新课标三角函数题型总结及高考习题汇编 Microsoft Word 文档

三角函数解题策略三角函数的化简、计算、证明的恒等变形基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如，，等。1）已知，，那么的值是_____。（；）(2)三角函数名互化(切化弦)，1）已知，求的值（答：）(3)三角函数次数的降升2）函数的单调递增区间为___________（答：）（4）、辅助角公式（收缩代换）的应用：(其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。（1）若方程有实数解，则的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；二、三角函周期的求法定义：一般地ｙ＝c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。1．公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tg（）形成（其中A、、为常数，且A0、＞0、R），则可知道它们的周期分别是：、、。（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinx、cosx、tgx的形式，再确定它的周期。例3：求f（x）=sinx·cosx的周期解：∵f（x）=sinx·cosx=sin2x这里=3，∴f（x）=sinx·cosx的周期为T=3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期（转化法）例4求函数的周期解：∴．4、遇到绝对值时，可利用公式,化去绝对值符号再求周期例6求函数的周期 解：∵∴．三、三角函数最值问题的几种常见类型1.利用三角函数的有界性求最值利用正弦函数、余弦正数的有界性：∣sinx∣≤1,∣cosx∣≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A≠0,φ≠0)的函数最值.例:已知函数y=EQ\F(1,2)cos2x+EQ\F(\r(,3),2)sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时，求自变量x的集合.解散y=EQ\F(1,4)(2cos2x-1)+EQ\F(1,4)+EQ\F(\r(,3),4)(2sinxcosx)+1=EQ\F(1,4)cos2x+EQ\F(\r(,3),4)sin2x+EQ\F(5,4)=EQ\F(1,2)sin(2x+)+EQ\F(5,4) y得最大值必须且只需2x+=+2kπ，k∈Z.即x=+kπ,k∈Z.所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 {x|x=+kπ,k∈Z.}2.反函数法例:求函数的值域[分析]此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，先用反解法，再用三角函数的有界性去解。解法一：原函数变形为，可直接得到：或解法一：原函数变形为或3.配方法—---转化为二次函数求最值例：求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解∵f(x)=(cos2x-)2-,∴当cos2x=1,即x=kπ,(k∈Z)时，y=min=-1,当cos2x=-1,即x=kπ+,(k∈Z)时，y=max=5.这里将函数f(x)看成关于cos2x的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了.4.引入辅助角法y=asinx+bcosx型处理方法：引入辅助角，化为y=sin（x+）,利用函数即可求解。Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化为此类。例：已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。[分析]此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。解：5.利用数形结合例：求函数的最值。解：原函数可变形为这可看作点的直线的斜率，而A是单位圆上的动点。由下图可知，过作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，6.利用函数在区间内的单调性例：已知，求函数的最小值。[分析]此题为型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。设，在（0，1）上为减函数，当t=1时，。常见题型总结：1．y=asinx+bcosx型的函数『特点』含有正余弦函数，并且是一次式『方法』解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+)，其中tg=.（2005年广东高考第15题）值域2．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数。『特点』含有sinx,cosx的二次式『方法』处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。2005辽宁高考18题何值时面积最大？3．y=asin2x+bcosx+c型的函数『特点』含有sinx,cosx，并且其中一个是二次『方法』应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。（2005年浙江高考第8题）已知k<-4,则函数y=cos2x+k（cosx-1）的最小值是（）A.1B.–1C.2k+1D.–2k+14．y=型的函数『特点』一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后整理成这个形式『方法』多样，可以自己任意选择例4．求函数y=的最大值和最小值。解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y,即sin(x+)=，∵|sin(x+)|≤1,∴≤1，解出y的范围即可。解法2：表示的是过点(2,2)与点(cosx,sinx)的斜率，而点(cosx,sinx)是单位圆上的点，观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值。5．含有sinx与cosx的和与积型的函数式。『特点』含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子『方法』处理方式是应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx进行转化，变成二次函数的问题。例6．求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。解：令sinx+cosx=t,(-≤t≤)，则1+2sinxcosx=t2所以2sinxcosx=t2-1,所以y=t2-1+t=(t+)2-.根据二次函数的图象，解出y的最大值是1+。三角函数的图象变换函数的图象变换涉及三种基本变换：相位变换：把的图象上所有点向左（当>0时）或向右（当<0时）平移||个单位，得到的图像。周期变换：把的图象上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像。3．振幅变换：把的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变），得到的图像。例1：把函数的图像适当变动就可以得到y=sin(－3x)的图像，这种变动可以是（）A.向右平移B.向左平移C.向右平移D.向左平移选D.例2：要得到的图象，只需将函数的图象（）个单位长度（A）向左平移（B）向右平移（C）向左平移（D）向右平移选（D）。例3：要得到的图像，只需将的图像（）个单位长度（A）向左平移（B）向右平移（C）向左平移（D）向右平移选（C）。五、三角函数y=Asin（ωx+φ）中的对称１．函数的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称的），对称中心是，，对称轴为．特殊地，原点是其一个对称中心．的对称中心是，，对称轴为，．特殊地，轴是其一条对称轴．2．函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为．3．正弦函数y=sinx的对称轴是x=k+（k∈Z），它的对称轴总是经过它图象的最高点或者最低点。由于三角函数y=是由正弦函数y=sinx复合而成的，所以令=k+，就能得到y=的对称轴方程x=（k∈Z）。通过类比可以得到三角函数y=的对称轴方程x=（k∈Z）。１．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１函数的对称轴方程是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．解：令，得．故选（Ａ）．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．例３函数的图象关于原点中心对称，则（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解：∵函数图象关于原点中心对称，且，∴函数图象过原点，即．，即．故选（Ｂ）．解三角形1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面积公式：（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；（3）△＝＝＝；（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）（5）△＝；（6）△＝；；（7）△＝r·s。4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C=π；（2）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b；（3）边与角关系：正弦定理（R为外接圆半径）；余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA；它们的变形形式有：a=2RsinA，，。5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r为三角形内切圆半径，p为周长之半。（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。【典例解析】题型1：正、余弦定理（2009岳阳一中第四次月考）.已知△中，，，，，，则 （）A.．B．C．D．或答案C例2．（1）在ABC中，已知，，，求b及A；解析：（1）∵=cos==∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos ∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜，即＜＜∴题型2：三角形面积例3．在中，，，，求的值和的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。又,,。解法二：由计算它的对偶关系式的值。=1\*GB3①,=2\*GB3②=1\*GB3①+=2\*GB3②得。=1\*GB3①－=2\*GB3②得。从而。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？例4．（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于，的取值范围为答案

2解析设由正弦定理得由锐角得，又，故，例5．（2009浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，．（I）求的面积；（II）若，求的值．解（1）因为，，又由得，（2）对于，又，或，由余弦定理得，例6．（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且求b分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.解法二:由余弦定理得:.又,.所以 ①又，，即由正弦定理得，故 ②由①，②解得.题型4：三角形中求值问题例7．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。解析：由A+B+C=π，得eq\f(B+C,2)=eq\f(π,2)－eq\f(A,2)，所以有coseq\f(B+C,2)=sineq\f(A,2)。cosA+2coseq\f(B+C,2)=cosA+2sineq\f(A,2)=1－2sin2eq\f(A,2)+2sineq\f(A,2)=－2(sineq\f(A,2)－eq\f(1,2))2+eq\f(3,2)；当sineq\f(A,2)=eq\f(1,2)，即A=eq\f(π,3)时,cosA+2coseq\f(B+C,2)取得最大值为eq\f(3,2)。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。例8．（2009浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，．（I）求的面积；（II）若，求的值．解（Ⅰ）又，，而，所以，所以的面积为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以所以题型5：三角形中的三角恒等变换问题例9．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，∴=sin60°=。解法二：在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB。∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。∴=sinA=。例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。解析：因为A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，从而＝60°，故tan.由两角和的正切公式，得。所以。题型6：正、余弦定理判断三角形形状例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B例12．（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。解（I）∵为锐角，∴∵∴（II）由（I）知，∴由得，即又∵∴∴北2010A北2010AB••C题型7：正余弦定理的实际应用例13．（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）解:在△ABC中，∠DAC=30°,∠ADC=60°－∠DAC=30,所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，在△ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为0.33km。14.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。解（I）∵为锐角，∴∵∴（II）由（I）知，∴由得，即又∵∴∴∴【思维总结】1．解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C。2．三角形内切圆的半径：，特别地，；3．三角学中的射影定理：在△ABC中，，…4．两内角与其正弦值：在△ABC中，，…5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。历年高考综合题一、选择题1.（08全国一6）是（）A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数2.（08全国一9）为得到函数的图象，只需将函数的图像（）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位3.(08全国二1)若且是，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角4.（08全国二10）．函数的最大值为（）A．1B．C．D．25.（08安徽卷8）函数图像的对称轴方程可能是（）A． B． C． D．6.（08福建卷7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为()A.-sinxB.sinxC.-cosxD.cosx7.（08广东卷5）已知函数，则是（）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的偶函数8.（08海南卷11）函数的最小值和最大值分别为（）A.－3，1 B.－2，2 C.－3， D.－2，9.（08湖北卷7）将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是（）A.B.C.D.10.（08江西卷6）函数是（）A．以为周期的偶函数B．以为周期的奇函数C．以为周期的偶函数D．以为周期的奇函数11.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（）A．1 B． C． D．212.（08山东卷10）已知，则的值是（）A． B． C． D．13.（08陕西卷1）等于（）A． B． C． D．14.（08四川卷4）()Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.15.（08天津卷6）把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A． B．C． D．16.（08天津卷9）设，，，则（）A． B． C． D．17.（08浙江卷2）函数的最小正周期是（）A.B.C.D.18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（）A.0B.1C.2二，填空题19.（08北京卷9）若角的终边经过点，则的值为．20.（08江苏卷1）的最小正周期为，其中，则=．21.（08辽宁卷16）设，则函数的最小值为．22.（08浙江卷12）若，则_________。23.（08上海卷6）