第九章常微分方程数值解

Ch9常微分方程数值解

在自然界与工程界中,很多问题的数学表述都可以归结为解常微分方程和偏微分方程问题.但是,只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程求其解析解是很困难的。因此研究微分方程的数值解是很重要的。

本章讨论常微分方程的数值解法欧拉法,后退的欧拉法,梯形公式;显式的,隐式的方法,单步法多步法,局部截断误差;常用的四阶R-K方法另外,还有收敛性分析,稳定性分析,刚性方程,高性能算法等.对于一个常微分方程：通常会有无穷个解。例如：因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出，如下面的初值问题：为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y满足Lipschitz条件：如何求解解析解法：（常微分方程理论）只能求解极少一类常微分方程；实际中给定的问题不一定是解析表达式，而是函数表，无法用解析解法。计算解函数y(x)在一系列节点a=x0<x1<…<xn=b

处的近似值节点间距为步长，通常采用等距节点，即取hi=h

(常数)。数值解法:求解所有的常微分方程步进式：根据已知的或已求出的节点上的函数值计算当前节点上的函数值，一步一步向前推进。因此只需建立由已知的或已求出的节点上的函数值求当前节点函数值的递推公式即可。例：我们对区间做等距分割：设解函数在节点的近似为由数值微分公式，我们有，则：向前差商公式可以看到，给出初值，就可以用上式求出所有的这种方法，称为数值离散方法。在一系列离散点列上，求未知函数y在这些点上的值的近似。为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论：①步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题得真解；即收敛性问题②误差估计③产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会无限制扩大；即稳定性问题单步法：在计算yi+1

时只利用yi多步法：在计算yi+1

时不仅利用yi,还要利用yi−1,yi−2,…,k步法：在计算yi+1

时要用到yi,yi−1,…,yi−k+1显式计算公式可写成:yk+1=yk+hΦf(xk，yk;h）隐式格式:yk+1=yk+hΦf（xk，yk,yk+1;h）它每步求解yk+1需要解一个隐式方程1.Euler公式做等距分割，利用数值微分代替导数项，向前差商公式于是得到Euler公式称为局部截断误差。显然，这个误差在逐步计算过程中会传播，积累。因此还要估计这种积累定义在假设yi=y(xi)，即第

i

步计算是精确的前提下，考虑的截断误差Ri=y(xi+1)

yi+1称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。定义若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p

阶精度。Euler公式一阶显式的2.后退的Euler公式是隐式的，要迭代求解后退的Euler公式一阶隐式的预测-校正系统:用显式算法预测,

再用隐式算法校正PQR两式相加平均得到梯形公式预测-校正系统:用显式算法预测,

再用隐式算法校正2阶隐式的改进的欧拉格式3.梯形公式2阶隐式的单步法几何解释xnxn+1ABPn+1=(A+B)/2尤拉法后退尤拉法梯形法

基于数值积分的构造法将在上积分，得到只要近似地算出右边的积分，则可通过近似y(xn+1)

。而选用不同近似式Ik，可得到不同的计算公式。Anotherpointofview所以，有格式为：局部截断误差梯形公式隐式的对微分方程做积分，则：例如公式局部截断误差精度显隐稳定性步数尤拉显式公式1阶显差单步尤拉隐式公式1阶隐好单步梯形公式2阶隐差单步中点法2阶显好二步summary4.Runge－Kutta法由Taylor展开记为所以，可以构造格式这种格式使用到了各阶偏导数，使用不便。从另一个角度看，取(x,y)及其附近的点做线性组合，表示F，问题就好办了。当然，要求此时的展开精度相同。这种方法称为Runge－Kutta法。在(x,y)处展开，比较以2阶为例，设有：改进的Euler公式常用的四阶Runge－Kutta方法四阶Runge－Kutta方法的每一步需要四次计算函数值f,可以证明其截断误差为O(h5)§2Runge-KuttaMethod注：

龙格-库塔法的主要运算在于计算Ki

的值，即计算f

的值。Butcher于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：753可达到的最高精度642每步须算Ki的个数

由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h

取小。方程组和高阶方程的数值解法写成向量的形式：各种方法都可以直接运用过来。Euler公式以两个方程的方程组为例Runge-Kutta公式1、2、确定方法，然后求解（0.202760.0881157）（0.2130070.0934037）（0.2237630.0988499）（0.2350520.104437）（0.2469020.110146）4阶Runge-Kutta法，h=1例高阶方程则有：令例：考察初值问题在区间[0,0.5]上的解。分别用欧拉法、后退的欧拉法和改进的欧拉法计算数值解。0.00.10.20.30.40.5精确解改进的欧拉法

后退的欧拉法欧拉显式

节点xi

1.0000

2.00004.0000

8.00001.6000101

3.2000101

1.00002.5000101

6.25001021.56251023.90631039.