陕西省韩城市苏山分校2023年高二上数学期末达标检测试题含解析

陕西省韩城市苏山分校2023年高二上数学期末达标检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（）A.130 B.132C.140 D.1442．若向量则（）A. B.3C. D.3．函数的导数为（）A.B.CD.4．已知双曲线，过点作直线l与双曲线交于A，B两点，则能使点P为线段AB中点的直线l的条数为()A.0 B.1C.2 D.35．数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（）A.153 B.190C.231 D.2766．已知过点的直线l与圆相交于A，B两点，则的取值范围是（）A. B.C. D.7．已知椭圆，则它的短轴长为（）A.2 B.4C.6 D.88．参加抗疫的300名医务人员，编号为1，2，…，300.为了解这300名医务人员的年龄情况，现用系统抽样的方法从中抽取15名医务人员的年龄进行调查.若抽到的第一个编号为6，则抽到的第二个编号为（）A.21 B.26C.31 D.369．饕餮（tāotiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为，有一点从点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（）A. B.C. D.10．为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（）A.60 B.120C.150 D.24011．设函数是奇函数的导函数，且，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的形状为（）A.正三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在四棱锥中，O是AD边中点，底面ABCD..在底面ABCD中，，，，.（1）求证：平面POC；（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.14．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示双曲线.若为真，则实数的取值范围为______.15．以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为_________16．已知，且，则_____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在上的最大值和最小值.18．（12分）新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是岁以上人群.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为.如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：年龄/人数长期潜伏非长期潜伏50岁以上6022050岁及50岁以下4080（1）是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）现在很多省市对入境旅客一律要求隔离天，请用概率知识解释其合理性；（ii）以题目中的样本频率估计概率，设个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值.附：0.10.050.0102.7063.8416.635若，则，，.19．（12分）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.20．（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的值域.21．（12分）一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果:转速(转/秒)1615129每小时生产有缺陷的零件数（件）10985通过观察散点图，发现与有线性相关关系:（1）求关于的回归直线方程；（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内?(参考:回归直线方程为，其中，）22．（10分）已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交直线于点，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知曲线上一点，动圆，且点在圆外，过点作圆的两条切线分别交曲线于点，.（i）求证：直线的斜率为定值；（ii）若直线与交于点，且时，求直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，所以，故，故选:A.2、D【解析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得【详解】由于向量，，所以.故故选：D3、B【解析】由导数运算法则可求出.【详解】，.故选：B.4、A【解析】先假设存在这样的直线，分斜率存在和斜率不存在设出直线的方程，当斜率k存在时，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则，，又根据是线段的中点，则，由此求出与矛盾，故不存在这样的直线满足题意；当斜率不存在时，过点的直线不满足条件，故符合条件的直线不存在.详解】设过点的直线方程为或，①当斜率存在时有，得(*)当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有：，即又方程(*)的两个不同的根是两交点、的横坐标，又为线段的中点，，即，，使但使，因此当时，方程①无实数解故过点与双曲线交于两点、且为线段中点的直线不存在②当时，经过点的直线不满足条件.综上，符合条件的直线不存在故选：A5、B【解析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形可知，，，，，，，据此即可求解.【详解】由题意知，数列的各项为1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故选：B【点睛】本题考查合情推理中的归纳推理；考查逻辑推理能力；观察分析、寻求规律是求解本题的关键；属于中档题、探索型试题.6、D【解析】经判断点在圆内，与半径相连，所以与垂直时弦长最短，最长为直径【详解】将代入圆方程得：，所以点在圆内，连接，当时，弦长最短，，所以弦长，当过圆心时，最长等于直径8，所以的取值范围是故选：D7、B【解析】根据椭圆短轴长的定义进行求解即可.【详解】由椭圆的标准方程可知：，所以该椭圆的短轴长为，故选：B8、B【解析】将300个数编号：001，002，003，，3000，再平均分为15个小组，然后按系统抽样方法得解.【详解】将300个数编号：001，002，003，，3000，再平均分为15个小组，则第一编号为006，第二个编号为.故选：B.9、B【解析】本题首先可根据题意列出次跳动的所有基本事件，然后找出沿着饕餮纹的路线到达点的事件，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.【详解】点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，次跳动的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿着饕餮纹的路线到达点的事件有：（下，下，右），故到达点的概率，故选：B.10、C【解析】结合排列组合的知识，分两种情况求解.【详解】当分组为1人,1人,3人时，有种，当分组为1人，2人，2人时有种，所以共有种排法.故选：C11、D【解析】设，则，分析可得为偶函数且，求出的导数，分析可得在上为减函数，进而分析可得上，，在上，，结合函数的奇偶性可得上，，在上，，又由即，则有或，据此分析可得答案【详解】根据题意，设，则，若奇函数，则，则有，即函数为偶函数，又由，则，则，，又由当时，，则在上为减函数，又由，则在上，，在上，，又由为偶函数，则在上，，在上，，即，则有或，故或，即不等式的解集为；故选：D12、C【解析】根据三角恒等变换结合正弦定理化简求得，即可判定三角形形状.【详解】解：由题，得，即，由正弦定理可得：，所以，所以三角形中，所以，又，所以，即三角形为直角三角形.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意，证明BCOA是平行四边形，从而可得，然后根据线面平行的判断定理即可证明；（2）证明BCDO是平行四边形，从而可得，由题意，可建立以为轴建立空间直角坐标系，求出平面ABP的法向量，利用向量法即可求解直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.【小问1详解】证明：由题意，又，所以BCOA是平行四边形，所以，又平面POC，平面POC，所以平面POC；【小问2详解】解：，，所以BCDO是平行四边形，所以，，而，所以，以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设平面ABP的一个法向量为，则，取x=1，则，，所以，设直线PC与平面PAB所成角为，则，所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.14、【解析】既然为真，那么就是为真，即p是假，并且q是真，根据椭圆和双曲线的定义即可解出。【详解】∵为真，∴p为假，q为真；考虑p为真的情况：解得……①；由于p为假，∴或；由于q为真，∴，即……②；由①和②得：；故答案为：.15、【解析】由题意可得，化简整理得到，进而可求出结果.【详解】因为双曲线的一个焦点到其一条渐近线为，所有由题意可得，即，则，所以离心率,故答案为：.16、2【解析】由共线向量得，解方程即可.【详解】因为，所以，解得.故答案为：2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调增区间，单调减区间（2）最大值，最小值【解析】根据导函数分析函数单调性，在闭区间内的最值【小问1详解】时，；时，单调增区间,单调减区间【小问2详解】由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，所以最大值为又；故最小值为018、（1）有；（2）（i）答案见解析；（ii）250.【解析】（1）根据列联表中的数据，利用求得，与临界表值对比下结论；（2）(ⅰ)根据，利用小概率事件判断；(ⅱ)易得一个患者属于“长潜伏期”的概率是，进而得到，然后判断其单调性求解.【详解】（1）依题意有，由于，故有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；（2）(ⅰ)若潜伏期，由，得知潜伏期超过天的概率很低，因此隔离天是合理的；(ⅱ)由于个病例中有个属于长潜伏期，若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，于是，则，，当时，；当时，；∴，.故当时，取得最大值.【点睛】方法点睛：利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率19、（1）（2）【解析】（1）根据与的关系，分和两种情况，求出，再判断是否合并；（2）利用错位相减法求出数列的前n项和.【小问1详解】，当时，，当时，，也满足上式，数列的通项公式为：.【小问2详解】由（1）可得，①②①②得，20、（1）单调递增区间（−∞，−1）和（4，＋∞），单调递减区间（−1，4）（2）【解析】（1）求出，令，由导数的正负即可得到函数f（x）的单调递增区间和递减区间；（2）求出函数在区间中的单调性，求出极大值和极小值以及区间端点的函数值，比较大小即可得到答案【小问1详解】由函数得，令，解得x＜−1或x＞4，；令，解得−1＜x＜4，故函数f（x）的单调递增区间为（−∞，−1）和（4，＋∞），单调递减区间为（−1，4）；【小问2详解】由（1）可知，当x∈[−3，−1）时，，f（x）单调递增，当x∈（−1，4）时，，f（x）单调递减，当x∈（4，6]时，，f（x）单调递增，所以当x＝−1时，函数f（x）取得极大值f（−1）＝，当x＝4时，函数f（x）取得极小值f（4）＝，又，所以当x∈[−3，6]时，函数f（x）的值域为21、(1);(2)控制在16转/秒内.【解析】(1)结合已知数据，代入公式中，先求出，然后求出，进而可求出，从而可得回归方程.(2)由题意得，即可求出转速的最高速度.【详解】解：(1)由题意知，，所以，则，即关于的回归直线方程为.(2)由可得，解得，所以机器的运转速度应控制在16转/秒内.22、（1）（2）（i）答案见解析（ii）或【解析】（1）通过几何关系可知，且,由此可知点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，通过双曲线的定义即可求解；（2）（i）设点，，直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理及求出，即得到直线的斜率为定值