培优专题11五种特殊图形的旋转-原卷版

培优专题11五种特殊图形的旋转（部分内容有人教版九下内容，适情况而做）◎类型一：直角三角形1．（2022·全国·八年级专题练习）把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．(1)如图2，在旋转过程中，若OACD时，则α＝；若ABOC时，则α＝；(2)如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝；(3)如图3，连结AC，在旋转过程中，猜想∠DOB与∠CAB＋∠ACD的大小关系，并说明理由．2．（2022·江西萍乡·八年级期末）在某次数学兴趣小组延时服务课上，李老师要求学生探究如下问题：(1)如图①，在等边内有一点，，，．试求的度数．小亮同学一时没有思路，当他认真分析题目信息后，发现以，，的长为边的三角形是直角三角形，他突然有了正确的思路：如图②，将绕点逆时针旋转60°，得到，连接，可求出的度数，请你替小亮写出求解过程；(2)如图③，在正方形内有一点，，，．试求的度数；(3)在图③中，若正方形内有另一点，，，（，）．请你探究：当，，满足什么条件时，的度数与第（2）问中的度数相等，并说明理由．（友情提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）◎类型二：矩形3．（2022·湖南娄底·八年级期末）问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点，点．操作发现：以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．(1)如图，当点落在边上时，求点的坐标；(2)继续探究：如图，当点落在线段上时，与交于点，求证：；(3)拓展探究：如图，点是轴上任意一点，点是平面内任意一点，是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022·上海市张江集团八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG．

(1)当点E落在对角线AC上时，AF、EF分别交DC于点M、N．①求证：MA＝MC；②求MN的长；(2)在旋转过程中，若直线AE经过线段BG的中点P，请直接写出线段PE的长度．◎类型三：等腰三角形5．（2021·吉林·四平市铁西区教师进修九年级期末）已知是等腰三角形，，将绕点逆时针旋转得到，点、点的对应点分别是点、点．感知：（1）如图①，当落在边上时，与之间的数量关系是___________（不需要证明）；探究：（2）如图②，当不落在边上时，与是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由；应用：（3）如图③，若，、交于点，则__________度．6．（2021·浙江·义乌市稠州教育集团八年级期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由．◎类型四：正方形7．（2022·全国·九年级专题练习）【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到．延长AE交于点F，连接DE．(1)【猜想证明】试判断四边形的形状，并说明理由；(2)如图2，若DA＝DE，猜想线段CF与的数量关系并加以证明；(3)【解决问题】如图1，若AB＝13，CF＝7，请直接写出DE的长度．8．（2021·山西临汾·三模）综合与实践背景阅读：“旋转”即物体绕一个点或一个轴做圆周运动．在中国古典专著《百喻经·口诵乘船法而不解用喻》中记载：“船盘回旋转，不能前进．”而图形旋转即：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．综合实践课上，“睿智”小组专门探究了正方形的旋转，情况如下：在正方形中，点是线段上的一个动点，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）．设旋转角为（）．操作猜想：（1）如图1，若点是中点，在正方形绕点旋转过程中，连接，，，则线段与的数量关系是_______；线段与的数量关系是________．探究验证：（2）如图2，在（1）的条件下，在正方形绕点旋转过程中，顺次连接点，，，，．判断四边形的形状，并说明理由．拓展延伸：（3）如图3，若，在正方形绕点顺时针旋转的过程中，设直线交线段于点．连接，并过点作于点．请你补全图形，并直接写出的值．◎类型五：等边三角形9．（2022·江西九江·八年级期中）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，D，E在同一直线上时，连接．①的度数为___________；②线段，与之间的数量关系是___________．（2）拓展研究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上．若，，求的长度．（3）探究发现：图1中的和，在的旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线与相交于点，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．10．（2022·辽宁·沈阳市第四十三八年级期中）（1）发现：如图1，点是线段上的一点，分别以，为边向外作等边三角形和等边