柏努力方程式

目录一、柏努力方程式二、管内流体流动三、流体在管路中的流动阻力四、管路计算五、流量的测定柏努利方程式是管内流体流动机械能衡算式。

一、柏努利方程式的推导二、柏努利方程式的物理意义三、实际流体的机械能衡算式四、柏努利方程式的的应用及注意事项柏努利方程式(Bernoulli′sequation)柏努利方程式是管内流体流动机械能衡算式。

1、柏努利方程式的推导假设：流体无粘性：在流动过程中无摩擦损失；流体在管道内作稳定流动；在管截面上液体质点的速度分布是均匀的；流体的压力、密度都取在管截面上的平均值；流体质量流量为G，管截面积为A。柏努利方程式(Bernoulli′sequation)图柏努利方程式的推导

在管道中取一微管段dx，段中的流体质量为dm。作用此微管段的力有：(1)

作用于两端的总压力分别为pA和－(p+dp)A；(2)

作用于重心的重力为gdm；由于dm=ρAdx,

sinθdx＝dz故作用于重心的重力沿x方向的分力为

gsinθdm=gρAsinθdx

=gρAdz

作用于微管段流体上的各力沿x方程方向的分力之和为:pA－(p+dp)A－gρAdz＝－Adp－gρAdz(a)流体流进微管段的流速为u，流出的流速为（u＋du）。由式(a)与式(b)得:

ρAudu＝－Adp－gρAdz(c)流体动量的变化速率为

Gdu＝ρAudu(b)动量原理：作用于微管段流体上的力的合力等于液体的动量变化的速率。对不可压缩流体，ρ为常数，对上式积分得(d)(d)

ρAudu＝－Adp－gρAdz(c)上式称为柏努利方程式，它适用于不可压缩非粘性的流体。通常把非粘性的液体称为理想液体，故又称上式为理想液体柏努利方程式。gz为单位质量流体所具有的位能；

由此知，式(d)中的每一项都是质量流体的能量。位能、静压能及动能均属于机械能，三者之和称为总机械能或总能量。

p/ρ为单位质量流体所具有的静压能；u2/2为单位质量流体所具有的动能(kineticenergy)。因质量为m、速度为u的流体所具有的动能为mu2/2

。2、柏努利方程式的物理意义

上式表明：三种形式的能量可以相互转换；总能量不会有所增减，即三项之和为一常数；单位质量流体能量守恒方程式。柏努利方程式的其他形式若将式(1-28)各项均除以重力加速度g，则得上式为单位重量流体能量守恒方程式。z为位压头；p/ρg为静压头；u2/2g称为动压头（dynamichead）或速度压头(velocityhead)。

z

+

p/ρg+u2/2g为总压头。

实际流体由于有粘性，管截面上流体质点的速度分布是不均匀的从而引起能量的损失。简单实验观察流体在等直径的直管中流动时的能量损失。3、实际流体机械能衡算式

两截面处的静压头分别为p1/ρg与p2/ρg；

z1＝z2；

u22/2g＝u12/2g

；

1截面处的机械能之和大于2截面处的机械能之和。两者之差，即为实际流体在这段直管中流动时的能量损失。因此实际流体在机械能衡算时必须加入能量损失项。由此方程式可知，只有当1-1截面处总能量大于2-2截面处总能量时，流体就能克服阻力流至2-2截面。式中

∑Hf——压头损失，m。流体机械能衡算式在实际生产中的应用

（1-31c）式中H―外加压头，m。（1-31d）式中∑hf＝g∑Hf，为单位质量流体的能量损失，J/kg。

W＝gH，为单位质量流体的外加能量，J/kg。式(1-31c)及(1-31d)均为实际流体机械能衡算式，习惯上也称它们为柏努利方程式。分析和解决流体输送有关的问题；柏努利方程是流体流动的基本方程式，它的应用范围很广。调节阀流通能力的计算等。液体流动过程中流量的测定；4、柏努利方程式的应用(1)选取截面连续流体；两截面均应与流动方向相垂直。用柏努利方程式的注意事项：(2)确定基准面

基准面是用以衡量位能大小的基准。强调：只要在连续稳定的范围内，任意两个截面均可选用。不过，为了计算方便，截面常取在输送系统的起点和终点的相应截面，因为起点和终点的已知条件多。(3)压力

柏努利方程式中的压力p1与p2只能同时使用表压或绝对压力，不能混合使用。(4)外加能量

外加能量W在上游一侧为正，能量损失在下游一侧为正。应用式(1-31c)计算所求得的外加能量W是对每kg流体而言的。若要计算的轴功率，需将W乘以质量流量，再除以效率。例

从高位槽向塔内加料。高位槽和塔内的压力均为大气压。要求料液在管内以0.5m/s的速度流动。设料液在管内压头损失为1.2m（不包括出口压头损失），试求高位槽的液面应该比塔入口处高出多少米？110022解：选取高位槽的液面作为1-1截面，选在管出口处内侧为2-2截面，以0-0截面为基准面，在两截面间列柏努利方程，则有式中p1=p2=0（表压）

u1=0（高位槽截面与管截面相差很大，故高位槽截面的流速与管内流速相比，其值很小可以忽略不计）u2=1.5m/sΣhf=1.2mz1-z2=xx=1.2m

计算结果表明，动能项数值很小，流体位能主要用于克服管路阻力。牛顿粘性定律液体中的动量传递二、管内流体流动现象

本节将讨论产生能量损失的原因及管内速度分布等，以便为下一节讨论能量损失的计算提供基础。

流体流动时产生内摩擦力的性质，称为粘性。流体粘性越大，其流动性就越小。从桶底把一桶甘油放完要比把一桶水放完慢得多，这是因为甘油流动时内摩擦力比水大的缘故。

1、牛顿粘性定律

运动着的流体内部相邻两流体层间由于分子运动而产生的相互作用力，称为流体的内摩擦力或粘滞力。流体运动时内摩擦力的大小，体现了流体粘性的大小。

设有上下两块平行放置而相距很近的平板，两板间充满着静止的液体，如图所示。xu=0yu实验证明，两流体层之间单位面积上的内摩擦力（或称为剪应力）τ与垂直于流动方向的速度梯度成正比。yxuu=0⊿u⊿y

u/

y表示速度沿法线方向上的变化率或速度梯度。

式中μ为比例系数，称为粘性系数，或动力粘度（viscosity），简称粘度。式(1-33)所表示的关系，称为牛顿粘性定律。（1-23）粘性是流体的基本物理特性之一。任何流体都有粘性，粘性只有在流体运动时才会表现出来。

u与y也可能时如右图的关系，则牛顿粘性定律可写成：

粘度的单位为Pa·s。常用流体的粘度可查表。dyduoxy上式中du/dy为速度梯度（1-23）粘度的单位为:

从手册中查得的粘度数据，其单位常用CGS制单位。在CGS单位制中，粘度单位为

此单位用符号P表示，称为泊。

N·s/m2（或Pa·s）、P、

cP与的换算关系为

运动粘度：流体粘度μ与密度ρ之比称为运动粘度，用符号ν表示

ν＝μ/ρ(1-24)

其单位为m2/s。而CGS单位制中，其单位为cm2/s，称为斯托克斯，用符号St表示。

各种液体和气体的粘度数据，均由实验测定。可在有关手册中查取某些常用液体和气体粘度的图表。

温度对液体粘度的影响很大，当温度升高时，液体的粘度减小，而气体的粘度增大。压力对液体粘度的影响很小，可忽略不计，而气体的粘度，除非在极高或极低的压力下，可以认为与压力无关。

牛顿粘性定律表达式可以表示分子动量传递的。将式(1-33)改写成下列形式式中为单位体积流体的动量，为动量梯度。2、液体中的动量传递因此，剪应力可看作单位时间单位面积的动量，称为动量传递速率。而剪应力的单位可表示为上式表明，分子动量传递速率与动量梯度成正比。目录流体在直管中的阻力（层流+湍流）流体在非圆直管中的阻力局部阻力管道总阻力三、流体在管路中的流动阻力能量损失：流体在管内从第一截面流到第二截面时，由于流体层之间或流体之间的湍流产生的内摩擦阻力，使一部分机械能转化为热能。我们把这部分机械能称为能量损失。能量损失可以通过阻力计算求得。流动阻力：流体在管路中的流动阻力可分为直管阻力和局部阻力两类。直管阻力：或沿程阻力。流体流经一定直径的直管时所产生的阻力。局部阻力：流体流经管件、阀门及进出口时，由于受到局部障碍所产生的阻力。总能量损失：为直管阻力与局部阻力所引起能量损失之总和。uP1dFFP211‘22‘l由哈根方程：则能量损失：式中：

—摩擦系数，

=64/Re达西公式范宁公式1流体在直管中的阻力

1.1层流时的直管阻力实践证明，湍流运动时，管壁的粗糙度对阻力、能量的损失有较大的影响。绝对粗糙度

：管壁粗糙部分的平均高度。相对粗糙度

/d：duε1.2湍流时的直管阻力材料与加工精度；光滑管：玻璃管，铜管等；粗糙管：钢管、铸铁管等。使用时间；绝对粗糙度可查表或相关手册。粗糙度的产生duδbbεδb>ε层流运动流体运动速度较慢,与管壁碰撞不大，因此阻力、摩擦系数与

无关，

只与Re有关。层流时，

在粗糙管的流动与在光滑管的流动相同。粗糙度对流体流动类型的影响湍流运动，阻力与层流相似，此时称为水力光滑管。，Re

δb

质点通过凸起部分时产生漩涡

能耗

。δb<εδb>εδb<εεdδbu从理论和实践上可以证明，湍流运动时流体的直管阻力为：

为阻力系数，层流时：湍流运动时阻力hf在形式上与层流相同。湍流时的

为阻力系数光滑管：3×103<Re<105,

湍流粗糙管：3×103<Re<106,滞流区过渡区湍流区完全湍流，粗糙管光滑管Re

/d

摩擦系数与雷诺准数、相对粗糙度的关系(双对数坐标)上图可以分成4个不同区域。层流区：Re

2000，

=64/Re，与

/d无关。过渡区：2000<Re<4000湍流区：Re

4000,

与Re和

/d有关。完全湍流区(阻力平方区)：

与Re无关，仅与

/d有关。查表举例1.Re=103，

=0.06

Re=104，

/d=0.002

=0.034

3.Re=107，

/d=0.002

=0.023圆管RrA—管道截面积

—浸润周边长度当量直径法：ab矩形管环形管流体在非圆直管中的阻力

研究结果表明，当量直径用于湍流时很可靠，用于层流时还需对阻力系数

作进一步校正。式中：C为校正系数非圆形管的截面形状正方形等边三角形环形长方形长/宽=2长/宽=4常数C5753966273表某些非圆形管的常数C

流体流经管件时，其速度的大小、方向等发生变化，出现漩涡，内摩擦力增大，形成局部阻力。

局部阻力以湍流为主，层流很少见，因为层流流体受阻后一般不能保持原有的流动状态。常见的局部阻力有：突扩突缩弯头三通2局部阻力

由局部阻力引起的能耗损失的计算方法有两种：阻力系数法和当量长度法。

为局部阻力系数。由实验得出，可查表或图。2.1阻力系数法1).突扩管和突缩管常见局部阻力系数的求法：2).进口和出口3).阀门进口：容器进入管道，突缩。A小/A大

0，

=0.5出口：管道进入容器，突扩。A小/A大

0，

=1.0

le为当量长度。将流体流经管件时，所产生的局部阻力折合成相当于流经长度为le的直管所产生的阻力。le由实验确定，可查表。2.2当量长度法强调：在计算局部阻力损失时，公式中的流速u均为截面积较小管中的平均流速。3管道总阻力管路计算是连续性方程：V=Au柏努利方程:摩擦阻力计算式：的具体应用。四、管路计算和流量的测定

后两种情况存在着共同的问题，即流速u或管径d为未知，因此不能计算Re，则无法判断流体的流型，故不能确定摩擦系数λ。在工程计算中常采用试差法或其它方法来求解。已知管径d、管长l、流量V以及管件和阀门的设置，求管路系统的能量损失，以进一步确定所需外功、设备内的压强或设备间的相对位置。已知管径d、管长l、管路系统的能量损失Σhf以及管件和阀门的设置，求流量V或流速u。已知管长l、流量V、管路系统的能量损失Σhf以及管件和阀门的设置，求管径d。1、简单管路计算并联和分支管路称为复杂管路。ABABC并联管路分支管路2、复杂管路

V=V1+V2