2022年中考数学总复习考点知识梳理3.4第3课时二次函数的实际应用

第3课时二次函数的实际应用◎通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义.◎能利用二次函数解决简单实际问题.二次函数的实际应用多与生活情境相联系,考查增长率问题、抛物线型问题、利润最值问题或图形面积问题,常以代数压轴题的形式出现,有一定的难度.命题点1增长率问题[仅2014年考查]1.(2014·安徽第12题)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=a(1+x)2.

【解析】依据题意,得二月份的研发资金为a(1+x)元,三月份的研发资金为a(1+x)·(1+x)=a(1+x)2元,则y=a(1+x)2.命题点2抛物线型问题[10年1考]2.(2012·安徽第23题)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x－6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式.(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.解:(1)把x=0,y=2及h=2.6代入y=a(x－6)2+h,即2=a(0－6)2+2.6,解得a=－160∴y=－160(x－6)2+2.6(2)当h=2.6时,y=－160(x－6)2+2.当x=9时,y=－160×(9－6)2+2.6=2.45>2.∴球能越过网.当x=18时,y=－160×(18－6)2+2.6=0.∴球会出界.(3)把x=0,y=2代入y=a(x－6)2+h得,a=2-h球能过网,则y=2-h36×(9-6)2球不出边界,则y=2-h36×(18－6)2+h=8－3h≤0,由①②得h≥83命题点2利润最值问题[10年3考]3.(2018·安徽第22题)小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现:①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元.②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元).(1)用含x的代数式分别表示W1,W2.(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?解:(1)W1=(50+x)(160－2x)=－2x2+60x+8000,W2=(50－x)×19=－19x+950.(2)W=W1+W2=－2x2+41x+8950=－2x-由于x取整数,根据二次函数性质得当x=10时,总利润W最大,最大总利润是9160元.4.(2013·安徽第22题)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营,了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示.销售量p/件p=50－x销售单价q/元当1≤x≤20时,q=30+12x当21≤x≤40时,q=20+525(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元?(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式.(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大?最大利润是多少?解:(1)当1≤x≤20时,令30+12x=35,得x当21≤x≤40时,令20+525x=35,得x即第10天和第35天该商品的销售单价为35元.(2)当1≤x≤20时,y=30+12x-20(50-当21≤x≤40时,y=20+525x∴y=-(3)当1≤x≤20时,y=－12x2+15x+500=-12(∵－12<0,∴当x=15时,y有最大值y1,且y1=612.当21≤x≤40时,∵26250>0,∴26250x随着x的增大而减小∴当x=21时,y有最大值y2,且y2=725.∵y1<y2,∴这40天中该网店第21天获得的利润最大,最大利润为725元.5.(2015·安徽第22题)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域面积相等.设BC的长度是x米,矩形区域ABCD的面积为y米2.(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?解:(1)设AE=a.由题意,得AE·AD=2BE·BC,AD=BC,∴BE=12a由题意,得2x+3a+2·12a∴y=AB·BC=32a即y=－34x2+30x(0<x<40)(2)∵y=－34x2+30x=-34∴当x=20时,y取最大值,且最大值是300米2.典例某超市经销A,B两种商品.商品A的成本为20元/千克,经试销发现,该种商品每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)满足一次函数关系,其每天的销售单价、销售量的对应值如表所示:销售单价x/元25303540销售量y/千克50403020商品B的成本为6元/千克,销售单价为10元,但每天商品A的供货总量不多于60千克,商品B的供货总量为60千克,且都能当天销售完.为了让利消费者,超市开展了“买一送一”活动,即买1千克的商品A,免费送1千克的商品B.设每天销售这两种商品的总利润为w元.(1)求y关于x的函数表达式.(2)求w关于x的函数表达式.(3)当销售单价在什么范围内时,每天的销售总利润w不低于198元.(4)若商品A的售价不低于成本,且不高于成本的180%,当销售单价定为多少时,才能使当天的销售总利润最大?最大利润是多少?(5)“十一”期间,商品B的进价降低了m元/千克(m>0).超市为回馈消费者,规定商品A的售价x不得超过35元/千克,且在今后的销售中,日销售量y与销售单价x仍满足(1)中的函数关系.若每天销售这两种商品的总利润的最大值是450元,求m的值.【答案】(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0).将点(30,40),(40,20)代入,得30∴y关于x的函数表达式为y=－2x+100.(2)由0≤y≤60,得20≤x≤50.w=(x－20)(－2x+100)－6×(－2x+100)+(10－6)[60－(－2x+100)]=－2x2+160x－2760(20≤x≤50).(3)当w=198时,－2x2+160x－2760=198,解得x1=29,x2=51.∵a=－2<0,∴当29≤x≤51时,w≥198.又∵20≤x≤50,∴当29≤x≤50时,每天的销售总利润w不低于198元.(4)20×180%=36,故20≤x≤36.由题意知w=－2x2+160x－2760=－2(x－40)2+440.∵－2<0,∴当x<40时,w随x的增大而增大,∴当x=36时,w取得最大值,为408.答:当销售单价定为36元时,才能使当天的销售总利润最大,最大利润是408元.(5)总利润w'=(x－20)(－2x+100)－(6－m)(－2x+100)+[10－(6－m)][60－(－2x+100)]=－2x2+160x+60m－2760=－2(x－40)2+60m+440,又∵20≤x≤35,∴当x=35时,w'取得最大值,此时－2×(35－40)2+60m+440=450,解得m=1,∴m的值为1.

解决销售利润问题的注意事项:运用公式法或配方法,求出二次函数的最大值或最小值.若二次函数的取值范围是全体实数,那么二次函数在顶点处取最值;若自变量的取值范围是x1≤x≤x2,此时往往有最大值,又有最小值,解题方法是:画出函数的草图,数形结合,对最大值或最小值作出判断.提分今年“五一”期间采石矶景区将启用新的大门,景区决定利用现有不同种类的花卉设计出两种不同的造型A和B摆放于大门广场.已知每个A种造型的成本y1与造型个数x1(0<x1<60)满足关系式y1=82－15x1,每个B种造型的成本y2与造型个数x(0<x<60)的关系如表所示:x/个…10203050…y2/元…93867965…(1)请求出y2与x的函数关系式.(2)现在广场需搭配A,B两种园艺造型共60个,要求每种园艺造型不得少于20个,并且成本总额W(元)不超过5000元.以上要求能否同时满足?请你通过计算说明理由.解:(1)由表格可知y2与x满足一次函数关系,故可设y2与x的函数关系式为y2=kx+b,则有10所