分支稳定和极限分析课件

分支穩定和極限分析1.兩類穩定問題的基本概念

薄壁、高強、受壓結構，設計不當容易產生部件或整個結構喪失穩定。因此，結構設計除關心強度、剛度外，對易失穩的結構還要進行穩定驗算。

結構穩定分靜力和動力穩定兩大類，本課程只討論靜力穩定問題。

例如圖示剛架，當荷載達到臨界值時，受微小干擾將失穩

又如下圖所示園拱和窄條梁也存在失穩問題剛性小球平衡狀態穩定平衡狀態不穩定平衡狀態隨遇平衡狀態結構平衡狀態的分類

根據結構經受任意微小外界干擾後，能否恢復初始平衡狀態，可對平衡狀態作如下分類：

穩定的平衡狀態——外界干擾消除後結構能完全恢復初始平衡位置，則初始平衡狀態是穩定的。

不穩定平衡狀態——外界干擾消除後結構不能恢復初始平衡位置，則初始平衡狀態是不穩定的。

經簡化抽象，可能出現受干擾後可在任何位置保持平衡的現象，稱此現象為隨遇平衡狀態。根據受力狀態穩定問題分類：1.完善體系：理想中心受壓杆，無初曲率或彎曲變形

完善體系從穩定到不穩定，其受力、變形狀態將變化，也即隨荷載變大有分叉點，稱分支點穩定。分支點失穩失穩前後平衡狀態的變形性質發生變化結構2.非完善體系

受壓杆有初曲率或受偏心荷載，為壓彎聯合受力狀態FP(a)

非完善體系，一般受力、變形性質不發生改變。但隨著荷載增大存在一極值荷載（此後變形增大荷載反而減少），這類穩定現象稱極值點穩定。極值點失穩失穩前後變形性質沒有變化FPcr

cr突跳失穩FPcr

cr由受壓變成受拉，系統產生翻轉突跳失穩的力-位移關係示意圖突跳失穩穩定問題的分析方法

在穩定分析中，有基於小變形的線性理論和基於大變形的非線性理論：

線性理論中變形是一階微量，計算中將略去高階微量使計算得以簡化，其結果與大變形時的實驗結果有較大偏差。

非線性理論中考慮有限變形對平衡的影響，其結果與實驗結果吻合的很好，但分析過程複雜。

由於實際結構剛度都很大，變形和杆件尺寸相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程時都忽略變形影響。因此線彈性材料力-位移成正比，疊加原理適用。2.簡單結構穩定分析1)穩定問題分析基本方法一：靜力法通過考慮失穩狀態下的平衡關係，利用兩類穩定問題的特徵，確定臨界荷載的方法——靜力法。在作穩定分析時，必須考慮變形的影響，這時疊加原理不再適用。2-1-1)分析步驟

設定約束所允許的可能失穩狀態

建立平衡方程用分支點穩定的平衡兩重性（可在兩狀態平衡）建立特徵方程，也稱穩定方程

求特徵方程的非零解，從而得到臨界荷載。2-1)分支點穩定靜力法2-1-2）例一試用靜力法分析圖示結構，求臨界荷載。穩定方程非零解穩定方程

按靜力法，線性與非線性理論所得分支點臨界荷載完全相同，但線性理論分析過程簡單。小結

非線性理論結果表明，達臨界荷載後，要使AB杆繼續偏轉（角增大），必須施加更大的荷載（增加）。而線性理論結果表明，不管轉角多大，荷載均保持為臨界荷載值，也即隨遇平衡，前者與實驗吻合，後者實際是一種虛假的現象。例二完善體系如圖所示，試按線性理論求臨界荷載FPcr。已知：k1=k,k2=3k。設體系發生如下的變形取B’C’為隔離體，由

MB’=0,得或再由整體平衡

MA=0,得因為y1、y2不能全部為零，因此穩定方程將k1

、k2

代入（3）式，展開後得由上式可求得：因此

代回式（1）或（2）的失穩形態為2-1-3）材料力學中不同支承中心受壓杆的FPcr為求解的例子EI，lFPFPcr如何轉換成彈性支承中心受壓柱？

k1=？2-1-4）簡單結構中心受壓杆FPcr的分析方法邊界條件是什麼？根據形常數FPcrEI，l如何轉換成彈性支承中心受壓柱？

k1=？邊界條件是什麼？FPcrEI，lEI，lEA=∞如何轉換成彈性支承中心受壓柱？

k=？邊界條件是什麼？EI，lEI，lFPcr如何轉換成彈性支承中心受壓柱？

k1=？k2=？邊界條件是什麼？

可見簡單結構中受壓杆件的穩定分析，主要是要將杆件簡化為相應的彈性支撐的單杆問題。

實際工程結構的穩定性分析複雜得多，一般進行電腦分析。穩定平衡狀態不穩定平衡狀態隨遇平衡狀態能量取極小值2-2)分支點穩定能量法2-2-1)剛性小球的穩定能量準則能量取極大值能量取駐值

與材料力學壓杆穩定問題一樣，在結構分支點失穩問題中，臨界狀態的能量特徵為：首先引入兩個定義。定義：應變能Vε加外力（外荷載）勢能VP為體系的總勢能，記作V。2-2-2)彈性結構的穩定能量準則定義：從變形位置退回無變形位置過程中，外荷載所做的功，稱為外力勢能，記作VP。

體系總勢能V取駐值。

下麵討論由此特徵確定臨界荷載的方法——能量法。2-2-3)能量法分析步驟(1)設定一種滿足位移約束條件的可能失穩變形狀態（也稱失穩構(位)形）；(2)計算體系的應變能Vε、外力勢能VP，從而獲得總勢能V=Vε+VP；(3)從總勢能的駐值條件建立穩定性分析的特徵方程；(4)由特徵方程解得臨界荷載。l例1.求圖示有初偏離角

體系的的臨界荷載2-2-4)能量法舉例可能失穩分析受力FN如何求?變形能V

外力勢能VP體系的總勢能V=V

+VP

如何計算?

應變能等於外力功.

根據定義可得由體系的總勢能的駐值條件得：則：如果

=0：令：To41令：得：因此為求極值設：跳轉1當按線性理論計算時，是微量，線性理論計算結果比非線性理論計算結果大，因而是偏於危險的。To38

不同的初偏角將影響臨界荷載，初偏離增大時減小，這表明製造或安裝誤差對穩定性都是不利的。

非線性理論計算結果存在極值點失穩，這一結果與實際吻合。小結

非完善體系的臨界荷載只能由非線性理論確定。

線上性理論（微小）前提下，是單調增加的，不存在極值點。lEIyx設：

例2.求圖示一端固定一端自由簡支梁的臨界荷載。滿足位移約束條件變形能V

外力勢能VP體系的總勢能V=V

+VP由體系的總勢能的駐值條件得：因為a0則：返回

以圖示柱為例，取隔離體列彎矩方程得特解通解利用邊界條件：解方程可得穩定方程返回可得試總結中心壓杆穩定分析的要點3-1)材料力學內容回顧——結構內實際最大應力——材料容許應力——

極限應力（脆性）（塑性）——

安全係數對塑性材料製成的結構不經濟3.基本假設與基本概念彈性分析法（容許應力法）材料的本構關係（應力—應變關係）塑性金屬線性強化理想彈塑性剛線性強化剛塑性3-2)基本假定

假定材料具有相同的拉、壓力學性能以及理想彈塑性的應力-應變關係。

假定結構上所受荷載是按荷載參數P以同一比例由小變大逐步加載的，同時荷載參數P單調增加，不出現卸載情形，這種加載方式稱為比例加載。

假定在彈塑性階段橫截面應變仍符合平截面假定。3-3)基本概念等面積軸形心軸---彈性彈塑性屈服彎矩Ms塑性極限彎矩Mu純彎梁由彈性到塑性的過程分析極限荷載FPu-彈性塑性分析法（極限應力法）

極限荷載——結構在極限狀態時所能承受的荷載強度條件：k—安全係數F—實際荷載FPu

—極限荷載問題：按塑性分析設計與按彈性分析設計相比，在結構破壞時，何者的應力大？

將結構進入塑性階段並喪失承載能力時的狀態，作為結構破壞的標誌，稱為極限狀態。To55屈服彎矩MS，按定義為極限彎矩（整個截面都屈服）Mu抗彎截面係數（1）由中性軸等分截面積To51外邊到形心軸（2）極限彎矩Mu塑性截面係數（）

（屈服彎矩）截面形狀係數：矩形

1.5圓形

1.7To51非純彎、雙對稱軸截面梁的情況

實驗和理論分析結果都表明，對於細長梁，切應力對極限承載力影響很小，可不予考慮。例如簡支梁截面出現塑性鉸破壞機構—

結構由於出現塑性鉸而變成瞬變或可變時的體系。靜定梁，塑性鉸出現在彎矩（絕對值）最大處。ABFP1）普通鉸不能承受彎矩，塑性鉸能承受Mu塑性鉸——能承受彎矩並能單方向轉動的鉸。

塑性鉸與普通鉸的區別：2）普通鉸為雙向鉸，塑性鉸為單向鉸。

若梁的左半部分截面高度增加一倍（變截面梁），塑性鉸出現在何處？4.極限平衡法及比例加載時的若干定理結構達極限狀態時應該滿足以下條件：平衡條件

結構整體或任何部分均應是平衡的。內力局限條件

極限狀態時結構中任一截面彎矩絕對值不可能超過其極限彎矩Mu，亦即|M|≤Mu

。單向機構條件

結構達極限狀態時，對梁和剛架必定有若干（取決於具體問題）截面出現塑性鉸，使結構變成沿荷載方向能作單向運動的機構（也稱破壞機構）。試求等截面單跨超靜定梁的極限荷載FPl/2ABl/2C4-1）極限平衡法—從極限狀態由平衡求FPuA處出現塑性鉸時：

彈性解得彎矩圖ABC能繼續承荷A、C處都出現塑性鉸：靜力法ABC列靜力平衡方程，可得虛功法或機動法極限狀態沿加載方向虛位移根據剛體虛位移原理，主動力虛功總和為零l/2ABl/2Cl/2ABl/2C

試求圖示變截面單跨超靜定梁的極限荷載

虛功法的虛功方程為當時，

時，其可能的極限狀態和虛位移圖如下所示

試求圖示變截面單跨超靜定梁的極限荷載

虛功法的虛功方程為時，其可能的極限狀態和虛位移圖如下所示當時，A、B、D都為塑性鉸

小結

任何結構（靜定、超靜定）的極限荷載只需分析破壞機構(collapsemechanism)，由平衡條件（靜力平衡方程或虛功方程）即可求出。

超靜定結構的溫度改變、支座移動等外因只影響結構彈塑性變形的過程（或稱歷程），並不影響極限荷載值。亦即僅計算極限荷載時，可不考慮溫度改變、支座移動等外因的作用。4-2)比例加載時有關極限荷載的若干定理4-2-1）兩個定義：4-2-2）幾個定理：

滿足單向破壞機構和平衡條件的荷載稱為可破壞荷載，記作FP+。

滿足內力局限條件和平衡條件的荷載稱為可接受荷載，記作FP-。基本定理

可破壞荷載FP+恒不小於可接受荷載FP-，亦即FP+≥FP-。唯一性定理

結構的極限荷載是唯一的。教材上有證明請大家自學！極小定理

可破壞荷載是極限荷載的上限，亦即FPu=min(FP+)

。極大定理

可接受荷載是極限荷載的下限，亦即FPu=max(FP-)

。證明

極限荷載也是可接受荷載，而可破壞荷載恒不小於可接受