经济数学基础教案

[教学目的]1.理解原函数、不定积分概念，理解定积分概念，会求变上限定积分。2.纯熟掌握积分基本公式和直接积分法，掌握第一换元积分法和分部积分法。3.掌握用不定积分和定积分求总成本、总收入和利润或其增量的办法；会求平面图形的面积。4.理解微分方程的有关概念，掌握变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法。[重难点]积分概念与计算[教学内容]第二编一元函数积分学一元函数积分学一、试着回答下列问题：问题1：设有函数y＝f(x)＝2x，问：有哪些函数以f(x)＝2x为其导数？问题2：什么叫原函数？一种函数y＝f(x)如果有原函数，它的原函数终究有多少？这些原函数之间含有如何的关系？问题3：不定积分与原函数有什么关系？问题4：基本积分法有哪些？答：问题1：显然，这是求导的逆运算问题。即给定一种函数y＝f(x)，问f(x)与否是另一种函数F(x)的导数？换言之，谋求一种函数F(x)（如果存在），其导数F¹(x)正是f(x)，即F¹(x)＝f(x)。由于。所觉得其导数。而普通地：，（C为任意常数）均觉得其导数。问题2：设f（x）是定义在某区间上的已知函数，如果存在一种函数F（x），对于该区间上的每一点都满足，则称函数F（x）是已知函数f(x)在该区间上的一种原函数。若F(x)是f(x)的一种原函数，则F(x)+C(C为任意常数)，也是f(x)的原函数，且f(x)全部的原函数都可表达为：F(x)+C(C为任意常数)。它们的关系是F(x)+C在几何上是由曲线y=F(x)沿y轴上下平移得到的曲线簇，且这簇曲线在横坐标相似的x处的切线都是平行的。问题3：如果函数F（x）是f(x)的任意一种原函数，那么f(x)的原函数普通表达式F(x)+C(C为任意常数)，称为f(x)的不定积分，记作：，即不定积分是f(x)原函数的全体。问题4：积分的基本办法（涉及不定积分与定积分的计算）有：直接积分法凑微分法（或第一换元法）分部积分法二、重要内容归纳：（一）、不定积分概念：⑴、原函数：，则F(x)是f(x)的一种原函数⑵、不定积分：（f(x)的全体原函数）⑶、性质：共4条（两条概念性质，两条运算性质）计算⑴、直接积分法——运用基本公式和两条运算性质⑵、凑微分法⑶、分部积分法：（二）、定积分概念⑴、定义：⑵、性质：定积分是个拟定的常数；定积分大小与积分变量选择无关；计算⑴、运用N—L公式，先求F（x）,再求F(b)－F(a)；⑵、凑微分法：运用不定积分凑微分法及N—L公式；⑶、分部积分法：；⑷、无穷限广义积分：三、重点、难点：重点：积分计算（涉及直接积分法、凑微分法或第一换元法、分部积分法）难点：凑微分法或第一换元法、分部积分法四、实例分析：积分计算熟记积分基本公式和下列积分计算办法直接积分法第一换元积分法分部积分法注意积分运算中的技巧和常见手法，由公式将定积分与不定积分的计算相联系。例1计算下列积分（1）（2）（3）（4）解（1）直接积分法。先运用幂函数的运算性质化简，再运用积分基本性质和积分基本公式求积分。（2）第一换元积分法。=（3）第一换元积分法。第一换元积分是积分计算的重点，也是难点。换元的目的是使容易求出原函数，并在计算中，记住惯用的凑微分形式，多做练习掌握办法。（4）分部积分法。令则对照练习1、求下列积分（1）（2）（3）（4）例2运用奇偶性计算下列积分分析：第一项被积函数为奇函数，第二项被积函数为偶函数解：=对照练习2、求下列积分例3计算下列广义积分解：=对照练习3、求下列积分五、问题解答：对照练习1、答案⑴、⑵、⑶、⑷、对照练习2、答案对照练习3、答案第二编一元函数积分学积分应用一、试着回答下列问题：问题1：不定积分的应用有哪些？问题2：定积分的应用有哪些？问题3：对比不定积分与定积分的应用的异同？问题4：积分求解应用问题和微分求解应用问题？答：问题1：不定积分的应用很广：几何上，由曲线斜率，通过不定积分求曲线方程；由于它是求解原函数，故诸多领域凡已知变化率求原函数问题都用不定积分，如，已知边际成本、边际收入、边际利润，求成本函数、收入函数、利润函数等等；特别它是求解定积分的基础，解微分方程的办法。问题2：定积分的应用相称广泛，先看下图：图中心表达函数y=f(x)的定积分这一抽象概念。给f(x)以不同的解释，运用定积分就能解决不同的实际问题。另外运用变上限的定积分求经济函数：。这里规定同窗们重要掌握定积分在经济问题中的应用。问题3：不定积分的应用和定积分的应用其实是相通的，用定积分能解决的问题用不定积分也能解决，反之亦然。由于我们所学的是较简朴的积分基础知识，因此碰到的积分计算较易，对较难一点的积分计算可能用定积分的换限计算会方便些。如：已知边际函数求经济函数，①用不定积分：，此时要有一种初始条件去拟定不定积分所带的那个常数C；②还可用变上限定积分。但成果都是同样的。又如：已知边际函数，求经济函数增量，①用定积分：经济函数增量：；②你也能够用不定积分：，然后再求，其成果也是同样的。同窗们在使用时最佳就用你喜欢的办法，固然也要看所给条件和考虑计算上用谁会更方便。问题4：积分求解应用问题和微分求解应用问题的一对相反的应用问题。导数应用非常广泛，而需要我们掌握的有：⑴、运用一阶导数的几何意义求曲线在某点的切线方程；⑵、鉴别函数的单调性、求函数的极值；⑶、边际分析、求解经济应用问题的最值：成本最低、利润最大等等；⑷、求需求弹性。而积分应用同样广泛（如上所述），同窗们在学习中注意对比学习将会有更大的收效。二、重要内容归纳：概念：⑴、曲边梯形的面积：（S由y=f(x)(x≥0)及x=a，x=b，x轴围成）⑵、定积分的几何意义⑶、由边际函数求原经济函数⑷、微分方程、阶、解（通解、特解），线性、齐次、非齐次⑸、可分离变量方程：⑹、一阶线性微分方程：应用⑴、求曲线方程（已知切线斜率）⑵、求简朴平面图形面积：⑶、求经济函数：⑷、求经济函数增量：（成本函数、收入函数、利润函数）⑸、求经济函数优化问题（已知边际函数）⑹、求解微分方程：①可分离变量微分方程的解法：分离后直接积分②一阶线性微分方程的解法（公式法）：三、重点、难点：重点：不定积分、定积分在经济分析中的应用；解微分方程。难点：不定积分、定积分在经济分析中的应用；解微分方程。四、实例分析：（一）、积分在经济分析中的应用例1⑴、已知某产品的总成本C（元）是产量q（件）的函数，且边际成本（元），固定成本为C0=1600元，试求总成本函数？解：办法一：用不定积分求：总成本函数：固定成本为1600元，意即产量q为0时，C（0）=1600，将此代入上式得：C0=1600从而为所求成本函数办法二：用变上限定积分求：总成本函数：即为所求⑵、工厂生产某种产品边际成本和边际收入函数分别为：（万元/百台），（万元/百台），其中q表达产量或销量，试求：①、产量q为多少时，利润L（q）最大？②、在最大利润产量的基础上再生产100台，利润有何变化？解：①、产量q为多少时，利润L（q）最大②、在最大利润产量的基础上再生产100台，利润有何变化因此此时利润将减少0.5万元。对照练习1、积分在经济分析中的应用（1）、已知边际收入为（元），试求总收入函数，（其中q为需求量）？（2）、工厂生产某种产品边际成本和边际收入函数分别为：（万元/台），（万元/台），其中q表达产量或销量，试求：①、产量q为多少时，利润L（q）最大？②、在最大利润产量的基础上再生产5台，利润有何变化？（二）、求解微分方程形如为可分离变量的微分方程，求解办法是初等积分法。形如为一阶线性微分方程，通解公式为例2（1）求