2010东厦中学数学 正余弦函数的周期性和奇偶性

第一课时1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

1、正弦、余弦函数的图象x6yo--12345-2-3-41

y=sinx

x[0,2]y=sinxxR正弦曲线yxo1-1如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？(0,0)(,1)(

,0)(,-1)(2

,0)五点画图法x6yo--12345-2-3-41

1、正弦、余弦函数的图象余弦函数的图象

正弦函数的图象

x6yo--12345-2-3-41

y=cosx=sin(x+),xR余弦曲线正弦曲线形状完全一样只是位置不同（1）正弦、余弦函数的定义域都是R。（2）正弦、余弦函数的值域都是[-1，1]。

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，

所以即称为正弦、余弦函数的有界性。（3）、世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.三角函数的周期性一、周期函数的概念

1、由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，这一规律的理论依据是：2、设f(x)=sinx，则sin(x+2k)=sinx

可以怎样表示？其数学意义如何？为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。周期函数的周期是否惟一？正弦函数的周期有哪些？正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z,k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．正、余弦函数的周期性：余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z,k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．判断下列说法是否正确（1）时，则一定不是的周期。（）√（2）时，则一定是的周期。（）×

知识迁移

例1求下列函数的周期：（1）y=3cosx;x∈R（2）y=sin2x，x∈R；（3）

，x∈R

；（4）y=|sinx|x∈R.解：(1)∵3cos(x+2)=3cosx∴y=3cosx是以2π为周期的周期函数.(2)是以π为周期的周期函数.(3)是以４π为周期的周期函数函数

思考是不是以11π/3为周期的周期函数？为什么函数f(x)的周期不是11π/3?2-2oy4π8π12π16π20π24π结论：1、理解周期定义时要注意，式子f(x＋T)＝f(x)是对“x”而言.2、由周期函数的定义知：f(x+T)=f(x)的两端作用的是相同的对应法则f.一般地，函数y=Asin(ωx+

),x∈R及函数y=Acos(ωx+

),x∈R(其中A,ω,

为常数,且A≠0,ω>0)的周期

T=二、正、余弦函数的奇偶性1、观察下列正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？x6yo--12345-2-3-41

x6yo--12345-2-3-41

y=cosxy=sinxsin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41

是奇函数x6o--12345-2-3-41

ycos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函数定义域关于原点对称2、上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？练习1、判断下列函数的奇偶性：奇函数偶函数既不是奇函数，也不是偶函数.小结

1.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，即存在非零常数T，使f(x＋T)=f(x)恒成立.2.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期.3.周期函数的周期有许多个，若T为周期函数f(x)的周期，则T的整数倍也是f(x)的周期.4.函数y=Asin(x+)(A

≠0,>0)和y=Acos(x+)(A

≠0,>0)的最小正周期都是