广东省中山市小榄镇2023-2024年九年级上学期期中数学试题

2023-2024学年上学期限时训练九年级数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列标志中，属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．3．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（）A． B． C． D．4．已知是一元二次方程的一个根，则m的值是（）A．-3 B．2 C．-2 D．35．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛?设有x个球队参加比赛，则可列方程为（）A． B． C． D．6．如图，是由绕A点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为（）A．80° B．50° C．40° D．10°7．抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移中正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位8．抛物线的图象与x轴的交点个数是（）A．无交点 B．一个交点 C．两个交点 D．三个交点9．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，y随x的增大而减小．其中错误的结论的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象大致位置是（）A． B．C． D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．一元二次方程的解是______．12．二次函数的最小值为______．13．若点与点关于原点成中心对称，则的值是______．14．已知m是方程的一个根，则代数式的值等于______．15．关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则k的取值范围是______．16．如图，直线与抛物线分别交于，两点，那么当时，x的取值范围是______．三、解答题（一）（每小题6分，共24分）17．解方程：．18．求抛物线的对称轴和顶点坐标．19．在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）将绕点O顺时针旋转90°得到，作出旋转后的．（2）作关于原点对称的图形．20．某区为争创全国文明卫生城，2020年区政府对区绿化工程投入的资金是2000万元，2022年投的资金是2420万元，且2021年和2022年，每年投入资金的年平均增长率相同．（1）求该区对区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该区在2024年需投入资金多少万元？四、解答题（二）（每小题7分，共21分）21．校运会上，小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球出手时的高度为1.8m，当铅球飞行的水平距离4m时距离地面最高为5m．铅球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象如图所示．求：（1）y与x之间的函数关系式；（2）小明这次投掷的成绩．22．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值．23．某商店以每件30元的价格购进一批商品，现以单价50元销售，每月可售出400件，经市场调查发现：每件商品销售单价每上涨1元，该商品平均每月的销售量就减少10件．设每件商品销售单价上涨了x元．（1）写出每月销售该商品的利润y（元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？五、解答题（三）（每小题9分，共27分）24．已知二次函数的图象与x轴交于、两点，且函数经过点．（1）求二次函数的解析式；（2）当x为何值时，．（请直接写出结果）（3）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．25．如图，过等边的顶点A作AC的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接CP，将线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到线段CQ，连接QB．（1）求证：；（2）连接PB并延长交直线CQ于点D，若．①试猜想BC和BQ的数量关系，并证明；②若，求PB的长．26．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧），与y轴相交于点C．图1图2（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与B，C重合），则是否存在一点P，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）如图2，若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，直接写出当时，M点的坐标．2023-2024学年上学期中段限时训练九年级数学参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1．B2．A3．D4．D5．D6．B7．A8．C9．B10．C二、填空题（每题3分，共18分）11．（只写一个得1分）12．313．202314．515．且16．三、解答题（每小题6分，共24分）17．解：．…1分…2分或…4分，．…6分∵．18．解：…4分∴对称轴为直线，顶点坐标为…6分（对称轴1分，顶点坐标1分）19．解：（1）如图所示，就是所求（作图2分，答1分）……3分（2）如图所示，就是所求……6分（作图2分，答1分）20．解：（1）设该区对区绿化工程投入资金的年平均增长率为x，由题意得…1分…2分解得，（舍去）…3分答：该区对区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%…4分（2）（万元）答：该区在2024年需投入资金2928.2万元…6分四、解答题（每小题7分，共21分）21．解：（1）∵铅球出手时的高度为1.8m，铅球飞行的水平距离4m时距离地面最高为5m∴，顶点…1分∴设y与x之间的函数关系式为…2分把代入得解得∴y与x之间的函数关系式为…4分（2）把代入得…5分解得，（舍去）…6分答：小明这次投掷的成绩为9m…7分22．（1）证明：∵，，,∴…2分∵,∵．…3分即∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根…4分（2）解：∵，…5分又∵，∴…6分解得答：k的值为-1…7分23．解：（1）由题意得…2分答：该商品的利润y（元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式为…3分（2）由（1）得…4分∵，开口向下∴当时，y有最大值为…5分∴销售单价定为元…6分答：当销售单价定为60元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为9000元．…7分五、解答题（每小题9分，共27分）24．解：（1）设该二次函数的解析式为…1分∵二次函数的图象与x轴交于、两点，且函数经过点∴解得…2分∴该二次函数的解析式为．…3分（2）当或时，…5分（3）∵、，∴设，则∴，∴…7分①当时，，解得，此时P点的坐标为或；…8分②当时，，解得，，此时P点的坐标为或；…9分综上所述，P点的坐标为或或或．25．（1）证明：在等边中，，，由旋转可得，，∴，∴即，∴（SAS）…1分∴…2分（2）①猜想：．证明：连接PQ，如图：由旋转，得，，∴是等边三角形…3分∵，∴，∴DP是CQ的垂直平分线…4分∵点B在PD上，∴…5分②解：由（1）得∴，，∴…5分∵，∴，∴∴．…6分在中，∴，．…7分∵，，∴，∵，∴，∴…8分∴，答：PB的长为…9分26．解：（1）∵抛物线的对称轴是直线，∴，解得．∴抛物线的解析式为．…1分当时，，解得，，∴点A的