椭圆及其标准方程课件高二上学期数学人教A版选择性3

椭圆及其标准方程【思考1】在圆

上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程什么？轨迹是什么图形？

椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？一、椭圆的定义问题1取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？提示椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.一椭圆的定义：定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。M注

：1、F1、F2是平面内两个不同定点2、M是椭圆上任意一点，满足：|MF1|+|MF2|=常数；3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c4、如果2a=2c，则M点的轨迹是线段F1F2.5、如果2a<2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）6、如果c=0，则M点的轨迹是圆例1

(1)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是A.椭圆

B.直线

C.圆

D.线段(2)(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是A.圆

B.线段

C.椭圆

D.直线√√√二、椭圆的标准方程【思考2】观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单

观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0).根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}.为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，对方程②两边平方，得①②③对方程③两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④将方程④两边同除以a2(a2－c2)，由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a2－c2>0.⑤⑥我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程.OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)Caba、b、c在图中代表什么a、b、c构成直角三角形【思考3】如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（3）三个参数a、b、c构成系数直角三角形，满足a2=b2+c2。（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上，大的分母为a平方。（4）求方程：先确定焦点在哪，再求a、b、c，即先定位，再定量。

OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)F(±c，0)在Ｘ轴上F(0，±c)在Ｙ轴上例2

求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；三、椭圆定义的应用例3

已知P为椭圆

＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.从而|F1F2|＝2c＝6，在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ①即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ②由①②得|PF1|·|PF2|＝4.延伸探究若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积.从而|F1F2|＝2c＝6.在△F1PF2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋36，椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝

图形