专题5极值点偏移问题（学生版）

专题5：极值点偏移问题<<<专题综述>>><<<专题综述>>>极值点偏移：在函数中，如果两零点与极值点并不对称，这时极值点也就发生了偏移，偏移分为左偏和右偏.是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性.函数fx极值点是其导函数f'x=0时相应的值x0，而函数fx与x轴的交点横坐标x1,x2为函数fx的零点，若函数fx极值点偏移问题分析求解最重要的是要学会构建“一元差”函数，先将两变量变形放在原函数的同一单调区间内，利用原函数的单调性对变量进行大小比较，再通过对这一元差函数进行求导，证明其值大于零，结合二阶导函数的意义，对于一阶导函数是否存在零点进行分析求解最值，这应该就是求解极值点偏移正确的解题思路和基本步骤.总结解决极值点偏移问题的方法.处理极值点偏移问题一般有四种解法:构造辅助函数法,对称化构造函数,对数均值不等式,双变量齐次化构造.四种方法各有优劣,其中构造辅助函数和对称化构造函数是解决极值点偏移问题的通法,是从"形"的角度解决问题.求极值点偏移的常用方法：方法1.换元、构造、化齐次：这种方法是最常见的方法，大致分为3步，第一步：代根作差找关系，第二步：换元分析化结论，第三步：构造函数证结论.方法2.消参构建法：含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.<<<专题探究>>><<<专题探究>>>题型一：题型一：x1题设情境是由函数的切线方程求参数的值和函数的单调区间，证明函数的“两不同零点之和”的不等式.第（1）问应用导数的几何意义和函数与方程思想求参数的值，导数与函数单调性的基本方法，求函数的单调区间；第（2）问利用函数的单调性，应用数形结合思想确定的取值范围，然后应用极值点偏移的基本方法证明.例1（福建省厦门双十中学2023届高三上学期月考）已知函数，且曲线在处的切线为.（1）求m，n的值和的单调区间；（2）若，证明：.【思路点拨】（1）由导数得几何意义列出方程组即可求得的值，再将带入原函数及导函数中分别求得解析式，由函数单调性与导函数的关系即可求得的单调区间；（2）若，要证明：，由（1）可知函数的单调区间，属于典型的极值点偏移问题，由移向构造新函数，求得新函数的单调性即可证明.练1（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校20222023学年高三上学期联考）已知函数f(x)=(x-2)e（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是f(x)练2（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学20222023学年高三上学期期中）已知函数fx(1)证明：0＜(2)若f(x)的两个零点为x1，x2，且x1＜x2，证明：2a＜x1＋x2＜1．题型二：题型二：f'x1题设情境是讨论含参数变量的函数的单调性，证明函数的两不同零点的平均值偏函数极值点左侧.第（1）问应用导数的几何意义和分类与整合思想讨论函数f(x)的单调性；第（2）问应用导数研究函数函数的单调性与最值，借助数形结合思想确定函数f(x)有两个不同的零点充要条件求参数a的取值范围，然后应用函数零点的充分条件探究零点的方程组,利用“消参、换元、构造函数”等基本方法与技巧证明.例2（辽宁省沈阳市2023届高三上学期联合考试）已知函数f(x)=e（1）讨论函数f(x)的单调性;（2）若a>0，设f'(x)为f(x)的导函数，若函数f(x)有两个不同的零点x1【思路点拨】第（1）问由f'(x)=2e2x-a,根据实数a的正负取值，结合导函数的正负变化,分类讨论进行求解即可；第（2）问根据零点的定义，由函数f(x)有两个不同的零点,推算出实数a的取值范围,然后由f'x1+练3（天津市耀华中学20222023学年高三上学期统练）设函数fx=（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；（3）若方程f(x)=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．练4（湖北省荆荆宜三校20222023学年高三上学期联考）设函数，(1)设，求证：，恒有.(2)若，函数有两个零点，求证.题型三：类题型三：类极值点偏移问题题设情境是讨论含参数变量的函数的单调性，证明与函数的两不同零点的不等式.第（1）问应用导数和分类与整合思想讨论函数f(x)的单调性；第（2）问由函数f(x)有两个不同的零点的充分条件，得到有关零点的方程组,利用“消参、换元、构造函数”等基本方法与技巧，应用函数单调性与转化化归思想证明不等式ex1例3（浙江省嘉兴市第一中学20222023学年高三上学期期中）已知函数fx=（1）讨论fx（2）当a=3时，函数fx存在两个零点x1,【思路点拨】第（1）问由已知得f'x=ex-a+1，,然后分1-a≥0、1-a<0两类情,推算f'x正负取值,即可研究fx的单调性；第（2）问由题设可得ex1-ex2=2x1-练5（江苏省南通市通州区20222023学年高三上学期期中）已知函数f(x)=ln(1)当a=-2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个不同零点x1，，①求实数a的取值范围；②求证：x1练6（湖北省黄冈市20222023学年高三上学期阶段性质量抽测）设函数.（1）若，求的单调区间；（2）若存在三个极值点，，，且，求k的取值范围，并证明：.练7（湖北省宜昌市协作体20222023学年高三上学期联考）设实数，且，函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个不同的零点.（i）求的取值范围；（ii）证明：.<<<专题训练>>><<<专题训练>>>1.（江苏省苏州中学2023届高三上学期阶段质量评估数学试题）已知函数fx=（1）若曲线y=fx在0,f0处的切线与直线5x+y=0平行，求（2）当a=11时，若f'm=f'x1+f'2.（江西省金溪县第一中学2023届高三上学期数学（理）试题）已知函数f(x)=ex-ax(1)若f(x)是单调增函数，求a的取值范围；(2)若x1，x2是函数f(x)的两个不同的零点，求证：3.（河北省深州市中学2023届高三上学期月考）已知a∈R，fx=x∙（Ⅰ）求函数y=f(x)的单调区间；（Ⅱ）若a>0，函数y=fx-a有两个零点x1,x4.（湖南省长沙市周南中学20222023学年高三上学期月考数学试题）已知函数fx=2e-（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若x1,x2∈0,1，且5.（福建省漳州第一中学2023届高三上学期阶段考试数学试题）已知函数f(x)=xe(1)若x=-1是函数F(x)=xex-a((2)令函数Gx=fx-mx+证明：x16.（四川省内江市20222023学年模拟）已知函数f(x)=x(1)若a=1，求函数f(x)的单调递增区间；(2)（ⅰ）若x=3是函数f(x)的极大值点，记函数f(x)的极小值为g(a)，