EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论。

【试题答案】一、选择题1.B 2.C 3.D 4.B5.B 6.D 7.B 8.A二、填空题1.内切； 2.2.5，3.5； 3.1，3，2；4.； 5.9cm 6.600或1687.10 8.1cm，6cm三、（1）证明CP过O点为⊙O直径，再证PB⊥BC即可（2）先由切割线定理求得CE=4∴⊙P半径为1连结PB由△PBC∽△FEC得∴EF=（3）若存在k使△PBD为等边三角形，则可推出∠BCD=∠BEC=30°则D与O重合∴PE∶CE=1∶3。四、（1）连结AB，通过∠