2022年中考数学总复习热点专题突破专题三利用图形变换添加辅助线

专题三利用图形变换添加辅助线解答平面几何题有难度,多半是添加辅助线带来的.我们平时添加的辅助线大多是作平行线、垂线、连接、延长之类,其实这是表象,而本质是利用图形变换转换解题思路.初中阶段常见的图形变换有:图形的平移,图形的对称(轴对称和中心对称),图形的旋转,图形的相似(包括全等、位似)等.我们在解决平面几何问题时,如果已知条件不好直接使用,或结论难以直接得出,可以通过这些图形变换进行“图”移“形”动,使得条件发生转化,从而找到添加辅助线的思路并解答,但直接呈现在我们面前的并不是图形变换,而是作平行线、垂线、连接、延长等.安徽中考数学几乎每年都会多次遇到这类试题,如2017年第18题、第23题,2018年第23题,2019年第13题、第19题、第20题、第23题,2020年第23题,2021年第10题、第23题等.目录类型1利用平移“添辅”类型2利用轴对称“添辅”类型3利用中心对称“添辅”类型4利用旋转变换“添辅”类型5利用相似(全等)“添辅”典例精析类型1利用平移“添辅”典例1如图,在四边形ABCD中,对角线AC=BD,AC与BD的锐夹角为60°.求证:AD+BC>AC.【解析】题中的“对角线AC=BD,AC与BD的锐夹角为60°”等已知条件难以直接运用,可通过平移线段AD和AC,把这些已知条件集中到△BDE中去,再解答.【答案】过点C作AD的平行线,过点D作AC的平行线,二者交于点E,连接BE.易得四边形ACED为平行四边形,∴DE=AC=BD,∠BDE=∠BOC=60°,即△BDE为等边三角形,∴BD=DE=BE.在△BCE中,CE+BC>BE,即AD+BC>AC.类型2利用轴对称“添辅”典例2如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,∠A=30°,将△BCE沿BE所在的直线对折,点C落在边AB上的点D处.若M是BC的中点,P是折痕BE上一个动点,则PM+PC的最小值为()A.2 B.4 C.3+2 D.23【解析】连接CD.在Rt△ABC中,BC=4,∠A=30°,∴∠CBA=60°.由折叠得BC=BD=4,∴△BCD是等边三角形,∴CD=BC=4.∵D为点C关于BE的对称点,连接DM,交BE于点P,∴此时PM+PC最小,PM+PC=PM+PD=DM.在Rt△BDM中,DM=BD·sin∠CBA=4×32【答案】D像这种利用轴对称性质求两条线段之和的最小值问题是一个固定的模型,有人形象地称之为“将军饮马”问题(详见《专题六几何图形动点的最值问题》),注意体会并运用这个模型.同时,这样添加辅助线,也是巧妙地解决了结论“求点P到M,C两点距离之和PM+PC的最小值”的问题.类型3利用中心对称“添辅”典例3(2014·安徽第14题)如图,在▱ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF,CF,则下列结论中一定成立的是.(把所有正确结论的序号都填在横线上)

①∠DCF=12∠BCD;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF【解析】充分利用“F是AD的中点”这个条件,作△AEF关于F点的中心对称图形△DGF,再过点F作AB的平行线,这样即可利用中心对称(或全等三角形)的性质以及三角形中位线定理解答.延长CD交EF的延长线于点G,过点F作FH∥AB交BC于点H,交CE于点O.∵AE∥DG,∴易得△AEF≌△DGF.∵AD=2AB,F是AD的中点,∴H是BC的中点,∴DF=CH=CD.∵DF∥CH,∴四边形CDFH是菱形,∴CF平分∠BCD,∴①∠DCF=12∠BCD成立;∵AB∥CG,∴∠ECG=90°,在Rt△ECG中,CF是EG的中线,∴CF=EF=FG,∴②EF=CF成立;∵S△CEF=S△CGF=S△CDF+S△DFG=S△CDF+S△AEF,∴2S△CEF=S△CDF+S△AEF+S△CEF=S梯形AECD,显然S△BEC<S梯形AECD,∴③S△BEC=2S△CEF不成立;∵FH∥AB,∴∠AEF=∠EFH,∵FO垂直平分EC,∴∠EFH=∠CFH,∵四边形CDFH是菱形,∴∠DFC=∠CFH,∴④∠DFE=3∠AEF成立【答案】①②④在遇到线段中点问题时,可以联想到三角形中位线、三角形中线、直角三角形斜边的中线等知识,但以线段中点为对称中心作中心对称图形也是一条很好的思路.当然这类问题也可理解为是利用线段中点“构造”全等三角形.类型4利用旋转变换“添辅”典例4如图,O是四边形ABCD内一点,E是CD边的中点,分别连接OA,OB,OC,OD,OE,已知OA=OD,OB=OC,∠AOB+∠COD=180°.求证:OE=12AB.【解析】题中的条件“∠AOB+∠COD=180°”很难直接使用,同时其他已知条件也都“分散”在多个三角形中,也难直接使用.此时通过旋转△AOB,使得已知条件大都“集中”在△CDF中,从而利用三角形中位线定理解题.【答案】如图,将△AOB绕点O旋转,使得OB与OC重合,易得△OCF≌△OBA,∴OF=OA=OD,CF=AB,∠AOB=∠COF.∵∠AOB+∠COD=180°,∴∠COF+∠COD=180°,∴点D,O,F在同一条直线上.∵E是CD边的中点,O是DF的中点,∴OE=12CF利用旋转变换解题虽不常用,但有奇效.这种方法就是使得难以找到常规解题思路的问题转化成我们熟悉的常规问题,这其实还是转化思想的应用.类型5利用相似(全等)“添辅”典例5如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为AC的中点,连接BD,过点A作AE⊥BD于点E,交BC于点F,求证:CFFB=【解析】利用D为AC的中点这个条件可以“构造”△ADE≌△CDG和△CHF∽△BEF,给解题带来思路.【答案】过点C分别作CG⊥BD于点G,作CH⊥AF于点H.易得四边形CGEH是矩形,△ADE≌△CDG,△CHF∽△BEF,△ABE≌△CAH,AE=CH=CG,∴四边形CGEH是正方形,∴CH=EH=12AH∵AH=BE,∴CHBE∵CHBE本题的解答,表象上的辅助线是作垂线(或平行线),其实是在“构造”三角形相似和三角形全等.针对训练1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD(AB>CD),E,F分别是AB,CD的中点.若∠A+∠B=90°,则下列结论成立的是(D)A.AB+CD=3EF B.AB+CD=4EFC.AB－CD=EF D.AB－CD=2EF【解析】过点F分别作FG∥AD,交AB于点G,作FH∥BC,交AB于点H.易得AB－CD=GH=2EF.2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=5,AE=4,∠BAD=∠BCD=90°,AE⊥BC于点E,则BE的长为(C)A.12 B.34 C.1 D【解析】将图中的△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADE',易得△ABE≌△ADE',∴∠E'=∠AEB=90°,∠ADE'=∠B,∠E'AD=∠BAE.∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠B+∠ADC=180°,∴∠ADE'+∠ADC=180°,即C,D,E'三点在同一条直线上.∵∠AEC=∠C=∠E'=90°,AE'=AE,∴四边形AECE'为正方形,∴AE=EC=4,∴BE=1.3.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,在BA的延长线上取一点E,使得ED=EC,ED与AC交于点F,则AFCF的值为(BA.12 B.13 C.14【解析】过点E作EG∥BC,交CA的延长线于点G.∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD,即∠B+∠BED=∠ACB+∠ACE.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠BED=∠ACE.∵EG∥BC,∴∠G=∠ACB=∠B.在△BED和△GCE中,∠BED=∠ACE,∠G=∠B,EC=ED,∴△BED≌△GCE,∴EG=BD=CD.∵EG∥BC,易得△GEF≌△CDF,∴FG=FC,△GEA∽△CBA,∴GAAC4.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是(D)A.AB B.DE C.BD D.AF【解析】过点E作关于BD的对称点E',连接AE',交BD于点P.∴PA+PE的最小值为AE'.∵E为AD的中点,∴E'为CD的中点.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠ABF=∠ADE'=90°,∴DE'=BF,∴△ABF≌△ADE',∴AE'=AF=AP+EP.5.如图,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,D是△ABC所在平面上一点,且满足DB=3,DA=5,则CD的最小值为(A)A.52－3 B.5－32C.2 D.1【解析】将△ADC绕点A顺时针旋转90°,得到△AEB,连接DE,则CD=BE,△ADE是等腰直角三角形,ED=2DA=526.如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,D为BC的中点,则AD的取值范围是1<AD<4.

【解析】过点B作BA'∥AC交AD的延长线于点A',易得△ACD≌△A'BD,∴AD=A'D,∴AA'=2AD.∵2<AA'<8,∴1<AD<4.7.如图,AB为☉O的直径,M为OA的中点,CM⊥AB交☉O于点C,D,CM=23,则图中阴影部分的面积为

8π3【解析】连接OC,OD.∵M为OA的中点,CD⊥AB,∴AC=OC.∵OA=OC,∴△AOC为等边三角形,∴∠CAO=60°.由题意知△ACM≌△ODM,∴∠AOD=∠CAO=60°,S△ACM=S△ODM.∵CM=23,8.如图,在Rt△ABC中,D为斜边AB上一点,AD=2,BD=1,四边形DECF是正方形,设△ADE和△BDF的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为1.

【解析】将△BDF绕点D逆时针旋转90°得△DEB',易得△DEB'≌△DFB,S1+S2=S△ADB'.∵DB'=BD=1,S△ADB'=12AD·DB'=1,∴S1+S2=19.如图,在▱ABCD中,E为CD的中点,F,G分别是AE,BE的中点.求证:FD+CG=12(AE+BE)证明:如图,平移线段AD至CM,连接EM.易得A,E,M三点在同一条直线上.易得△ADE≌△MCE,∴AE=ME,CM=AD.∵AD=BC,∴BC=CM.∵BG=GE,∴CG=12ME,∴CG=10.如图,在△ABC中,AB=AC,P是AC的中点,C是BD的中点,连接BP,PD,∠CPD=∠A.求证:PD=AB.证明:作△ABC关于点C的中心对称图形△EDC,即△CDE≌△CBA,∴∠E=∠A,DE=AB.∵∠CPD=∠A,∴∠E=∠CPD,∴PD=DE,即PD=AB.11.如图,小河的两岸AB∥CD,两岸有两个村庄P,Q,P到河岸AB的距离为2千米,Q到河岸CD的距离也为2千米,AB与CD的距离为4千米,两个村庄之间的距离PQ=10千米.