2021-2022学年高一数学同步讲义第01讲 函数的概念

第1课函数的柢念

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课程标准课标解读

理解函数的概念；了解函数的三要素；

掌握简单函数的定义域；掌握求函数的值；通过本节课的学习，掌握函数概念及函数的三要

掌握区间的写法.素，会判断同一函数，会求简单函数的定义域及值域.

3着知识精讲

知识点01函数的概念

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系/，使对于集合4中的任意一个数X,在集合B

中都有唯一确定的数/（X）和它对应，那么就称广A-8为从集合A到集合B的一个函数，记作

y=/（x）,xeA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函

数值，函数值的集合｛/（x）|xe4｝叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.

【微点拨】（1）“A,B是非空的数集”，一方面强调了A,B只能是数集，即A,8中的元素只能是实数；

另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的.

（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A,但函数的值域不一定是非空数集B,而是集合B

的子集.

（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素

%.在非空数集8中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应.

（4）函数符号"y=〃x）”是数学中抽象符号之一，"y=/（x）”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y

等于7与x的乘积，/（x）也不一定是解析式，还可以是图表或图象.

【即学即练1】下列各图中，不能表示y是x的函数的是（）

【分析】选项B不满足函数的定义，选项A、C、D满足函数的定义，即得解.

【详解】在A中，对每一个XWR,都有唯一的yw{y|yNO}与之对应，所以是函数关系；

在B中，存在xe{x|x>0},有两个y的值与之对应，所以不是函数关系；

在c,D中，对每一个X€（T»,O）U（O,M）,都有唯一的与之对应，所以都是函数关系.

故选：B.

【即学即练2］若函数（X）的定义域M={x|-2},值域为N={y|0W）W2},则函数y=f（x）的图象

可能是（）

【答案】B

【分析】利用函数的概念逐一判断即可.

【详解】A中定义域是3一2姿0},不是M={x|-2W烂2},C中图象不表示函数关系，D中值域不是N=

30多£2}.故选：B

生'知识点02函数的构成要素

由函数概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决

定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系.

辨析/(x)与/(a)表示当自变量x=a时函数的值，是一个常量，而/(x)是自变

量x的函数，它是一个变量，/(a)是/(x)的一个特殊值.

【即学即练3】下列集合A到集合5的对应/是函数的是()

A.4={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方

B.A={0,1},B={-1,0,1},f：A中的数开方

C.A=Z,B=Q,f：A中的数取倒数

D.A=R,B={正实数},/：A中的数取绝对值

【答案】A

【分析】利用函数的定义逐个分析判断即可

【详解】选项A中，集合4中的每一个元素平方后在集合8中有唯一的元素与其对应，所以选项A符合函

数定义，

选项B中，集合A中的元素1对应集合8中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数

值的条件；

选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函

数值的要求；

选项D中，集合A中的元素0在集合8中没有元素与其对应，也不符合函数定义.

故选：A

【即学即练4］如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为()

【答案】A

【分析】根据函数的定义逐一判断即可得出答案.

【详解】①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义，即A中每一个元素在对应法则下，在B中都

有唯一的元素与之对应，

对于④⑤，A的每一个元素在B中有2个元素与之对应，不是A到B的函数,

对于⑥，A中的元素4、为在B中没有元素与之对应，，不是A到B的函数，

综上可知，是函数的个数为3.故选：A.

【即学即练5】下列集合A、B及其对应法则不能构成函数的是()

A.A=B=R,/W=|x+l|

B.A=B=R,f(x)=一

x

C.A={1,2,3},B={4,5,6.7},f(x)=x+3

D.A={x|x>0},B={1},f(x)=x°

【答案】B

【分析】根据函数的定义判断.

【详解】易知B项中集合A中的0在集合8中没有元素与之对应，则不能构成函数，

其他选项中对集合A中每一个元素，按对应法则/,在8中都有唯一元素与它对应，是函数.故选：B.

【即学即练6】下列对应关系是函数的为.(填序号)

(1)X—/,xGR；

(2)x-y,其中y2=x,xW(0,+co),yGR-

产-4-1

(3)is,其中s=^~Ml.teR.

【答案】⑴(3)

【分析】利用函数的概念逐一判断即可得出结果.

【详解】(1)根据函数的概念可得XT/,XGR为函数.

(2)在(o,y)上任取上一个值%都有两个V值对应，这与函数的概念矛盾，所以此对应关系不是函数.

(3)任意的fWR都有唯一的$值与之对应，符合函数的概念，故答案为：(1)(3)

生'知识点03相等函数(同一函数)

对于两个函数，只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一函数.

【微点拨】(1)判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同.定义域、对应

关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数.

(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.

(3)在化简解析式时，必须是等价变形.

【即学即练7】下列各组函数中，表示同一个函数的是()

Y2-1

A.y=%——l和)，=-----B.和y=l

x+1

C.f(x)=(X—1)2和g(x)=(x+1)2D.f(x)=♦和g(x)=(W)2

【答案】D

【分析】根据函数的定义域、对应关系可逐项判断可得答案.

【详解】y=x-l的定义域为XGR,),=二^1的定义域为{川工片-1},函数定义域不同，A错误；

X+1

y=x°的定义域为{xlxwO},y=l的定义域为xeR,函数定义域不同，B错误；

/(%)=(x-1)2和g(x)=(x+1)2的定义域都为xeR,但是两函数的对应关系不同，故C错误；

f(x)=(五)的定义域为卜城>0},g(x)=［讦的定义域为{x|x>0},故D正确.故选：D.

生'知识点04区间及其表示

1.区间的概念

设小6是两个实数，而且。<从我们规定：

(1)满足不等式aWxW。的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,勿；

(2)满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；

(3)满足不等式或a<x4人的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为3,。)或(a,们.

其中实数“，b都叫做相应区间的端点.我们可以在数轴上表示上述区间，为了区别开区间、闭区间的端点,

我们用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.

定义名称符号数轴表示

{x\a<x<b]闭区间[a,b]—1___1__

abx

{x\a<x<b}开区间(a,b)_1___1__

abx

{x\a<x<b}半开半闭区间[a,h)_1__1____

abx

{x\a<x<b}半开半闭区间(a,勿1_J__

abx

注意：区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开.

2.无穷大的概念

实数集R可以用区间表示为(-8,+8),“8”读作“无穷大”，“一00”读作“负无穷大”，

“+8”读作“正无穷大”.

把满足的实数x的集合分别表示为[。,+8),(。,+8),(—oo,句,(ro,。).

【即学即练8】解下列不等式或不等式组并把解集在数轴上表示出来，解集用区间表示.

(1)5x+15>4x-13；

(3x-2<x+4

(2)一<•

[x+1>4x-5

【答案】(1)(-28,用)，数轴见解析；(2)(YO,2),数轴见解析

【分析】将不等式或不等式组直接求解出来，画出数轴即可.

【详解】

(1)由5x+15>4x-13解得x>—28,

故不等式的解集为(-28,-)),数轴表示如下：

-28OX

3x—2<x+4

(2)由解得x<2,

x+1>4x-5

故不等式的解集为(f,2),数轴表示如下:

O2X

【即学即练9】设集合4=*|/一8》-20<0},8=[5,13),则。(AcB)=(用区间表示).

【答案】S,5)UU0,”)

【分析】根据不等式的解法，求得集合A,再结合集合的交集与补集的概念及运算，即可求解.

【详解】由题意，集合4=3--8》-20<0}=3-2。<10},可得AcB=[5,10),

所以a(AcB)={x|x<5或x210}=(9,5)U[0y).故答案为：(f,5)UU。,”).

Q能力拓展

考法01

函数概念

判断所给对应是否是函数，首先观察两个数集A，B是否非空；其次验证对应关系下，集合4中数x的

任意性和集合8中数y的唯一性（即不能没有数y对应数x,也不能有多于一个的数y对应数x）.

【典例1】已知A={X|X=〃2,neN},给出下列关系式：

@f（x）=x；（2y（x）=x2；（§y（x）=%3；@f（x）=x4；（§y（jc）=x2+i,其中能够表示函数/：A-4的是.

【答案】①②③④

【解析】对于⑤，当x=l时，/+侔A,故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确.

【温馨提示】（1）函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之

对应，即可以“多对一”，不能"一对多''，而8中有可能存在与A中元素不对应的元素.

（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同

考法02

同一函数

讨论两个函数是否为同一函数时，要树立“定义域优先”的原则，若定义域相同，再化简函数解析式，看

对应关系是否相同.

注意：定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数.

【典例2】下列各组函数中，表示同一函数的是（）

22

A./(X)=X+1与g(x)=W^B=而与=X

c=W与g(x)=V7D.〃力=》与8（。=曷

【答案】D

2

【解析】A.y（x）=x+l的定义域为R,g（x）=±±±的定义域为{如和},定义域不同，不是同一函数;

.2

/(“)=77¥的定义域为(o,+00)，g(x)

B.=x的定义域为R,定义域不同，不是同一函数;

X,〃为奇数

C./⑴=|x|.（X）=y/x"=<解析式不同，不是同一函数;

g卜|,〃为偶数

D.f(x)=x的定义域为R,g”)=U=f的定义域为R,定义域和解析式都相同，是同一函数.

r+1

故选D.

【名师点睛】本题考查函数的定义域，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和解析式是否都相

同.解答本题时，通过求定义域，可以判断选项A,B的两函数都不是同一函数，通过看解析式可以判

断选项C的两函数不是同一函数，从而只能选D.

考法03

函数的定义域

(1)当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定

义域的一般方法有：

①分式的分母不为0;

②偶次根式的被开方数非负；

③y=x0要求xoO；

④当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义

的公共部分的集合；

⑤已知/(x)的定义域，求/[g(x)]的定义域，其实质是由g(x)的取值范围，求出x的取值范围;

⑥己知的定义域，求/(x)的定义域，其实质是由x的取值范围，求g(x)的取值范围；

⑦由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求.

注意：定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集

符号“U”连接.

(2)已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方

法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围.这种

思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，

从而获解.

【典例3】(1)函数y=匕=的定义域是()

x—2

A.—,+oo^jB.I,2)U(2,+8)

C.1|,2)U(2,+8)D.(F,2)U(2,同

(2)函数y=/(x)的定义域为［0,+8),则函数y=/(x+l)的定义域为()

A.［0,-HX))B.

C.(—1,+8)D.［l,+8)

(3)已知函数yu+l)的定义域为(一2,0),则人右一1)的定义域为()

A.(-1,0)£)C.(0,l)D.(一；,0)

【答案】(1)B(2)B(3)C

f2x-3>03

【解析】(1)要使原式有意义只需：<3,、，解得兀之一且xw2,

故函数的定义域为T，2)U(2,+8).

故选B.

(2)•.•y=/(x)的定义域为［0,+8)..•.y=/(x+l)需满足x+120,

,，y=/(x+l)的定义域为［―1,+8).故选B.

(3)•.•函数yu+i)的定义域为(一2,0),即一2a<o,则以)的定义域为

由一1<2x-1<1,得0<r<I..2x-1)的定义域为(0,1).

【名师点睛】(I)求函数的定义域分两类，-是实际问题中函数的定义域，由变量的实际意义确定；二是

一般函数的定义域，由使式子有意义的”的范围确定，一般是列出不等式组求解.注意结果要写成集合或

区间的形式.解答本题时，由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出关于》的不

等式组，求解即可.

(2)本题考查函数定义域的概念及求法，已知了(x)的定义域求/［g(x)］定义域的方法，其实质是由g(x)

的取值范围，求出X的取值范围，是基础题.解答本题时，根据/(X)的定义域即可得出f(x+l)需满足：

x+l>0,从而得出y=/(x+l)的定义域.

(3)本题考查的是上题的升级版，是由x>JC+1_>2A-1a》的过程.

【典例4]若函数/(l)=,2"的定义域为R，则实数上的取值范围是.

【答案】o,£|

【分析】

分析可知，对任意的xeR,小+4H+3W0恒成立，分4=0、女工0两种情况讨论，结合已知条件可求得

实数女的取值范围.

【详解】

因为函数/(%)=/,二一三的定义域为R，

kx+4Ax+3

所以，对任意的xeR,履2+46+3/o恒成立.

①当k=0时，则有3K0,合乎题意；

3

②当上W0时，由题意可得A=1642—12k<0,解得0<攵<；.

4

综上所述，实数k的取值范围是0,1).

故答案为：0,^.

【即学即练10].函数/(外=而^+。+2)。的定义域是()

A.[-3,+oo)B.[-3,-2)

C.[-3,-2)U(-2,-K»)D.(-2,田)

【答案】C

【分析】根据函数成立的条件，列出不等式关系计算即可.

【详解】要使函数有意义,则｛::晚,

即(：：：，所以X13且x#-2,

即函数的定义域为J3,-2)U(-2,+8).

故选：C

【即学即练11]求下列函数的定义域：

⑴y=2+-

x-2

(2)y=>j3-x-y/x—\;

(3)y=(x-l)°+.p^.

Vx+l

(\\l2-x-x2

⑷A好而rr

【答案】(1){xh¥2}；(2){x|l<x<3}.(3){X|A->-1,且存1}.(4)[-l,O)u(O,l]

【分析】

(I)根据分母不为0,列式可求出；

(2)根据二次根式的被开方数大于等于0,列式可求出；

(3)根据底数不为0以及二次根式的被开方数大于等于0且分母不为0,列式可得出.

(4)根据偶次根式下被开方数非负以及分母不为零列方程组，解得结果.

【详解】

3

(1)当且仅当x—2和，即存2时，函数y=2+—^有意义，所以这个函数的定义域为{x|j/2}.

x-2

f3-x>0

(2)函数有意义，当且仅当〈,八解得1SE3,所以这个函数的定义域为{x|14xM3}.

[x-l>0

x-l#0

2

(3)函数有意义，当且仅当{—解得x>—1,且中I,

x+1

X+1H0

所以这个函数的定义域为“|x>—1,且灯1}.

2-x—X220,

(4)函数的定义域由不等式组<x+120,确定

Tx+T-i^o

-2<x<1,

解不等式组，得.xN-l,.-.xe[-l,0)u(0,l].

所以函数丫=*一X一3的定义域为[-1,0)2(01].

Vx+1-l

【点睛】

本题考查具体函数的定义域，常见求定义域的情况有：分母不为0、底数不为0、二次根式的被开方数大于

等于0,注意定义域一定要写成集合或者区间的形式.

【即学即练12】已知=的定义域为A,g(x)=J^+(x+2)°的定义域为8,求4。氏

【答案】[-3,-2)U[l,3)

【分析】

先根据定义域求出集合A与B,再求交集得结果.

【详解】

QA-24-X-2>0/.X>15JCX^-2

QZ£16>O,X+2^O.---3<X<3,X*-2

3-x

所以AIB={x|x2l或x4-2}I{x|-3<x<3,x-2}=[-3,-2)U[l,3)

【点睛】

本题考查函数定义域以及交集运算，考查基本分析求解能力，属基础题.

考法04

求函数值或函数的值域

(1)函数求值即用数值或字母代替表达式中的X,而计算出对应的函数值的过程.注意所代入的数值或

字母应满足函数的定义域要求.

求函数值应遵循的原则：

①已知/(X)的表达式求/(a)时，只需用a替换表达式中的X.

②求/[/(a)]的值应遵循由里往外的原则•

③用来替换表达式中x的数。必须是函数定义域内的值.

(2)求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：

①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法.求

值域时一定要注意定义域的影响.如函数y=/-2x+3的值域与函数y=x2—2x+3,xw{x|0Vx<3}

的值域是不同的；

③分离常数法:此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域.分

离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了，将形

如(存0)的函数分离常数，变形过程为：cx+d_a(ax+b>>+d~~^,再结合

r/x-Un------=------------------=1--------

ax+bax+haax+h

,be

X的取值范围确定“一〃的取值范围,从而确定函数的值域.；

ax+b

④换元法：对于一些无理函数(如〃x)=ar±-±Jcr土d),通过换元把它们转化为有理函数，然后

利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域.

在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解.求新元的范围，

要根据已知函数的定义域.

【典例5】已知〃力=£,则/(1)+〃2)+/«j+/(3)+吗,八4)+心=——

14-XL

【答案】1

【分析】根据函数解析式代入即可求解.

rn2

【详解】因为/(力=6,所以=j士+⑴="+

+x2(1V1+x2x2+lx2+l

1+U

则”2)+吗)=j+

所以/⑴+/(2)+唱)+/(3)+f(£)+/(4)+(3=;+1+1+1总故答案为：

【典例6】求下列函数的值域：

/、/\2x-1

⑴/(X)=,

X4-1

(2)f(x)=x-Jx+l

【答案】(1)(-«>,2)U(2,+8)；(2)+8),

4

【解析】(1)因为/(x)=2(X+1)-3=2__1_,

所以/(x)¥2,

x+1x+l

所以函数/(x)的值域为(-CC,2)U(2,+00).

(2)令y/x+l=i(仑0),则％=於一1,所以产於_k1(仑0)・

因为抛物线产产+i开口向上，对称轴为直线+00),所以当/=：时，y取得最小值为-《，无最

大值，所以函数/(》)的值域为［-2,+00).

4

【名师点睛】本题考查了函数值域的求法.(1)利用分离常数法可得值域：此方法主要是针对有理分式，

即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅

出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了；

(2)利用换元法转化为二次函数问题求解值域即可，对于一些无理函数(如/.(x)=ox±Zj±Jcx±d),

通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域.

【即学即练13］函数y=一1,xw［l,3)U(3,5］的值域为.

X-J

【答案】(y,-gu/田)

【分析】

根据分式型函数的性质，知y=一二在(-«>,3)和(3,—)h：递减，结合指定的定义域区间，即可求值域.

x-3

【详解】

由函数解析式知：y=—1在(-，3)和(3,+8)上递减，

x-3

.•.xe［l,3)U(3,5］时，函数值域为(y,-J"g,+8).

故答案为：(-°°,—/］口弓,+°°).

【即学即练14］函数"X)=31-2x+4在(0,+8)上的值域为

X

【答案】副6-2,+?)

4

【分析】本题首先可将函数转化为〃x)=3x-2+—,然后根据基本不等式即可得出结果.

x

v2_7r+44

【详解】/(x)=2A4=3X-2+-,

XX

因为x>0,所以f(x)=3x-2+3N2ji，-2=46-2,当且仅当x=3叵时取等号，

x3

则函数/(x)=宜二|士在(0,一)上的值域为的印2,+?),故答案为：|4A/3-2,+?卜

【即学即练15】求下列函数的值域

_3+x

(1)

~4-x；

5

(2)y=---------------

2X2-4X+3

(3)y=-2x-x；

x2+4x+3

(4)；

(5)y=4-\/3+2x-x2;

(6)y=x+>Jl-2x；

(7)y=\Jx-3+；

(8)y=yj-x2-6x-5

/八、3x4-1

(9)y=--；

x-2

/\2x2—x+i,1

(1t0n)y=--~~—(x>-).

2x-\2

【答案】(1)(-00，-1)5T+00)；(2)(0,5]；(3),+°°^；(4)｛引丫H1且"；(5)[2,4]；(6)(-℃』]：

(7)[5/5,2]；(8)[0,2]；(9)C-3)(J(3,+00)；(10)>/2+—,+oo^j.

【分析】

（1）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；

（2）直接利用二次函数性质求分母取值范围，再求y的取值范围即得结果；

（3）先求定义域，再利用函数单调性求函数取值范围即可；

（4）变形得y=l+-7,（x#-3）,即可得解；

x-2

（5）利用二次函数的单调性逐步求值域即可；

⑹令t=,则》=号，将函数变形为y=-1+，+5/Z0,利用二次函数的性质计算可得;

（7）求出函数定义域，>平方后利用二次函数的性质求值域即可；

（8）直接利用二次函数的单调性逐步求值域即可；

（9）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；

（10）先进行换元f=2x-l>0,再利用对勾函数单调性求解值域即可.

【详解】

7

解:(1)分式函数kE一

x-4

定义域为{小二4},故所有yx-1,

故值域为(F，-l)U(-1，住)；

5,

(2)函数y=-2-----中，分母f=2x?-4x+3=2(x-l)-+121,

2x2-4x4-3'7

则尸;e(O,5],故值域为(0,5]；

(3)函数y=VT^-x中，令l—2x*0得

易见函数丫=/^五和y=-x都是减函数，

故函数y=Jl-2x-X在XVQ时是递减的,故X=5时Vmin=-/，

故值域为-；，*10}

x2+4X+3%+1]3/

(4)y=-------=----=1+----,(xw-3)，

X2+X-6x-2x-2v)

故值域为{引yr1且y；

(5)y=4-73+2X-X2=4-yj-ix-i)2+4,XG[—1,3]

ffn0<-(x-l)2+4<4,XG[(),4],

/.0<7-U-l)2+4<2,/.4-2<4-7-(X-1)2+4<4-0,

即2W”4,故值域为[2,4]；

(6)函数y=妥+\/1-2工，定义域为(一84,令q=J1-2x=0,

所以所以y=L_L+f=-L+，+_L/*o,对称轴方程为f=i,

2222

所以t=l时，函数y皿=-；+i+g=i，故值域为(一8』；

(x-3>0

(7)由题意得<、八，解得34x45,

[5-x>0

则y2=2+2j(x-3)(5-x)=2+2,/-(x-4)2+l,3<x<5,

故-(x-4y+le[0,l],2j-(x-4)，le[0,2],.-.2</<4,

由y的非负性知，V2<y<2,故函数的值域为[五,21；

(8)函数y=J-f-6x-5=J-(x+3)2+4,定义域为[-5,—1],-(犬+3丫+4e[0,4],故

y=J_(x+3)2+4e[0,2],即值域为[。,2]；

（9）函数）'=要^=3+F万，定义域为{小*2},

故三#。，所有"3,故值域为（f,3）U（3,田）；

X-L

2

.7憾2x-x+1（2x-l）~+（2x-l）+21,x21

（10）函数y=--------=------7—————=一（X）

2x-l2（2x-l）2r2-17+7-（-2-x-----l）-J2,

人1L1/2、1

令，=21一1,则由知，z>0,y=-r+-+-,

221/J2

根据对勾函数f+：在（0,夜）递减，在［夜,”）递增，

可知t=0时，Ymin=gx2忘+g=0+；,故值域为&+g,+Ocj.

【点睛】

方法点睛：

求函数值域常见方法：

（1）单调性法：判断函数单调性，利用单调性求值域（包括常见一次函数、二次函数、分式函数、对勾函

数等）；

（2）换元法：将复杂函数通过换元法转化到常见函数上，结合图象和单调性求解值域；

（3）判别式法：分式函数分子分母的最高次哥为二次时，可整理成关于函数值y的二次方程，方程有解，

判别式大于等于零，即解得y的取值范围，得到值域.

M分层提分

题组A基础过关练

1.用列表法将函数y=/（x）表示如下:

X0

y0

则〃0)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】由表格可得答案.

【详解】由表格可得/（0）=0,故选：A.

2.下列图象中，表示函数关系y=的是（）

【答案】D

【分析】根据函数的定义判断即可;

【详解】对于A、B、C,图象中均存在一个X与多个y对应的情况，故A、B、C都不满足函数关系,

对于D：对于定义域内任意x都有且只有一个y与其相对应，故D是函数关系；故选：D

3.下列各组方程中表示相同曲线的是（）

A.y=x,-=1B.|x|=|y|,x2=f

x

C.I%l=lyl,\[x=JyD.y=x,y=

【答案】B

【分析】结合所给的解析式逐一考查所给的曲线是否相同即可.

【详解】

逐一考查所给的选项：

A选项中，卜=工包含坐标原点（0,0）,q=1中不包含坐标原点（0,0）,不是同一条曲线;

B选项中的方程表示同一条曲线；

C选项中，IxHyl包含点（-2,-2）,6=4不包含点（-2,-2）,不是同一条曲线;

D选项中，V=x包含点（-1,-1）,y=中不包含坐标原点（-1,-1）,不是同•条曲线.

故选：B.

4.若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“李生函数”，那么函数的解析式

为y=f,值域为｛4,9｝的“李生函数”共有()

A.12个B.10个C.9个D.8个

【答案】C

【分析】

列出满足条件的函数的定义域，由此可得出结论.

【详解】

满足条件的函数的定义域为｛2,3｝、｛2,-3｝、｛-2,3｝,｛-2,-3｝、｛2,—2,-3｝、｛2-2,3｝,｛2,-3,3｝、｛-2,-3,3｝、

｛-2,2,-3,3｝,共9个.

故选：C.

5.已知函数/(T+1)=2X+3.则”2)的值为()

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【分析】

根据题意，令《+1=2可得x的值，将x的值代入fd+l)=2x+3,即可得答案.

xX

【详解】

解：根据题意，函数fd+D=2x+3,若：+1=2,解可得*=1,

将X=1代入/(B+1)=2X+3,可得/(2)=5,

故选：B.

6.下列各组函数“X)与g(x)的图象相同的是()

A./(X)=yJx+3Xy/x-3与g(x)=五-9

r2—4

B./(x)=--与g(x)=x+2

x-2

C./(x)=1与g(x)=x。

D.〃x)=|x|与=

【答案】D

【分析】若两个函数图象相同则是相等函数，分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断

是否为相同函数，进而可得正确选项.

【详解】对于A：由O得XN3,所以/⑺的定义域为{x|xN3},由Y-920可得：2或x4-3,

所以g(x)的定义域为{x|x4-3或XN3},定义域不同不是相等函数，函数图象不相同，故选项A不正确；

对于B：=的定义域为3"2},g(x)=x+2的定义域为R,定义域不同不是相等函数，函数图

x-2

象不相同，故选项B不正确；

对于C：/(尤)=1的定义域为R,g(x)=x°的定义域为{xlx/O},定义域不同不是相等函数，函数图象不相

同，故选项C不正确；

对于D：对/(x)=|x|去绝对值可得.f(x)=1'-八，所以/(x)=g(x),所以f(x)=|x|与g(x)=，'-

函数图象相同，故选项D正确；故选：D.

7.下列函数中，与函数y=x+l是相等函数的是()

A.y=(jx+1)B.y=+1C.y=F1D.y=+]

【答案】B

【分析】依次判断各个选项的解析式和定义域是否和y=x+i相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结

果.

【详解】y=x+i的定义域为R；

对于A,y=(«71丫定义域为[-1,e)，与y=x+i定义域不同，不是同一函数，A错误；

对于B,y=g+l=x+l，与丫=工+1定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；

*)

对于c,>=千+1定义域为M"°}，与y=x+1定义域不同，不是同一函数，c错误；

对于D,y=x/?+l=W+l=[L°与y=x+l解析式不同，不是同一函数，D错误.故选：B.

[-x+l,x<0

8.设集合M={x|04x42},7V={j|O<y<2},那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数

关系的有()

A.①②③④B.①②③C.②③D.②

【答案】C

【分析】利用函数的定义域与函数的值域判断函数的图象即可.

【详解】对于①，函数图象不满足函数的定义域知={*|04》42},故错误：

对于②，函数图象满足函数的定义域以及函数的值域，故正确；

对于③，函数图象满足函数的定义域以及函数的值域，故正确；

对于④，函数图象不满足函数的定义(任意的X,存在唯一实数/(X)与之对应)，故错误；

故选：C.

9.在下列四组函数中，表示同一函数的是()

A.f(x)=2x+\,xeN,g(x)=2x-l,xeNB./(X)=|A],g(x)=>/x?

C./(x)=(x+3),g(x)=x+3D./(x)=Vx-lVx+1,g(x)=7x2-l

【答案】B

【分析】判断定义域以及对应法则是否相同，即可得出答案.

【详解】对于A项，Ax)与g(x)的对应法则不相同，故A错误：

对于B项，与g(x)的定义域都为R,g(x)=V?=|^,且对应法则也相同，故B正确；

对于C项，/(x)的定义域为{x|xxl},而g(x)的定义域为R,故C错误；

对于D项，由J/10，解得xNl，由r-L0,解得乂.1或xW-1,即/(x)与g(x)的定义域不相同，故D

错误；故选：B

10.若函数y=/(x)的定义域是[0,8],则函数g(x)=<萼的定义域是()

>Jx-l

A.(1,32)B.(1,2)C.(1,32]D.(1,2]

【答案】D

【分析】根据兀V）的定义域得到_A4x）中4x的取值范围，进而求得x的范围，再结合g（x）的分母的偶次方根

有意义的条件，得到其定义域.

0<4x<80<x<2

【详解】因为函数y=/（x）的定义域是[0,8],所以｛,,、，.•.,,.」<x42.故选：D.

[x-1>0[x>1

11.已知函数f（2-x）="-X?,则函数/（五）的定义域为（）

A.[0,^o）B.[0,16]C.[0,4]D.[0,2]

【答案】B

【分析】由已知可得y=/（2-x）的定义域即函数/（X）的定义域为[0,4],令《e[0,4],可得答案.

【详解】由4-M.0,解得—2触2,即），=/（2-力的定义域是[-2,2],则2-xe[0,4],即函数/⑶的定义

域为[0,4],

令&e[0,4],解得xw[0,16],则函数>=/（五）的定义域为[0,16].故选：B.

12.函数y=V+，，X4—1的值域是（）

x2

【答案】B

【分析】根据，（x）=、2、g（x）=」在上单调递减，即可知在匕单调递减，即可求值

x2x2

域.

【详解】由/（x）=V、8（》）=,在》4-《上都单调递减，

x2

/.y=X2—,在—匕单调递减，

x2

.•.当X时，有如"=（一]）2+万=一履所以值域为+oo]

；

2-2L4

故选：B.

题组B