2020年考研数学模拟试题及答案解析一

2020年考研数学模拟试题及答案解析一

卷面总分：100分答题时间：90分钟试卷题量：25题

—、单选题（共22题，共88分）

1.

1-8卫*〉0

/⑴=CIX

"xwO

若函数在x=0处连续，则（）

A.ab=l/2

B.ab=-l/2

C.ab=0

D.ab=2

2.

设二阶可导函数/（X）满足/⑴=/（7）=lJ（°）=7且/⑴＞（），则（）

j1y（x）f/.v>o

A.

B.

J"'油<£/（'）△

3.

设数列D"；收敛，则（）

当limsin工=0时，liinx”=0

A."Th”―

当lim（xn+=0时，limX"=0

B.J-b1

当lim（工+x/）=0时，limx=0

C"for

当liin（-\,+sin工）=0时，］im-v,=0

D〃-►»“ta

4.

微分方程的特解可设为（）

A/+e218cos2*+Csin2、）

A.

Axe-cos2戈+0sin2-r）

B.

Ae2x+xe2'（Bcos2-<+Csin2、）

C.

Are"+e2x（Bcos2r+Csin2.t）

5.

2

设f(x,y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y)

都有“(=')>()."(、')>0，则

dxdy

A.f(0,0).>f(1,1)

B.

f(0,0)<f(1,1)

C.f(0,l)>f(l,0)

D.f(0,l)<f(l,0)

6.

甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，图中实线表

示甲的速度曲线v=vl(t)(单位：m/s),虚线表示乙的速度曲线v=v2(t),

三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为t0

(单位：s),则()

A.t0=10

B.

3

15<t0<20

C.tO=25

D.tO>25

7.

设A为三阶矩阵,P为可逆矩阵使得P-1AP=O12

’0、

设A为三阶矩阵，P=（a].a〉aJ为可逆矩阵，使得P‘AP=1，则4a1,%.%）=（）

7

A必+Ct2

B,处+2/

C处+%

D«i+2%

8.

'20O''210"'10o'

A=021.B—020.c=020

001001002

设矩阵d1j1，则（）

A.A与C相似，B与C相似

B.A与C相似，8与C不相似

C.A与C不相似，B与C相似

4

D.A与C不相似，B与C不相似

9.

/：(0.0)=3/'(0,0)=1

设f（x,y）在点（0,0）附近有定义，且，则

A."一。.。）=3八+心.

曲面z=/(*,y)在(0,(),/((),()))处"去向法为{3.I1}.

B.

[z=f(x,V)「

曲线I在(O.O./(O.O))处砒晌量为{LO.3}.

Iy=()

fz=/（.V.V）"

曲线在（（）.（）,./（（）•（）））处砒晌量为13.0.1}.

y=o

10.

设f（0）=0，则f（x）在x=0处可导充要条件为（）

-cosh)存在.

jolr

lini-J-/)存在.

B.h-^h

lin】k/(力一sinh)存在.

C.1一“lr

（如存在.

11.

5

设A,8=,则人与8=（）

I1IH「400O-

111,0000，…„

设八=,B=，则A与Z?

1I10000

1IIj0000

A.合同且相似.

B.合同但不相似.

C.不合同但相似.

D.不合同且不相似.

12.

将一枚硬币重复掷n次，以X和丫分别表示正面向上和反面向上（D次数，则

X和Y相关系数等于（）

A.-1

B.0

C.1/2

D.1

13.

当XTO时，与根号x等价的无穷小量是（）

6

B.

Icos^/x.

D.

14.

!'=2+ln(l+t>,)

曲线x,渐近线的条数为()

A.0

B.1

G2

D.3

15.

如图，连续函数y=f(x)在区间[-3,-2],[2,3]上的图形分别是直径为1

的上、下半圆周，在区间【-2,0],[0,2]的图形分别是直径为

贝U下列结论正确的是()

.'(3)=-；尸(-2).

A.4

飞)=滔2).

R4

?(-3)=9(2).

7

5

16.

设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是()

若1皿3存在，则和)=0.

A.一"工

B.若呼幺卢格,则加印

若1血止2存在，则f，@存化

c.—

么上■上2存在，则r(0)存在

若lim-

D.一x

17.

设随机变量(x,Y)服从二维正态分布，且X与丫不相关，f(x)f(y)XY分

别表示X，丫的概率密度，则在丫=y的条件下，X的条件概率密度fX|Y(X|Y)

为()

A./、(、)•

A(y).

DB.

c/>(-v)A(y).

ACO

D./>")

18.

8

设函数〃X)在(0,田)上具有二阶剧，且厂(a)＞0.令"，=/(")("=L2,…,)，则下列结论正确

的是()

若“1＞电，则｛〃”｝必收敛.

_若，，1＞电，则｛“"｝必发散

B.

C若则｛"“｝必收敛

口若〃1＜岭，则｛"力必发散

19.

设曲线L:f(x,y)=l(f(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第

IV象限内的点N,T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是()

.(A)fZUV)dv.

(B)f

B.•

c(C)£/(•")日、

(D)[/：(工+/：*」＞.

D.Jz

20.

设向量组如生。V线性无关，则下列向量组线性相关的是()

g一色，七一%心一a

9

%十七:七+七:七+a1

B.

C的一2生.c(2—2a3:4—2幽.

(X[+2a”a,+2a；.+2缶.

D.

21.

-1-12000

设矩阵I71’则A与B()

A.合同且相似.

B.合同，但不相似.

C.不合同，但相似

D.既不合同，又不相似.

22.

某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0<p<l),则此

人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()

A.3/噂

B.

C3/r(l-/>)2.

6p1(l-p)2.

io

二、填空题（共2题，共8分）

23.

x=t+e'i/2v

确JE,则nl丁-

y=sintdx-

设函数y=y(x)由参数方程'

24.

曲线y=x(l+arcsin2/x)的斜渐近线方程为

三、问答题（共1题，共4分）

25.

’0100、

A=°01:,则的秩为L

000

设矩阵卜00以请瑜正。

11

答案解析

一、单选题

1A

1r

lim--c°‘'=lim——=—.Q/"(-<,)在x=0处连续二—=>，力=1.选A.

uaxJOax2a2〃2

2B

/(x)为偶函数时满足题设条件，此时「/(、)，&=£/(叼右，排除C.D.

取/(x)=2/-1满足条件，贝打：/(')公=/：(2/一1)公=-：<(),选B.

3D

t解析】特值法：(A)取X”=兀，Wlimsin.r=O,limv=兀，A错；

/I—f!—>00

取当=一1,排除B.C.所以选D.

4A

【解析】特征方程为：22-42+8=0=>4二=2±2，

2x2x22x

Qf(-V)=+cos2-V)=e+ecos2、,y*=Ae\y^=xe(Bcos2*+Csin2-'),

故特解为：V*=v*+y*=Ae2<+xe-'(Bcos21+Csin2.v),选c.

5D

12

t解析】小？〉0.91<0,n/(K.Y)是关于工的单调递增函数，是关于.V的单调:

所以有/(0,1)</(1,!)</(1,0),故答案选D.

6C

【解析】从o到八这段时间内甲乙的位移分别为jj(皿则乙要追上甲，则

Jv2(t)-V](t>//=10,当/=25时满足,故选C.

7B

t解析】

‘°]f°]f°

P'AP=1n4P=P

=>ASiaa)=(462，。J

\)\r\

因此B正确。

8B

【解析】由|AE-A|=o可知A的特征值为2,2.1,

U00、

因为3-“2£-4)=1,，人可相似时角化，即A〜020

<0o2,

由|2£一回=0可知B特征值为2,2,1.

因为3-《2七-6)=2,...13不可相似对角化,显然C可相似对角化，二A~C,但B不相

9C

13

关于(A).涉及可微与可偏导内关系.由/(-v,y)在(()。存在两个偏导数M/(-v.y)在(().(),处可

微.因此(A)不一定成立.

关于⑻只能假设/(戈，V)在10.0存在偏导数竺四.丝里不保证曲面Z=./(-V..V)在

Ndy

(().()./.(().()))存在切平面若存在时.法向量n=±J,"""",一I,=±{3.1,1}与(3.1.1}不

共线.因而(B)不成立.

X=/,

关于(C).该曲线内参数方程为•)•=().它在点(0.0./(。。))处内切向量为

Z=/(/,()),

{/4/(/.())}%={1.0,£(().())}=[1.0.3}.

CU

因此.(c)成立.

10B

14

,..,「J(.V)J(A)f(.V)

(3)t分析】当/(())=0时./(())=ohm

x-t0XIA.V10-.t

、「Iri/、t/(1-COs/OI-COS//,I..f")

天于(A)：hmx/(1-cos〃)=hm-------------....—————/f=I-cos//-hm------,

hw力-♦(»i-cos^h。=2。dt

由此可知lim-lr/(l-cos/03o£(())3.

若/(X)在X=0可导=>(A)成立辰之若(A)成立=>/.(())3xr(。归如/(X)=14I满

足(A).但/(0)不二

关于(0):若/(A)在*=。可导.一

I..「,f(2h)f(h)「

lim(/(2A)-/(/0l=lim［23--=，］=2f(())-/(0).

Tflh-tO2A//

=>①)成立辰之(D)成立nlim(/(2//)-/(/»))=()X/(A)在x=0连续.X/(*)在*=0可

Jo

?A4.1K工()

导如八、)=「满足(D).但r(.T)在x=()处不连续.因而「(0)也不m.

0,A=()

再看(c)：

..I.I,...-sin/if(h-sinh)h-sinh/(0,皆6们却niH\

加】］―/ll(h〃-sin〃)=hm—厂-----------------=hm—-------------(岩匕们都3时).

/厂…/厂"一sinA/厂z

注意.易求得lim匕”=0.因而.若/(())mn(C)成立.反之若(C)成立《lim」史(即

D/r/-M)/

/(0)m).因为只要〃。有界.任有(c)成立.如/(.r)=MI满足(C).但/(())不三

t

因此.只能选(B).

11A

15

(4)【分析】由I4E-A析4^=0.知矩阵特征值是4.0.0Q.又因A是实对称矩阵/

必能相似对角化.所以人与对角矩阵§相似.

作为实对称矩阵.当八：4时知八与3有相同内特征值从而二次型/A'与有相同内

正负惯性指数.因此八与8合同.

所以本题应当选(A).

注意.实对称矩阵合同时.它们不一定相似.但相似时一定合同.例如

A「I01=8-I。］

八二与4=.

02］03

它们内特征值不同.故八与B不相似.但它们内正惯性指数均为2.负惯性指数均为。.所以八与8合

同.

12A

(>)［分析］解本题内关键是明确x和丫内关系:x+丫=〃.即丫=〃一x.在此基础上利用性质:

相关系数小,内绝对值等于1②充要条件是随机变量x与丫之间存在线性关系即y=〃x+〃(其

中凡〃是常数).旦当〃>。时.p*=1：当"<()时.p“=-1.由此便知P”=-1.应选(A).

事实上.Cov(X,Y)=Co\(Xji-X)=-DX.DY=D(n-X)=DX.由此由相关系数内定

Cov(XK)-DX

义式有p“=iii：=-L

/y［DX>fDYjDXjDY

13B

当X->(),时，右I/(e'sI)~y/x；Jl+志:

1cos卜.利用排除法知应选(B).

14D

16

【分析】先找出温义点，确定其是否为对应垂直珈近线；再考虑水平睇渐近线。

【详解】因为limj+ln(l-e')]=x，斫以、=0为垂直渐近线；

TX

又吧[；+皿1-。')]=0,所以y=o为水平新近线；

、人」11Infl+e1)ln(l+e')e*

步,lim—=lim[—H------------]=lim-----------=lim-------=1，

x厂xx+e

lim[\-1-A]=lim[--ln(l+^')-v]=+£')—、]

iT*cci>icoXi—・=

=tli»m*C5[In-(1+L)-a]=I，limln(l+L)=0,

于是有斜渐近线：y=工故应选⑼.

15C

【误解】根健积分的几何意义，知F⑵为半径是1的半圆面租：气2)=4，

X

H3)是两个半圆面积之差：卜(3)=；叮•f-万・(；)1=：万=>(2),

LL<54

尸(-3)=/■'/(%1==<7(3、=尸(3)

因此应选K).

16D

I详解】(A),⑻两项中分母的极B联)o,因此分子的极限也必须为o,均可推导出710)=0.

若1△!!存在，则/(0)=0j，(0)=km1'(。―/⑼=1L12=0,可见(C)也正确，

1m11m

JOxTX-0TX

故应选(D).事实上，可举反例：/(x)=N在六0足连续，且

lun[。f⑶=lim止L"=0存在，但/(.r)=忖在x=O处不可导。

17A

【详解】因(工,匕服从二维正态分布，且工与y不相关，故x与y相互独立，于是

=因此选(A).

18D

【详解】设M=X:,则f(x)在(0.+8)上具有二阶导数，且/"(▲)>0/4</，但

M}={")发散，排除(C)；设/w=：,则/w在9+8)上具有二阶导数，且

r(-v)>0j/l>H：，但{""}={1收敛，排除⑻；又若设/(x)=-lna，则/w在(0,+8)上

具有二阶导数，且/"(x)>0j，i>%，但{""}={一ln〃}发散，排除(A).故应选2).

17

19B

【详解】设M、N点的