函数的零点与方程的解课件 2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解第四章指数函数与对数函数学习目标1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2．会求函数的零点．(重点)3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(难点)NO.11温故知新、巩固基础P50

一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.特殊一般函数零点的概念NO.22初步探索、直观感知初步探索直观感知1.求下列方程的根．

①x-2=0②x2-2x-3=0③log2x=02.依次画出对应的函数的图象

①y=x-2②y=x2-2x-3③y=log2x1-1-2-1210方程的根就是对应函数图象与x轴交点的横坐标xyO-13问题1：方程的根与相应函数图象有什么联系?321-1-1210等价关系方程f(x)=0有实数解

函数y=f(x)的有零点

函数y=f(x)的图象与x轴有公共点．练习1：求下列函数的零点NO.33合作互动、探究新知探究：如图所示，有位同学想过河，渡过河流的路线有

哪些？请动手画一画。BxA若将河流抽象成x轴，前后的两个位置视为A、B两点，请大家用连续不断的曲线画出她的可能路径.BxyOba端点函数值异号即f(a)·f(b)＜0

若所画曲线能表示为函数，设A点横坐标为a,B点横坐标为b。A思考：这些函数图象与

x轴有什么关系？思考：怎样用数学符号表示零点存在的条件？思考：如图所示，这些函数图象有零点吗？0yx0yx思考：如果f(a)·f(b)＜0，但图象是不连续的,函数f(x)一定有零点?端点函数值异号f(a)·f(b)＜0+函数图象是连续函数有零点注:只有上述两个条件同时满足,才能判断函数在指定区间内存在零点.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解．

练习1：求零点所在的区间（1）若函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)f(b)<0，则y=f(x)在区间(a,b)内一定

有零点.

（

）（2）若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)<0,

则y=f(x)在区间(a,b)内有唯一零点.

（

）练习2：判断下列命题是否成立××函数图象连续不可少函数零点存在定理只能用来判断函数是否存在零点，但不能判定函数零点的个数.NO.44拓展延伸、思维提升单调函数0yx问题3：什么情况下有唯一一个零点？探究：已知函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象如下图，则函数y=f(x)在区间

[a,b]内有几个零点?五个1-1-2-1210321-1-1210问题3：什么情况下有唯一一个零点？探究：已知函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象如下图，则函数y=f(x)在区间

[a,b]内有几个零点?函数图象连续f(a)·f(b)＜0函数在区间内单调函数有唯一零点++

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)＜0,且是单调函数,那么这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点.函数零点存在定理的推论x0－2－4－6105y241086121487643219由上表和右图可知，定义域内是连续的f(2)<0,f(3)>0，即f(2)f(3)<0，由函数零点存在定理可知，这个函数在区间(2,3)内至少有一个零点.解：用计算工具作出x、f(x)的对应值表和图象.........容易证明，函数f(x)=lnx+2x-6，x∈(0，+∞)是增函数，所以它只有一个零点.函数f(x)=lnx+2x-6是否有零点?如何判断？若零点存在，有几个零点？解法1y=-－-2x+6y=lnx60x1234y由图可知,这两个函数的图象只有一个交点,即方程只有一根.即求方程lnx=-2x+6的解的个数，即判断函数y=lnx与函数y=-2x+6图像的交点个数.解：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点即求方程lnx+2x－6=0的解.所以函数f(x)=lnx+2x-6只有一个零点.函数y=f(x)-g(x)的零点

方程f(x)-g(x)=0的实数解;

方程f(x)=g(x)的实数解;

函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象公共点的横坐标.解法2函数f(x)=lnx+2x-6是否有零点?如何判断？若零点存在，有几个零点？【变式提升】求函数f(x)=2-x-x零点的个数．

y=x

1Ox1234y在同一坐标系中画出这两个函数的图象，由图可知，这两个函数的图象只有一个交点，即方程2-x=x只有一解，即函数零点只有1个.解：求函数f(x)=2-x-x零点的个数，即求方程的根的个数，即判断函数y=x与

的图象交点个数.

2.零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解．课堂小结1.函数零点的定义：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数解

函数y=f(x)的有零点

函数y=f(x)的图象与x轴有公共点．一、复习回顾CBC二、新知探究

零点所在的范围变小了．如果继续重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小,这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值连续不断

f(a)f(b)<0

一分为二

逐步逼近零点

二分法的理论依据是什么？xy0ab

能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0．二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，二分法是否适合求所有函数的零点？

零点存在性定理例1已知函数f(x)的图象，其中零点有

个，分别是

，其中能用二分法求函数零点的是

。判断一个函