各向异性弹性体的应力和应变关系

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下面从广义胡克定理公式出发，用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。

1.完全各向异性弹性体

根据格林公式和广义胡克定律，有；对于上式，如果对切应变xy求偏导数，有

。

同理，有；对于上式，如果对正应变x求偏导数，有

。

因此，C14=C41。对于其它的弹性常数可以作同样的分析，则

Cmn=Cnm

上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。其本构方程为2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体

如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。

垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。

若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。

以下根据完全各向异性弹性体本构方程，推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。

将x轴绕动z轴转动π角度，成为新的Ox'y'z'坐标系。

新旧坐标系之间的关系为xyzx'l1=-1m1=0n1=0y'l2=-1m2=0n2=0z'l3=-1m3=0n3=0

根据弹性对称性质。关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以x'=x，y'=y，z'=z，x'y'=xy，y'z'=yz，z'x'=zxx'=x，y'=y，z'=z，x'y'=xy，y'z'=yz，z'x'=zx

根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时，本构关系将保持不变。根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式代入广义胡克定理，可得将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有C14=C16=C24=C26=C34=C36=C54=C56=0

这样，对于具有一个弹性对称面的弹

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