专题2.1 数字规律问题（压轴题专项讲练）2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）（解析版）

第第页专题2.1数字规律问题【典例1】观察下列等式：11×2=1−12，（1）仿照上面的等式，把后面这个代数式写成上面等式右边的形式：1n(n+1)（2）直接写出下面算式的结果：11×2以下两小题，需写出解答过程：（3）计算：1（4）探究并计算：12×4【思路点拨】（1）观察题干中所给的式子可得结果；（2）原式各项利用拆项法变形，计算即可得到结果；（3）先去绝对值，再利用拆项法变形，计算即可得到结果；（4）将原式变形为14【解题过程】解：（1）由题意可得：1n(n+1)=1（2）由题意可得：1=1−=1−=20192020（3）1=1−=1−=99100（4）1=1=1=1=1=1=100340161．（2022秋·四川绵阳·七年级校考期中）一组数1，3，7，15，31…按下列分组．第一组1、3、7，第二组1、3、7、15，第三组1、3、7、15、31，…按此规律排列，则第10组所有数之和为（

）A．212−14 B．213−14 C．【思路点拨】先分别计算前几组的所有数之和，观察并找出规律，将n=10代入即可．【解题过程】解：第一组所有数之和为：1+3+7=11=2第二组所有数之和为：1+3+7+15=26=2第三组所有数之和为：1+3+7+15+31=57=2…..则第n组所有数之和为：2n+3所以第10组所有数之和为213故选：B．2．（2023·全国·七年级专题练习）观察下列算式：32=9，33=27，34=81，35A．1 B．3 C．7 D．9【思路点拨】从运算的结果看出末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，由2023÷4=505…3可得32023的末位数字与3【解题过程】解：∵332333435363738…，由此可得到3的1，2，3，4，5，6，7，8…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，∵2023÷4=505…3，∴32023的末位数字与3故选：C．3．（2023秋·全国·七年级专题练习）发现规律解决问题是常见解题策略之一．已知数a=15+25A．3 B．4 C．5 D．6【思路点拨】依次求出15【解题过程】解：∵15的个位数是1，25的个位数是2，35的个位数是3，45的个位数是4，55的个位数是5，65的个位数是6，75由此可发现：n5的个位数与n所以a的个位数应是：1+2+3+⋯⋯+0+1+2+3+⋯⋯+0+1+2+3+⋯⋯+9的结果的个位数，且该结果的个位数是5．故选：C．4．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）把2021个数1，2，3，…，2021的每一个数的前面任意填上“＋”号或“－”号，然后将它们相加，则所得之结果为（

）A．偶数 B．奇数 C．正数 D．不能确定【思路点拨】总共有1011个奇数和1010个偶数，都填“+”或都填“−”时结果是奇数，先计算1~2021所有数的和，并知道结果是奇数，再任选几个，再前面加负号，易知结果是奇数减去偶数，故结果是奇数，进而即可得到结论．【解题过程】解：∵总共有1011个奇数和1010个偶数，∴填“+”时，1+2+3+4+……2021的结果为奇数，设1~2021之间的任意数a、b、c、d……前为“−”，∴这2021个数相加得：1+2+3+4+……2021−2a−2b−2c−2d−……=1+2+3+4+……2021−2=奇数-偶数=奇数；∵总共有1011个奇数和1010个偶数，∴填“-”时，−1−2−3−4−……2021的结果为奇数，设1~2021之间的任意数a、b、c、d……前为“+”，∴这2021个数相加得：−1−2−3−4−……−2021+2a+2b+2c+2d−……=−1−2−3−4−……−2021+2=奇数+偶数=奇数；综上：结果是奇数．故选：B．5．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）已知两个整式M1=x+1，M2=x−1，用整式M1与整式M2求和后得到整式M3=2x，整式M2与整式M3作差后得到整式M4=−x−1，整式M3与整式M4求和后得到新的整式M5，整式M4与整式M5A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】根据题意依次计算出M1=x+1，M2=x−1，M3=2x，M4=−x−1=−M1，M5=x−1=M2，M6=−2x=−M3，根据观察可发现每12个一循环，将x=1代入M7中可判断①；根据上述即可判断②；M19=M7【解题过程】解：由题意计算可得：M1=x+1M3M4M5M6M7M8M9M10M11M12M13M14M15以此类推，每12个一循环，∴当x=1时，M7由上述可知，整式M2与整式M∵M19=M∴M∴M6∵M1∴M1∴正确的结论有①③④，共3个．故选：C．6．（2022·七年级单元测试）有依次排列的两个整式：x，x−2，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：x，2，x−2，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：x，x−2，2，4−x，x−2，以此类推．通过实际操作，小南同学得到以下结论：①第二次操作后，当x<2时，所有整式的积为正数；②第三次操作后整式串共有9个整式；③第n次操作后整式串共有2n+1个整式（n为正整数）；④第2023次操作后，所有的整式的和为2x+4044A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】①根据第二次操作后，当x<2【解题过程】解：①原整式为：x，x−2，第1次操作后所得整式串为：x，2，x−2，第2次操作后所得整式串为：x，x−2，2，4−x，x−2，此次所有整式之积为，2xx−2∵x<2∴当−2<x≤0时，x≤0，x−22>0，∴2xx−2②第3次操作后所得整式串为：x，2，x−2，x−4，2，x−2，4−x，6−2x，x−2，共有9个整式，②正确；③第1次操作后整式串共有3个整式，3=2+1，第2次操作后整式串共有5个整式5=2第3次操作后整式串共有9个整式，9=2第4次操作后整式串共有17个整式，17=2……，第n次操作后整式串共有整式个数为：2n④第1次操作后所得整式串为：x，2，x−2，所有整式之和为：2x，第2次操作后所得整式串为：x，x−2，2，4−x，x−2，所有整式之和为：2x+2，第3次操作后所得整式串为：x，2，x−2，x−4，2，x−2，4−x，6−2x，x−2，所有整式之和为：2x+4，第4次操作后所得整式串为：x，x−2，2，4−x，x−2，2，x−4，x−6，2，4−x，x−2，2x−6，4−x，x−2，6−2x，8−3x，x−2，所有整式之和为：2x+6，……，第n次操作后所得所有整式的和为：2x+2n−1故操作第2023次操作后所有整式之和为：2x+2×2013−1故选：C．7．（2022·全国·七年级假期作业）观察下面一列有规律的数：−13，29，−327，481，…根据规律可知，第5个数是【思路点拨】根据前四个数归纳类推出一般规律，分子递增1，分母乘负3，由此即可得第5个数，进而推出第n个数．【解题过程】解：∵一列有规律的数：−13，29，−327∴这列数可以写为：1(−3)1，2(−3)2，3(−3)∴第5个数是：5(−3)5=−5243故答案为：−5243，8．（2022秋·福建厦门·七年级统考期末）已知整数a1，a2，a3，a4…满足下列条件：a1=0，a2=−【思路点拨】根据题意计算出a1，a2，a3，a4，a5的值，从而得出规律：当n是奇数时，an=−【解题过程】解：由题意得：a1a2a3a4a5…，∴当n是奇数时，an=−n−12，当∴当n=2023时，a2023故答案为：−1011．9．（2023春·广东广州·七年级统考期末）将数1个1，2个12，3个13，…，n个1n（n为正整数）顺次排成一列1，12，12，13，13，13，…1n，1n…记a1=1，a2=【思路点拨】根据题意，可以得到a1=1，a2=a1+12【解题过程】解：∵a1=1，a2=∴a由题意可得，S=(==∵a2020∴S故答案为：4041．10．（2022秋·河北张家口·七年级统考期中）现有一列整数，第一个数为1，第二个数为x（x是正整数）．以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到．如第三个数是由x与1差的绝对值得到，即为x−1，第四个数是由x−1与x差的绝对值得到，即为x−1−x①若x=2，则这列数的前5个数的和为；②要使这列数的前40个数中恰好有10个0，则x=．【思路点拨】①根据题意计算，求出前5个数，再进行相加即可；②分x为偶数和奇数时进行讨论，找到规律即可求x的值．【解题过程】解：①当x=2时，前5个数分别为：1，2，1，1，0；∴前5个数的和为1+2+1+1+0=5；故答案为：5．②x为偶数时：这列数为：1，x，x−1，1，x−2，x−3，…，1，2，1，1，0，1，1，0，1，…，观察可得出，每3个为一组，每组第1个数均为1，第2个，第3个数从x开始依次−1，直至减到1，然后开始1，0，1循环，∵前40个数中恰好有10个0，∴40÷3＝则前3组不含0，即前3组的第2个、第3个数从x开始减到1，从第4组开始后10组均为1，0，1，∴2×3=6，则x=6；x为奇数时：这列数为：1，x，x−1，1，x−2，x−3，…，1，3，2，1，1，0，1，1，0，…，观察可得出，每3个为一组，每组第1个数均为1，第2个，第3个数从x开始依次−1，直至减到2，然后开始1，1，0循环，∵前40个数中恰好有10个0，∴40÷3＝则前3组不含0，即前3组的第2个、第3个数从x开始减到2，从第4组开始后10组均为1，1，0，∴2×3=6，则x=6+1=7；综上所述：x的值为6、7．故答案为：6或7．11．（2022秋·江苏·七年级专题练习）定义：若a是不为1的有理数，我们把11−a称为a的差倒数．如：2的差倒数是11−2=−1，−1的差倒数是11−−1=12．已知a1=−13，a2（1）a2=______，a3（2）求a1【思路点拨】（1）直接利用倒差数的定义求出a2、a3、a4即可；（2）先根据（1）发现a1、a2、a3…a4为−13、【解题过程】解：（1）a2=11−故答案为a2=34，（2）由题意和（1）可知，a1、a2、a3…a4为−13、∴a=（−13+34+4）+（−13+3=673×（−13+=673×5312=356691212．（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．−2a6b−9c…（1）可求得a=，第2022个格子中的数为；（2）求前2022个格子中所填整数之和S的值；（3）若前m个格子中所填整数之和S=−2022，求m的值．（直接写出答案即可）【思路点拨】（1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a的值，再根据第9个数是−9，可得b=−9，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2022除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解；（2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算．（3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果．【解题过程】（1）解：设第三个数为x，第四个数为y，由题意得：a+x+y=x+y+6，∴a=6，∵−2+a+x=a+x+y，∴y=−2．根据表格可以看出，数据的规律为每三个数是一个循环，∴x=b=−9．∵2022÷3=674，∴第2022个格子中的数与第三个格子中的数相同为：−9．故答案为：6，−9；（2）解：S=674×(−2+6−9)=−3370；（3）解：∵−9+6−2=5，(−2022)÷(−5)=404……−2，∴前404组数据之和为−2020，∵404×3=1212，∴前1213个格子中所填整数之和S=−2022，∴m=1213．13．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）定义公运算，观察下列运算：+3☆+15=+18−2☆+14=−160☆−15=+15；（1）请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则，再写出下列算式的结果．+2☆+11=−5☆+16=（2）计算：+11☆（3）若2☆a−1=3a，求a的值．【思路点拨】（1）由题意可归纳☆运算的法则为：同号得正，绝对值相加；异号得负，绝对值相加；0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，得该数的绝对值；进而可求+2☆+11=+13；−8☆−7（2）由题意知，+11☆（3）由2☆a−1=3a，可知当a≥0时，2+a−1=3a，解得a=12，当a<0时，−【解题过程】（1）解：由题意可归纳☆运算的法则为：同号得正，绝对值相加；异号得负，绝对值相加；0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，得该数的绝对值；∴+2☆+11=+13；−8☆−7故答案为：+13，+15，−21，+13；（2）解：由题意知，+11☆故答案为：+23；（3）解：∵2☆a−1=3a，∴当a≥0时，2+a−1=3a，解得a=1当a<0时，−2+−a∴a的值为12或−14．（2023·江苏·七年级假期作业）阅读探究：2+22=23（1）根据上述规律，小亮发现2+22+（2）小聪继续又发现：2223+2（3）若A=250+251【思路点拨】（1）根据阅读材料，发现规律即可求解；（2）根据阅读材料，发现规律即可；（3）把A变形为2+2【解题过程】（1）解：∵2+22=23∴2+2∴m=6故答案为：6（2）解：∵2323∴23∴n=7.故答案为：7（3）解：∵2+22∴A===∵A=2∴a=101，b=50.15．（2022秋·全国·七年级期末）观察下面算式，解答问题：1+3=4=1+31+3+5=9=1+51+3+5+7+9=25=1+9（1）1+3+5+7+9+…+29的结果为______________；（2）若n表示正整数，请用含n的代数式表示1+3+5+7+9+…+2n−1（3）请用上述规律计算：41+43+45+47+49+……+2021+2023的值（要求写出详细解答过程）．【思路点拨】（1）通过上面的数据观察可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数和的一半的平方，计算即可；（2）用（1）的猜想写出结果；（3）先把原式化为1+3+5+⋯+37+39+41+43+⋯+2021+2023−【解题过程】（1）解：1+3=4=1+31+3+5=9=1+51+3+5+7+9=25=1+91+3+5=9=1+51+3+5+7+9=25=1+9依次可得，1+3+5+7+9+…+29=1+29故答案为：225（2）解：1+3=4=1+31+3+5=9=1+51+3+5+7+9=25=1+91+3+5=9=1+51+3+5+7+9=25=1+9⋯⋯1+3+5+7+9+…+2n−1+2n+1故答案为：n+1（3）41+43+45+47+49+……+2021+2023=1+3+5+⋯+37+39+41+43+⋯+2021+2023=1+2023===1032×992=1023744．16．（2023春·重庆江津·七年级重庆市江津第二中学校校联考阶段练习）阅读材料：求1+2+2解：设S=1+2+2得2S=2+2用②－①得，2S−S=即S=2即1+2+2请仿照此法计算：（1）请直接填写1+2+2（2）求1+5+5（3）请直接写出1−10+10【思路点拨】（1）先计算乘方，即可求出答案；（2）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案；（3）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案；【解题过程】解：（1）1+2+2故答案为：15；（2）设T=1+5+55T=5+5由②−①，得：4T=5∴T=5∴1+5+5（3）设M=1−10+10把等式①乘以10，得：10M=10−10把①+②，得：11M=1+10∴M=10∴1−10+10∴1−10+==117．（2022秋·七年级课时练习）观察下列等式：第1个等式：a1第2个等式：a2第3个等式：a3第4个等式：a4…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝＝（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an＝（n（3）求a1【思路点拨】（1）根据所给的等式的形式求解即可；（2）根据所给的等式，进行总结可得出规律；（3）利用（2）中的规律进行求解即可．【解题过程】（1）解：∵第1个等式：a1第2个等式：a2第3个等式：a3第4个等式：a4第5个等式：a5故答案为：19×11，1（2）解：∵第1个等式：a1第2个等式：a2第3个等式：a3第4个等式：a4……以此规律可得，an故答案为：12（3）解：a=1==1===12×18．（2022秋·山东青岛·七年级统考期中）如表所示的数中，第n+3个数比第n个数大2（其中n是正整数）．第1个数第2个数第3个数第4个数第5个数…abca+2b+2…（1）第6个数可表示为；第7个数可表示为；（2）第22个数是12，第23个数为61，则a=，b=；（3）第2025个数可表示为．【思路点拨】（1）根据题意直接求解即可；（2）通过观察发现，每组三个数，后一组的三个数分别比前一组的三个数大2，由此可知第n组数是a+2n−1，b+2n−1，c+2n−1，根据题意可得a+12=12，b+12=61（3）由（2）的规律，可知第2025个数是c+2×675−1【解题过程】（1）解：（1）第6个数比第3个数大2，∴第6个数是c+2，第7个数比第4个数大2，∴第7个数是a+4，故答案为：c+2，a+4；（2）解：第一组数是a、b、c，第二组数是a+2，第三组数是a+4，……∴第n组数是a+2n−1，b+2n−1，∵22÷3=7……1，∴第22个数是a+14，第23个数是b+14，∵第22个数是12，第23个数为61，∴a+14=12，b+14=61∴a=−2，故答案为：−2，47；（3）解：∵2025÷3=675，∴第2025个数是c+2×675−1故答案为：c+1348．19．（2022秋·辽宁大连·七年级校考阶段练习）观察下面三行数：2，−4，8，−16，32，−64，……；①−12，1，−2，4，−3，9，−15，33，−63，129……；③（1）请直接写出第①行数的第100项：________，第n项：________．（2）用式子表示第②行数的第2020项：________．（3）取每行的第10个数，计算这三个数的和．【思路点拨】（1）通过观察，可发现规律：①中第n项为：(−1)n+1（2）通过观察，可发现规律：②中第n项为：(−1)n（3）由（1）和（2）可得出①中第10项为：−210，②中第10项为：28．再找出③中的规律第n项为：−(【解题过程】（1）解：①中第1项：2=(−1)第2项：−4=(−1)第3项：8=(−1)第4项：−16=(−1)第5项：32=(−1)第6项：−64=(−1)…∴第100项：(−1)100+1…∴第n项：(−1)n+1故答案为：−2100，（2）解：②中第1项：