《高等应用数学》（曾慧平）教案 第六章 微分方程 6.3.2 二阶线性微分方程

课题二阶线性微分方程课时1课时（45min）总41课时教学目标知识技能目标：（1）理解二阶线性微分方程的概念和类型。（2）掌握二阶线性微分方程的求解及应用。素质目标：（1）培养与他人合作交流的学习习惯．（2）培养数学建模思维，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去．教学重难点教学重点：二阶线性微分方程的概念和类型教学难点：二阶微分方程的求解教学方法讲练结合法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计→→→传授新知（23min）→强化训练（10min）→课堂小结（3min）→布置作业教学过程主要教学内容及步骤设计意图课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家与习有关二阶微分方程的解的知识。【学生】完成课前任务通过课前任务，使学生了解所学知识的重要性，增加学生的学习兴趣，提高学习效率考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况问题导入（5min）【教师】提出以下问题：回忆一阶微分方程的定义与解法，类比二阶微分方程的定义与解法．【学生】思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（23min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识6.3.2二阶线性微分方程知识点二阶线性微分方程的定义❖【教师】介绍二阶线性微分方程的定义形如（6-29）的二阶微分方程，称为二阶线性微分方程，其中，及都是的已知函数，称为自由项．当为常数时，微分方程（6-29）变为（6-30）称为二阶常系数线性微分方程．当时，微分方程（6-30）变为称为二阶常系数齐次线性微分方程；当时，微分方程（6-30）称为二阶常系数非齐次线性微分方程．❖【学生】聆听、理解、记录，知识点二阶常系数齐次线性微分方程的解法❖【教师】介绍二阶常系数齐次线性微分方程的解法定理1若是二阶常系数齐次线性微分方程（6-31）的两个线性无关的特解，即常数，则该方程的通解为（为常数）．❖【学生】聆听、理解、记录❖【教师】讲解过程提炼步骤求二阶常系数齐次线性微分方程（6-31）通解的步骤如下．（1）写出微分方程（6-31）的特征方程．

（2）求出特征根．

（3）根据特征根的不同情况，按表6-1写出通解．表6-1特征方程的根微分方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根（...具体推导过程见教材）❖【学生】聆听、理解、演算❖【教师】讲解例题例4求微分方程的通解．例5求微分方程满足初值条件的一个特解．例6求微分方程的通解．❖【学生】聆听、理解、演算知识点二阶常系数非齐次线性微分方程的解法❖【教师】介绍二阶常系数非齐次线性微分方程的解法定理2若是二阶常系数非齐次线性微分方程（6-30）的一个特解，是与微分方程（6-30）对应的二阶常系数齐次线性微分方程（6-31）的通解，则就是微分方程（6-30）的通解．由定理2可知，若求微分方程（6-30）的通解，只需求出其一个特解，再求出微分方程（6-31）的通解即可．微分方程（6-31）通解的求法在前面介绍过，下面讨论微分方程（6-30）特解的求法．微分方程（6-30）特解的形式与自由项有关，在一般情况下，很难求出．这里主要介绍当取，两种常见形式时，求特解的方法，这种方法的特点是不用积分就可以求出．1）型❖【教师】讲解型的解如果微分方程的右端，其中是常数，是一个已知的的次多项式，则．（6-33）因为微分方程（6-33）的右端是多项式与指数函数的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数的乘积，因此我们推测微分方程（6-33）的特解也是多项式与指数函数的乘积．可以证明，微分方程（6-33）有形如的特解，其中是与同次的多项式，k按以下三种情况取值：❖【学生】聆听、理解、记录❖【教师】讲解例题例7求微分方程的一个特解．例8求微分方程的通解．❖【学生】聆听、理解、演算2）型❖【教师】讲解型的解如果微分方程的右端，其中为实数，且，，分别为，次多项式，则．（6-34）可以证明，微分方程（6-34）具有形如的特解，其中和是次多项式，，按以下两种情况取值：❖【学生】聆听、理解、记录❖【教师】讲解例题例9求微分方程的一个特解．【学生】聆听、思考、演算、对比演算步骤和结果通过教师讲解和例题分析等方式，使学生了解二阶线性微分方程的定义和类型，并掌握二阶线性微分方程的求解及应用强化练习（10min）【教师】通过APP发送强化练习作业题，并点名部分学生进行板演求二阶微分方程的解（1）． （2）．对比自己的计算结果，提升解题技巧通过强化练习，使学生巩固所学知识，并以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了二阶线性微分方程的概念、类型和解法。希望大家在课下多加练习，巩固课上所学知识，熟练掌握二阶线性微分方程的解法及应用。【学生】总结回顾知识点总结知识点，巩固学生二阶微分方程相关知识的印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业完成教材中小节作业6.3中与本课相关的习题本课作业布置二维码老师扫描此码，即可进行线上作业布置【学生】完成课后作业通