《高职应用数学》教案 第26课 广义积分

第26课广义积分课题广义积分课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1．理解无限区间的广义积分，掌握其应用方法2．理解无界函数的广义积分（瑕积分），掌握其应用方法思政育人目标：通过讲解广义积分的相关知识，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：无限区间的广义积分、无界函数的广义积分教学难点：掌握无限区间的广义积分和无界函数的广义积分的应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第一节课：课前任务→考勤（2min）→复习（10min）→讲授新课（23min）→课堂测验（10min）第二节课：讲授新课（22min）→课堂测验（10min）→互助指导（10min）→课堂小结（3min）→课后拓展教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐【学生】做完作业，在指定时间内交齐【教师】通过文旌课堂APP或其他学习软件，布置课前问答题：（1）什么是广义积分？（2）什么是无限区间的广义积分？（3）什么是无界函数的广义积分（瑕积分）?【学生】查找资料，预习教材通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况复习（10min）【教师】提前设计好上节课的复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习上节课所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（23min）【教师】引入课题——广义积分的概念在讨论定积分时，有两个基本的前提：一是积分区间是有限的；二是被积函数是有界的．但在而产生了广义积分的概念．【教师】讲解无限区间的广义积分，通过由易到难的例题使学生掌握其应用定义1设函数在区间上连续，取，若极限存在，则称此极限为函数在无限区间上的广义积分，记作，即．此时，也称广义积分收敛．若极限

不存在，则称广义积分发散．此时，虽然两种广义积分用同样的记号，但其已经不再表示数值了．类似地，可定义在无限区间上的广义积分，即．若上式等号右端的极限存在，则称之收敛，否则称之发散．函数在无限区间上的广义积分定义为，其中，c为任意实数．当上式等号右端的两个积分都收敛时，称之收敛，否则称之发散．上述3类广义积分统称为无限区间的广义积分．为方便起见，我们引入以下记号，若是的一个原函数，记，（假设极限存在），则无限区间的广义积分可表示为，，．由于无限区间的广义积分是通过变限定积分的极限来定义的，因此定积分的换元积分法和分部积分法可引用到无限区间的积分中来．例1计算广义积分．例1解．若运用上述记号，则解题过程可表示为．（例2、例3详见教材）【学生】理解、掌握无限区间的广义积分学习无限区间的广义积分。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目的正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课讲授新课（22min）【教师】讲解无界函数的广义积分（瑕积分），通过由易到难的例题使学生掌握其应用定义2设函数在区间上连续，且，即为的无穷间断点（又称瑕点）．取，若极限存在，则称此极限为函数在区间上的广义积分，记作，即．此时称广义积分收敛，否则称广义积分发散．类似地，当为的无穷间断点时，即，则在上的广义积分定义为．当无穷间断点位于区间的内部时，其广义积分定义为．上式等号右端的两个积分均为广义积分，只有当这两个广义积分都收敛时，才称收敛，否则称发散．上述无界函数的广义积分也称为瑕积分．，其意义与无穷区间的广义积分类似．例4计算广义积分．例4解因为是被积函数的无穷间断点，即，所以．例5讨论广义积分的敛散性．例5解因为在内部有被积函数的瑕点，于是，其中瑕点在小区间的端点处，而不存在，所以广义积分发散．【学生】理解、掌握无界函数的广义积分（瑕积分）学习无界函数的广义积分（瑕积分）。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象互助指导（10min）☞选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点【教师】公布题目的正确答案，每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家理解了无限区间的广义积分和无界函数的广义积分（瑕积分），并掌握了其应用方法，课后要多加练习，巩固认知【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作业：习题5-6总结知识点，巩固印象课后拓展【教师】在文旌课堂APP或其他学习平台上共享本节课知识相关的学习链接【学生】登录文旌课堂APP或其他学习平台查看