《高职应用数学》教案 第4课 函数

第4课函数课题函数课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1．理解函数、初等函数的概念，使学生能够计算函数的定义域、判断两个函数是否为同一函数2．掌握函数四种性质（单调性、奇偶性、有界性和周期性）的分析与判断3．熟练掌握基本初等函数的解析式、性质及一些重要的函数图形4．掌握复合函数的复合过程和分解过程5．使学生能够画一些简单分段函数的图形思政育人目标：使学生了解函数在实际中的应用，引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：函数概念的理解教学难点：基本初等函数的作图教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第一节课：课前任务→考勤（2min）→知识讲解（20min）→课堂测验（10min）→课堂指导（13min）第二节课：知识讲解（20min）→课堂测验（12min）→互助指导（10min）→课堂小结（3min）→课后拓展教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐【学生】做完作业，在指定时间内交齐【教师】通过文旌课堂APP或其他学习软件，布置课前问答题：什么是映射？什么是函数？函数具有哪些性质？如何区分初等函数和分段函数？【学生】提前上网搜索了解，查阅资料，了解问题，熟悉教材通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（20min）【教师】引入课题——函数的概念16世纪以来，科学家们致力于运动的研究例如，计算天【教师】通过引例讲解函数的定义函数反映了事物运动变化过程中变量之间的依赖关系．考察如下几个案例引例1在自由落体运动中，物体下落的距离s随下落时间t的变化而变化，下落距离s与时间引例1引例2某儿童玩具的销售价格是每套20元，假设销售量是q套，那么销售收入R与销售量之间的引例2当销售量q取一定的数值时，销售收入R就有一个确定的数值与之对应定义1设有两个变量x和y，D是一个非空数集，若当变量x在集合D内任取一个值，变量y依照一定法则f，总有确定的值与之对应，则称变量y是x的函数，记为，其中，D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量对于确定的，与之对应的称为函数在处的函数值，记作当x取遍D中的一切数值时，对应的函数值y的集合称为函数的值域，记作M，即例1设函数，求，及例1解；；【教师】讲解函数的两要素，并通过例题介绍其应用方法由函数的定义可知，定义域与对应法则一旦确定，函数也就随之唯一确定．因此我们把函数的定义域和对应法则称为函数的两要素．例2判断下列函数是否为同一函数例2（1），； （2），．解（1）函数的定义域为，而函数的定义域为，故这两个函数不是同一函数．（2）函数和函数的定义域和对应法则都相同，故这两个函数是同一函数．例3求下列函数的定义域例3（1）； （2）．解（1）因为，解得且，所以函数的定义域为．（2）因为解得，所以函数的定义域为．【教师】讲解函数的表示法函数通常有三种不同的表示法：解析法、表格法和图示法．解析法：用数学式子来表示函数的方法，也称公式法．由于表达简单，便于理论推导和运算，因此它在高等数学中是最常见的函数表示法．表格法：用表格来表示函数的方法．例如，表1-1以列表的形式给出了国内生产总值与年份之间的函数关系．表1-1单位：亿元图示法：用图形来表示函数的方法．其优点是形象直观，可以看到函数的变化趋势，如某地一天的气温变化曲线图、上证指数K线图等．【教师】通过例题讲解函数的性质1）单调性设函数在区间I内有定义，若对区间I内的任意两点：当时，有，则称在区间I内单调增加，区间I称为单调增区间；当时，有，则称在区间I内单调减少，区间I称为单调减区间．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．例如，函数在区间内单调减少，在区间内单调增加；函数在区间内都是单调增加的．2）奇偶性设函数的定义域关于原点对称（即若，则）．若对于任意的，都有，则称为偶函数；若对于任意的，都有，则称为奇函数．不满足以上两种情况的函数，称为非奇非偶函数．例如，在定义区间上是偶函数；和在定义区间上都是奇函数；在定义区间上是非奇非偶函数．3）有界性设函数在区间I上有定义，若存在一个正数，使得与任意所对应的函数值都满足不等式，则称函数在I内有界．若这样的M不存在，则称函数在I内无界．例如，函数在内是有界的，这是因为无论x取何值，都成立；函数在开区间内是无界的，而在开区间内是有界的．由此可见，笼统地说某个函数是有界函数或无界函数是不确切的，必须指明其所讨论的区间．4）周期性设函数在区间D上有定义，若存在常数，对于任意的，恒有，则称是以为周期的周期函数．通常所说周期函数的周期是指它们的最小正周期．例如，的周期是，的周期是．另外，函数是周期函数，但不存在最小正周期．【学生】掌握函数的概念与四种性质学习、巩固函数的概念与性质的相关知识，理解函数概念的产生是人类。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂指导（13min）☞选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点【教师】公布题目的正确答案，让答题快且正确的同学上台解答，为同学们做示范。如果题目比较难，无人答对则老师示范【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点第二节课知识讲解（20min）【教师】讲解基本初等函数的解析式、性质，列举一些重要的函数图形图1-12常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这6类函数统称为基本初等函数图1-121．常数函数常数函数

的定义域为，对应法则是对于任何，所对应的函数值恒等于常数C．其函数图像为平行于轴的直线，如图1-12所示．2．幂函数幂函数的定义域和值域由a而定，在内都有定义，且其图像都经过点．如图1-13所示给出了几个常见幂函数的图像．（a）（b）图1-133．指数函数指数函数的定义域为，值域为，图像都经过点．当时，单调增加；当时，单调减少．指数函数的图像均在x轴上方，如图1-14所示．4．对数函数对数函数是指数函数的反函数．对数函数的定义域为，值域为，图像都经过点．当时，单调增加；当时，单调减少．对数函数的图像在y轴的右方，如图1-15所示．图1-14图1-15当时，简记为，它是常见的对数函数，称为自然对数．5．三角函数三角函数包括如下几类：正弦函数，余弦函数；正切函数，余切函数；正割函数，余割函数．（1）和的定义域为，值域为，都以为周期．是奇函数，是偶函数，如图1-16所示．图1-16（2）的定义域是，的定义域是，它们都以为周期，且都是奇函数，分别如图1-17（a）和（b）所示．（a）（b）图1-176．反三角函数反三角函数是各三角函数在其特定单调区间上的反函数．（1）反正弦函数是正弦函数在区间上的反函数，其定义域为，值域为，如图1-18（a）所示．（2）反余弦函数是余弦函数在区间上的反函数，其定义域为，值域为，如图1-18（b）所示．（a）（b）图1-18（3）值域为，如图1-19（a）所示．（4）反余切函数是余切函数在区间内的反函数，其定义域为，值域为，如图1-19（b）所示．（a）（b）图1-19【教师】讲解复合函数的定义，并通过例题介绍其复合过程和分解过程定义2设y是u的函数，u是x的函数．若的值域与的定义域的交集不是空集，则y通过u构成x的函数，称为x的复合函数，其中u称为中间变量．例如，，，它们复合而成的复合函数为．利用复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解成若干个简单的函数．分解函数的原则是：由外向里，逐层分解．分解函数的结果是：分解成的每个简单函数都是基本初等函数，或由常数与基本初等函数经过有限次四则运算后形成的函数．例4写出下列函数的复合过程例4（1）； （2）．解（1）是由，复合而成的．（2）是由复合而成的．【教师】讲解初等行数和分段函数的定义，列举一些简单分段函数的图形的画法，为学习极限做好准备1．初等函数定义3由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合构成的，并且用一个解析式表示的函数称为初等函数．例如，函数，等均是初等函数．2．分段函数引例3自2018年8月1日起，北京巡游出租车（不含电动车）白天的基本收费标准是：行驶里程若不超过3公里，则收费13元；若超过3公里，则超出的部分按每公里2.3元收费．另外，每运次加收1元燃油附加费．那么，每运次的行驶里程数公里与费用元之间的关系为引例3以上的函数关系不是用一个式子表示的，而是在自变量不同范围内用不同的表达式来表示的．这样的函数称为分段函数．图1-20例5图1-20例5（1）求，，；（2）求其定义域，并画出其图像．解（1），，．（2）分段函数的定义域为，其图像如图1-20所示．常用的分段函数有绝对值函数和符号函数两种．1）绝对值函数绝对值函数的图像如图1-21所示．2）符号函数符号函数的图像如图1-22所示．图1-21图1-22【学生】掌握基本初等函数、复合函数和分段函数的相关知识学习、巩固基本初等函数、复合函数和分段函数的相关知识。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（12min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象互助指导（10min）☞选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点【教师】公布题目的正确答案，每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点【学生】总结回顾知识点本节课上大家理解了函数、初等函数的概念，掌握函数、基本初等函数的性质，能够计算函数的定义域、判断两个函数是否为同一函数，掌握复