考点10 二次函数中6大特殊图形的存在性问题-解析版

考点10二次函数中6大特殊图形的存在性问题1等腰三角形的存在性解决方法画弧法：以等腰三角形确定边两端点分别为圆心，确定边长度为半径画弧，与动点所在直线的交点即为所求点，另外确定边的垂直平分线与动点所在直线的交点即为所求点。2直角三角形的存在性的解决方法①运用勾股定理：a²+b²=c²②运用剥离法（参照圆证明玻璃法的运用）3平行四边形的存在性问题的解决方法利用线段长解析式=定值长（平行四边形对边平行且相等）列方程求值线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则线段AB的中点坐标为。2.平行四边形顶点坐标公式ABCD的顶点坐标分别为A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC）、D（xD，yD），则：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD。即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等。4相似三角形的存在性问题的解决方法相似三角形存在性问题，分类讨论步骤：第一步：找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角；要先确定已知三角形是否有直角，或确定的对应角；①若有已知的相等角，则其顶点对应；②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。第二步：确定相似后，根据对应边成比例求解动点坐标：①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小；②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后用相似来列方程求解。5菱形的存在性问题的解决方法菱形依据，有一组邻边相等的平行四边是是菱形。对比于平行四边形的判定，还有邻边相等条件，因此，相比较于平行四边形(AC作为对角线），坐标系中还需要满足以下三个等式：X解题方法：(在平行四边形的基础上增加对角线垂直或者邻边相等)(1)选定点、半动点组成的三角形，三边作为对角线再分类讨论；(2)利用中点坐标公式列方程：；（AC为对角线时）(3)对角线垂直：或者邻边相等：X6矩形的存在性问题的解决方法1两点间坐标公式;2平行四边形顶点公式;3矩形的判别：对角线相等的平行四边形平面四点坐标A（XA，YA），B（XB，YB），C（XC由以上得到矩形判别公式：（以AC，BD为对角线为例）X二、公式解读：上式中①和②式子是判定平行四边形依据，③式为对角线相等，从而判定为矩形。由上可以知矩形最多可以有三个未知量，带入以上方程组可以得到一个三元一次方程组，可解。由三个未知量，则可以判别出矩形至少有两个动点，最多可以有三个动点。两个定点+1个全动点+一个半动点一个定点+3个半动点。注释：（半动点是横纵坐标其中一个已知，一个未知）求解方法：确定半动点和定点----分类讨论-----列出公式求解。考点1等腰三角形的存在性解决方法考点2直角三角形的存在性的解决方法考点3平行四边形的存在性问题的解决方法考点4相似三角形的存在性问题的解决方法考点5菱形的存在性问题的解决方法考点6矩形的存在性问题的解决方法考点1等腰三角形的存在性解决方法1．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)如图，点P在x轴上方的抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是等腰三角形，求点D的坐标．【答案】(1)，（1，4）；(2)（4，0）或或【分析】（1）把点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，即可求解；（2）过点C作CE⊥x轴于点E，设D（m，0），根据勾股定理可得，，然后分三种情况讨论，即可求解．【详解】（1）解：把点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得：，∴抛物线的解析式为，∵，∴顶点C的坐标为（1，4）；（2）解：过点C作CE⊥x轴于点E，设D（m，0），∵A（-1，0），C（1，4），∴EA=2，EC=4，DE=m-1，，∴，，当AD=CD时，，解得：m=4；当AC=CD时，，解得：m=3（舍去）或m=-1（舍去），当AC=AD时，，解得：或综上所述，点D的坐标为（4，0）或或．【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的勾股定理是解题的关键．2．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，并且与y轴交于点C．(1)求此抛物线的解析式；(2)直线BC的解析式为；(3)若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交BC于点N，设MN的长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值；(4)在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，请证明；如果不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)h与t之间的函数关系式为：，h的最大值为4(4)在x轴的负半轴上存在点或，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由见解析【分析】（1）把A(﹣1，0)，B(4，0)代入抛物线解析式，即可求解；（2）根据抛物线解析式求出点C的坐标，再利用待定系数法，即可求解；（3）根据题意可得点，点，从而得到，再根据二次函数的性质，即可求解；（4）分三种情况：当PC=BC时，当PB=BC时，当PC=PB时，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2+3x+c经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：当时，，∴点，设直线BC的解析式为，把点B(4，0)，代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为；（3）解：如图，∵点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，∴点，∵MN⊥x轴，∴点，∴，∴，∴当时，h的值最大，最大值为4；（4）解：在x轴的负半轴上存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由如下：当PC=BC时，∵OC⊥BP，∴OP=OB，∵点B(4，0)，点P在x轴的负半轴上，∴点；当PB=BC时，∵B(4，0)，，∴OC=4，OB=4，∴，∴，∵点P在x轴的负半轴上，∴点；当PC=PB时，点P位于BC的垂直平分线上，∵OB=OC=4，∴点O位于BC的垂直平分线上，∴此时点P与点O重合，不合题意，舍去；综上所述，在x轴的负半轴上存在点或，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形．【点睛】本题主要考查了求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2023春·天津·九年级专题练习）已知抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A，点B（点A在点B左侧）．(1)求点A，点B的坐标；(2)用配方法求该抛物线的顶点C的坐标，判断△ABC的形状，并说明理由；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使以点O、点C、点P为顶点的三角形构成等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A（-1，0），B（3，0）(2)点C的坐标为（1，-2），为等腰直角三角形，理由见解析(3)点P的坐标为（1，2），，或【分析】（1）把代入到得，，解得，，又因为点A在点B的左侧，即可得；（2）配方得，即可得点C的坐标为（1，-2），根据点A，B，C的坐标得，，，则AC=BC，又因为，所以，即可得，从而得出是等腰直角三角形；（3）当点P与点C关于x轴对称时，OC=OP，为等腰三角形，即可得点P的坐标（1，2），当时，，即可得点P的坐标为或，当时，点P在OC的垂直平分线上，设点，点P交x轴于点D，在中，根据勾股定理得，，解得，即可得点P的坐标为，综上，即可得．【详解】（1）解：把代入到得，解得，，∵点A在点B的左侧，∴A（-1，0），B（3，0）．（2）解：===∴点C的坐标为（1，-2），为等腰直角三角形，理由如下：∵A（-1，0），B（3，0），C（1，-2），∴，，，∴AC=BC，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．（3）解：当点P与点C关于x轴对称时，OC=OP，为等腰三角形，∴点P的坐标为（1，2）；当时，，∴点P的坐标为或；当时，点P在OC的垂直平分线上，设点，如图所示，点P交x轴于点D，在中，根据勾股定理得，，∴点P的坐标为；综上，点P的坐标为（1，2），，或．【点睛】本题考查了二次函数与三角形的综合，解题的关键是掌握二次函数的性质，等腰三角形的判定与性质．4．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，抛物线经过点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)是轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点坐标．【答案】(1)(2)，或，．【分析】（1）将代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；（2）分两种情形讨论，①若，②若，即可求解．【详解】（1）解：抛物线经过，，得：抛物线的解析式：（2）由抛物线解析式得：，，，由勾股定理得：，若是以为腰的等腰三角形，且在轴的正半轴，①若，则，②若，则，，，综上所述：，【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．考点2直角三角形的存在性的解决方法5．（2022秋·四川广安·九年级校考期中）如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)．(2)，的面积S有最大值．(3)存在，点F的坐标为或或或．【分析】（1）根据点的坐标，运用待定系数法，建立方程组求解；（2）运用待定系数法，确定直线解析式为，联立二次函数解析式，求解得，过点E作轴，交于点G，设，的面积：，根据二次函数性质求得的面积有最大值，．（3）存在．设点，则；；；分情况讨论：①若，②若，③若，根据勾股定理，建立方程求解得点F的坐标．【详解】（1）解：由题意，，解得∴．（2）解：设直线的解析式为，则解得∴直线解析式为．联立直线与抛物线解析式，得，解得，∴过点E作轴，交于点G，设，，则的面积∴∴当时，，的面积有最大值．此时，，∴．

（3）解：存在．设点，则；；；①若，则，∴，解得，∴；

②若，则，∴，解得，∴；

③若，则，∴，解得，∴或

综上，点F的坐标为或或或．【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，函数图象交点与方程组的联系，勾股定理，二次函数的性质；根据勾股定理建立方程是解题的关键．6．（2022·广东潮州·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，直线经过点，与轴交于点，与抛物线交于点，且的面积为5．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上一动点在直线的图象下方，当的面积最大时，求点的坐标；(3)若点是轴上一点，在（2）的条件下，当为直角三角形时，直接写出的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】1）先确定直线的解析式，再利用三角形的面积，确定点的D的坐标，即可确定抛物线的解析式．（2）设，直线与y轴的交点为点F，且解析式为，确定方程组，确定点F的坐标，计算，根据构造新的二次函数，根据函数的最值计算即可．（3）分三种情况求解，比较大小即可．【详解】（1）∵抛物线与轴交于点和点，直线经过点，与轴交于点，∴，，，解得，∴直线解析式为，设，∵的面积为5，∴，∴，解得，∴，∴，解得，∴抛物线的解析式为．（2）如上图，∵抛物线的解析式为，∴设，直线与y轴的交点为点F，且解析式为，根据题意，得，解得，故解析式为，∴，∴，∴，∵，∴有最大值，且当时，取得最大值，最大值为，此时，∴．（3）如图，当时，则；当时，则；故；∵，，，设∴，∴，解得，故；当时，∵，，设，

∴，∴，解得，故；∵，∴，故当为直角三角形时，的最大值是．【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，构造二次函数求最值，分类思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式，构造二次函数求最值是解题的关键．7．（2021春·广东梅州·九年级校考期中）已知二次函数的图象经过，，与x轴交于点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)二次函数的解析式为(2)(3)存在，,,【分析】（1）直接把点，代入求出、的值即可得出抛物线的解析式；（2）先求出点的坐标，根据；得出，进而根据二次函数的性质，即可求解．（3）设点的坐标为，然后分三种情况讨论：①；②；③．由勾股定理得到关于的方程，解方程求出的值即可．【详解】（1）解：将，代入得解得

∴二次函数的解析式为（2）将代入得，解得∴点∵点直线下方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，如图所示：

则由，得直线的解析式为：∴设，则点∴∴∵，将代入可得最大面积为；（3）解：存在，，，，，对称轴是直线．，，．设点的坐标为，分三种情况：①如果，那么，则，解得，所以点的坐标为；②如果，那么，则，解得，所以点的坐标为；③如果，那么，则，解得或，所以点的坐标为或．综上所述，所求点的坐标为，，，．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，主要利用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的性质，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．（2023春·江苏宿迁·九年级南师附中宿迁分校校联考阶段练习）抛物线经过点和点．

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线相交于、两点，点是抛物线上的动点且位于直线下方，连接、．①在点运动过程中，若的面积为，求点的坐标；②在点运动过程中，若为直角三角形，求点的横坐标．【答案】(1)；(2)①或；②或．【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）①过点作轴，交于点，设，，则，，，先根据抛物线和直线的解析式求出点的坐标，再利用面积公式构造方程求解即可；②分与两种情况，利用勾股定理构建方程求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，∴，解得，∴该抛物线对应的函数解析式为；（2）解：①过点作轴，交于点，设，，则，，，

∵抛物线与直线相交于、两点，∴，解得或，当时，，当时，，∴，，，，∵，的面积为，∴，解得或，当时，，当时，，∴，或，；②设，，由①得，，，，∴，，，∵轴轴，∴是以为直角的直角三角形，∴是锐角，∵点是抛物线上的动点且位于直线下方，∴在的内部，即,∴是锐角，即是不存在的情形，

当时，，∴，∴，∴或，解得（舍去）或（舍去）或（舍去），当时，，∴，∴∴（舍去）或，综上，点的横坐标为或．【点睛】本题主要考查了待定系数法求解二次函数解析式，勾股定理，二次函数的图像与性质，二次函数与一次函数之间的关系，熟练掌握勾股定理及数形结合的思想是解题的关键．考点3平行四边形的存在性问题的解决方法9．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）综合与实践如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接．

(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．【答案】(1)(2)存在，或或(3)或或或【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）分两种情况：以C为顶点，即；以D为顶点，即，利用勾股定理及等腰三角形的定义建立方程即可完成；（3）分三种情况：当是对角线时；当是对角线时；当是对角线时；分别设点E与F的坐标，利用中点坐标公式即可求解．【详解】（1）解：∵点B的坐标是，点C的坐标是，∴，解得：，∴所求抛物线解析式为；（2）解：存在由抛物线解析式知，其对称轴为直线，，设，则，，，①以C为顶点，即时；则，解得：或（舍去），∴点P的坐标，②以D为顶点，即时，则，解得：，∴点P的坐标为或，综上，点P的坐标为或或；（3）解：设点E的坐标为，点F的坐标为，①当是对角线时；由中点坐标公式得：，解得：或（舍去），∴点E的坐标；②当是对角线时；由中点坐标公式得：，解得：，∴点E的坐标为或；③当是对角线时；由中点坐标公式得：，解得：或（舍去），∴点E的坐标；综上，点E的坐标为或或或．【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，中点坐标公式，勾股定理等知识，本题有一定的综合性，注意分类讨论．10．（2023·广东珠海·统考二模）在平面直角坐标系中中，已知抛物线L：和线段，其中点，点，点C是抛物线L与y轴的交点，点D是抛物线L的顶点．(1)求直线的解析式；(2)点Q在抛物线L上，且与点C关于对称轴对称，连接，求证：为等腰直角三角形；(3)在（2）的条件下，射线交x轴于点F，连接，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求m的值；如果不能，说明理由；(4)若抛物线L与线段只有一个交点．请结合函数图象，直接写出m的取值范围________．【答案】(1)(2)见解析(3)能构成平行四边形，(4)或【分析】（1）设的解析式为，把点，点代入解析式计算即可；（2）分别求出的坐标即可证明；（3）利用平行四边对边平行且相等，结合平移求出点坐标，再根据F在x轴上计算即可；（4）先求出直线与抛物线只有一个交点，再求出直线与抛物线有两个交点时，分别经过，点的值，即可得出结论．【详解】（1）设的解析式为，把点，点代入解析式得，，解得∴直线的解析式为（2）∴顶点当时，∴顶点∵C、Q都在抛物线上，且关于对称轴对称∴，则∴∴，且∴∴为等腰直角三角形；（3）四边形能构成平行四边形．理由如下：∵，，∴向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度得到，∴当向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度得到时，四边形是平行四边形，∵F在x轴上，∴；（4）联立，整理得：，当时，，此时直线与抛物线只有一个交点，交点坐标为，在线段上；当时，，此时直线与抛物线有两个交点，当抛物线过时，，解得，此时直线与抛物线有两个交点坐标分别为，都在线段上；当抛物线过时，，解得，此时直线与抛物线有两个交点坐标分别为，，只有一个点在线段上；综上所述，抛物线L与线段只有一个交点时或．【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，会用待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，注意分类讨论是解题的关键．11．（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考三模）如图，已知抛物线过点，，，其顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)若P是抛物线上的一个点，是否存在点P，使得，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由；(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，点的坐标为或(3)能，点的坐标为或或【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）先求出的垂直平分线的表达式，再联立线段垂直平分线和抛物线的表达式，得到关于的方程，进而求出点的坐标．（3）设出点的坐标，分情况讨论，①当点在线段上时，点在点上方，②当点在线段（或）延长线上时，点在点下方，根据平行四边形的性质，可由得关于的方程，进而求出点的坐标．【详解】（1）解：将A、B、C点的坐标代入解析式，得，解得，∴抛物线的解析式为．（2）解：存在，点的坐标为或．如图，设为线段的中点，∵，∴直线为线段的垂直平分线，直线与抛物线必有两个交点，且都是满足条件的点．∵，，∴点的坐标为，设的解析式为，将点代入得，，即直线的解析式为，联立，得，解得或，∴点的坐标为或．（3）能，点的坐标为或或．将配方，得，∴顶点D的坐标为，由，得对称轴为，∵，，∴直线的方程为，联立，得，点在直线上，设，①当点在线段上时，点在点上方，则，∵，∴，解得或（舍），∴点的坐标为；②当点在线段（或）延长线上时，点在点下方，则，∵，∴，解得或，∴点的坐标为或，综上所述：满足条件的点坐标为或或．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用线段垂直平分线的性质；解（3）的关键是平行四边形的性质得出关于的方程，要分类讨论，以防遗漏．12．（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点．设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．(1)求点，，的坐标；(2)当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形；(3)在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，(2)当时，四边形是平行四边形(3)存在，点的坐标为，，【分析】（1）根据函数解析式列方程即可得到结论；（2）如图所示：根据平行四边形的性质得到，设点的坐标为，则，列方程即可得到结论；（3）设点的坐标为，分两种情况：①当时，根据勾股定理列方程求得，（不合题意，舍去），②当时，根据勾股定理列方程求得：，，于是得到结论．【详解】（1），令，得：，解得：，，令得，，∴，，．（2）当时，四边形是平行四边形，∵点与点关于轴对称，∴点，，直线为，由题可得，，则，解得，（舍去），因此当时，四边形是平行四边形．（3）当时，有，即解得：，（舍去），∴有；当时，有，即解得：，，∴有，；综上所述：点的坐标为，，．【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，勾股定理，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．考点4相似三角形的存在性问题的解决方法13．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线W与x轴交于A(1，0)，M(﹣3，0)两点，交y轴于点B(0，3)，抛物线W关于y轴的对称图形为抛物线L．(1)求抛物线W的表达式；(2)如果E是点A关于原点的对称点，D是抛物线L的顶点，那么在x轴上是否存在点P，使得△PAD与△EBO是相似三角形？若存在，求出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3，过程见解析；(2)存在，点P的坐标为P1（，0）或P2（，0）或P3（﹣11，0）或P4（13，0），过程见解析．【分析】（1）利用待定系数法即可求出W的表达式；（2）根据（1）得出点E和点D的坐标，设出P的坐标为（m，0），根据相似三角形的性质求出m即可得出P的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线W与x轴交于A（1，0），M（﹣3，0）两点，∴设y＝a（x﹣1）（x+3），代入点B（0，3），得3＝a×（﹣1）×3，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；（2）解：存在符合条件的P点，如下图，求解过程如下：由（1）知W的顶点为（﹣1，4），得L的顶点D（1，4），∵E是点A关于原点的对称点，A（1，0），∴E（﹣1，0），综上可知，OE=1，BO=3，AD=4，设P（m，0），则∠DAP＝∠BOE＝90°，AP=，若△PAD∽△EBO，则，则，解得m＝或m＝，∴P1（，0）或P2（，0），若△DPA∽△EBO，则，则，解得m＝13或﹣11，∴P3（﹣11，0）或P4（13，0），综上，P的坐标为P1（，0）或P2（，0）或P3（﹣11，0）或P4（13，0）．【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求二次函数的解析式，牢记相似三角形的性质．14．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，已知二次函数的图像经过点点和点，连接，线段上有一动点P，过点P作的平行线交直线于点D，交抛物线于点E．（1）求二次函数的解析式；（2）移动点P，求线段的最大值；（3）如图2，过点E作y轴的平行线交于点F，连接，若以点C、D、P为顶点的三角形和是相似三角形，求此时点P坐标．【答案】（1）二次函数的解析式为：；（2）ED最大值为；（3）点P坐标为（0，0）或（，0）．【分析】（1）用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）先待定系数法求BC的函数解析式为：，过点E作EF∥y轴交BC于点F，过点D作DG⊥EF于点G，证明△DFG～△BCO，再证△EDG∽△CAO，则DG=3k，EG=6k，ED=，ED=EF，要线段DE的最大，只要求EF的最大值．设点E坐标为（e，），则点F坐标为（e，），然后表示出EF，结合最值的性质，即可得到答案；（3）△CPD与△DEF中，已有∠CDP=∠EDF，分两种情况讨论：①△DPC∽△DEF，易得P与O重合，点P坐标为（0，0）；②△DCP∽△DEF先求tan∠DCP=tan∠ACO=，过点B作BQ⊥CB交CP于点Q，过点Q作QM⊥BO于点M，在Rt△CBQ中．，证明△OCB∽△MBQ，求出点Q坐标为（2，），用待定系数法求直线CQ的解析式为：y=+2，当y=0时，x=，即得点P坐标为（，0）．【详解】解：（1）把点A（-1，0）点B（3，0）和点C（0，2）代入二次函数y=ax2+bx+c，得，，解得，，∴二次函数的解析式为：；（2）设BC的函数解析式为：y=mx+n，把点C（0，2）和B（3，0）代入，得，，解得，，∴BC的函数解析式为：，过点E作EF∥y轴交BC于点F，过点D作DG⊥EF于点G，∴∠GFD=∠BCO，∵∠BOC=∠DGF，∴△DFG～△BCO，∴，∵AC∥EP，DG∥AO，∴∠GDE=∠OAC，∵∠COA=∠EGD=90°，∴△EDG∽△CAO，∴，设GF=2k，则DG=3k，EG=6k，∴ED=，∴ED=EF，要线段DE的最大，只要求EF的最大值．设点E坐标为（e，），则点F坐标为（e，），∴EF===；当时，EF最大=，∴ED最大=EF=；（3）∵△CPD与△DEF中，已有∠CDP=∠EDF，分两种情况讨论：①△DPC∽△DEF，∴点C与点F对应，∠PCD=∠EFD，∴CP∥EF，即P与O重合，∴点P坐标为（0，0）；②△DCP∽△DEF，∴点E与点C重合，∴∠DEF=∠PCD，∵∠DEF=∠ACO，∴∠DCP=∠ACO，∴tan∠DCP=tan∠ACO=；过点B作BQ⊥CB交CP于点Q，过点Q作QM⊥BO于点M，在Rt△CBQ中，，∵∠CBO+∠MBQ=90°，∠CBO+∠OCB=90°，∴∠MBQ=∠OCB，∵∠COB=∠BMQ，∴△OCB∽△MBQ，∴，∴BM=OC=1，MQ=BO=，∴点Q坐标为（2，），设CQ的关系为：，解得：，∴直线CQ的解析式为：，当y=0时，，∴点P坐标为（，0），综上，点P坐标为（0，0）或（，0）；【点睛】本题考查了二次函数、一次函数待定系数法求关系式，三角形相似的判定与性质的综合运用，解题关键是熟练掌握所学的知识，熟练运用化斜为直的解题策略，15．（2023春·海南海口·九年级海口市第九中学校考阶段练习）如图，抛物线经过点、，交x轴于另一点B，点在第二象限的抛物线上．

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)过点P作轴于点D，交于点E，作交y轴于点F．①求出四边形的周长l与m的函数表达式，并求l的最大值；②当四边形是菱形时，请求出P点的横坐标；③是否存在点P，使得以P、E、C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①，②；③存在，或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的坐标为，则点E的坐标为，求出，再根据，利用平行线分线段成比例求出，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出l关于m的函数表达式，再利用二次函数的性质求出最值即可；②若四边形是菱形，则，据此得出方程，解方程可得答案；③分两种情况讨论：当时，，可得，据此得出方程，解方程求出t的值即可；当时，，过点P作轴于点H，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，求出t的值即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点、，∴，解得，∴该抛物线的函数表达式为；（2）解：①设，代入、得：，解得：，∴，设点P的坐标为，则点E的坐标为，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴当时，l的最大值为；②要使四边形是菱形，则有，∴，整理得，解得，（舍去），∴当四边形是菱形时，P点的横坐标为；③存在，分两种情况讨论：（Ⅰ）如图1，当时，，此时轴．∴，即，解得，（舍去），∴点P的坐标为；（Ⅱ）如图2，当时，，过点P作轴于点H，∴，，∴，∵，∴，∴，即，解得，（舍去），∴点P的坐标为，综上所述，点P的坐标为或．

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．16．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点和，连接，点为抛物线上一动点，过点Р作轴交直线于点M，交x轴于点N．

(1)直接写出抛物线和直线的解析式；(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值；(3)当Р点在运动过程中，在y轴上是否存在点，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点Р与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)或或(3)存在，，或，或，或，【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）分，三种请况讨论求解即可；（3）分点在点左侧和右侧，以及分，，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线过点和，设，把，代入得：，解得：，∴；设直线的解析式为：，则：，解得：，∴直线的解析式为：；（2）∵点为抛物线上一动点，过点Р作轴交直线于点M，∴，∵，∴，∵为等腰三角形，①当时：，解得：（负值已舍去）；②当时：，解得：（舍去）或；③当时：，解得：；综上：或或；（3）存在；∵点Р与点C相对应∴或；①当点在点左侧时，∵，，，∴，，，∴，，，当时，，

∴，∴，即：，解得：（负值已舍掉）；∴，∴，∴，即：，∴，∴；当时，，在点上方时，过点作轴，则：，

∴，，∴，即：，解得：（不合题意，舍去）；当在点下方时，如图，

则：，∴，即：，解得：（负值已舍去），且满足分式方程；∴，；②当点在点右侧时：则：，，当，，

∴，∴，即：，解得：（负值已舍掉）；∴，∴，∴，即：，∴，∴；当时，，

过点作轴，则：，∴，∴，，∴，即：，解得：（负值已舍去），且满足分式方程；∴，；综上：，或，或，或，．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．考点5菱形的存在性问题的解决方法17．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．(1)求抛物线L的函数表达式；(2)将抛物线L向右平移3个单位长度得到新的抛物线，点Q为坐标平面内一点，试判断在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以为边的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)点P的坐标为或或【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设，，根据题意分两种情况讨论：当为菱形的对角线时，，或；当为菱形的对角线时，，或，注意取舍．【详解】（1）将代入中，得解得∴抛物线L的函数表达式为．（2）如图，∵抛物线，∴抛物线的函数表达式为，∴抛物线的对称轴为．设点P的坐标为，在中，令，可得，∴．∵，∴．①当时，，解得，∴或，设直线的函数表达式为，将代入，得，解得，∴直线的函数表达式为，∴在直线上，不合题意，需舍去，∴点P的坐标为;②当时，，解得，∴点P的坐标为或．综上，在抛物线对称轴上存在点P，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以为边的菱形，点P的坐标为或或【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．18．（2023·陕西咸阳·校考二模）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴交于两点，且，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点，轴交所在直线于点．

(1)求抛物线的函数表达式和点的坐标；(2)若点为轴上一点，请问是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，点的坐标为；(2)存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或．【分析】（1）由可得，利用待定系数法求函数解析式，令，即可得点坐标；（2）分两种情况：①当为菱形的对角线时，②当为菱形的一条边时，根据菱形的性质即可求解．【详解】（1）解：，，，抛物线经过、两点，，解得，抛物线的函数表达式为，令，得，点的坐标为；（2）解：存在，、，，，设所在直线的函数表达式为，，解得，所在直线的函数表达式为，设，则，①当为菱形的对角线时，如图1所示．

，四边形是菱形，，菱形为正方形，，，解得或0（舍去）．，当为菱形的对角线时，点的坐标为；②当为菱形的一条边时，如图2所示．过点作轴于点，

，四边形是菱形，，，，，，解得，当为菱形的一条边时，点的坐标为．综上可知，存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．19．（2023·山西吕梁·统考三模）综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线与抛物线的对称轴交于点E．将直线沿射线方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．

(1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线的解析式；(2)当是以为斜边的直角三角形时，求出n的值；(3)直线上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为；直线BC的解析式为；直线AC的解析式为(2)(3)存在，点坐标为或【分析】（1）分别求出、、的坐标，再用待定系数法求直线的解析式即可；（2）先求平移后的直线解析式为，则，再由勾股定理可得方程，求出或（舍；（3）先求，，当、为邻边时，与为菱形的对角线，轴，可得，，再将点代入直线的解析式中求出的值，即可求；当为菱形的对角线时，，此时，，再将点代入直线的解析式中求出的值，即可求．【详解】（1）当时，，解得或，，，当时，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为；（2），抛物线的对称轴为直线，，平移后的直线解析式为，，，，，是以为斜边的直角三角形，，解得或（舍；（3）存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，理由如下：当时，解得，，，当、为邻边时，与为菱形的对角线，，轴，，，，解得，；当为菱形的对角线时，，，，，解得，；综上所述：点坐标为或．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直线平移的性质，勾股定理，菱形的性质是解题的关键．20．（2023春·山西长治·九年级校考阶段练习）综合与探究：图1．在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B，C二次函数的图象经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A（A点在原点左侧），若，P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作轴于点D，交于点F，作于点F．

(1)求点A的坐标及二次函数的表达式．(2)当的周长最大时，求点P的坐标．(3)如图2，过点P作的平行线．交线段于点M，在直线上是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】(1)根据直线分别交x轴、y轴于点B，C，确定从而确定，结合确定，选择方式求解析式即可．(2)设，结合直线得到，确定，根据等腰直角三角形的性质，用表示周长，借以构造二次函数，用函数思想求最值即可．(3)根据菱形的定义，分点N在直线上部和下部两种情形，运用待定系数法和平移思想求解即可．【详解】（1）∵直线分别交x轴、y轴于点B，C，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，故抛物线的解析式为．（2）∵抛物线的解析式为，直线，∴设，则，∴，∵直线分别交x轴、y轴于点B，C，∴，∴，∴，∵轴,,∴，∴，∴的周长为∵，∴的周长有最大值，且当时，取得最大值，最大值为，此时，故点．（3）存在，或．理由如下：∵过点P作的平行线．交线段于点M，直线，∴设，∵∴四边形是菱形，，∵，∴，解得∵M在第一象限，∴，故；∵四边形是菱形，∴，故把点M沿着方向平移，平移方式与点C向点A的平移方式相同即可，∵，故点C向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度，

故向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度即可得到符合题意的点N，此时点即；∵过点P作的平行线．交线段于点M，直线，∴设，∵四边形是菱形，∴，∵，∴，解得∵M在第一象限，∴，故；∵四边形是菱形，∴，故把点M沿着方向平移，平移方式与点C向点A的平移方式相同即可，∵，故点A向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，

故向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度即可得到符合题意的点N，此时点，即；故存在这样的点N，且或．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，菱形的判定和性质，平移思想，等腰直角三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求抛物线的解析式，菱形的判定和性质，平移思想，特殊角的三角函数值，二次函数的最值是解题的关键．考点6矩形的存在性问题的解决方法21．（2021春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考开学考试）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，其中点B的坐标为，点的坐标为，直线经过两点．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点在第一象限的抛物线上，连接，若点横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；(3)点在第一象限的抛物线上，点是坐标平面内一动点，是否存在动点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，点的横坐标为1或【分析】（1）将、代入列方程组求出的值，即可得到抛物线的解析式；（2）连接，作轴于点，交于点，由待定系数法求值直线的解析式，由点在第一象限的抛物线上，且点横坐标为，得，，根据，进行计算即可得到答案；（3）设点的横坐标为，则，分两种情况：四边形是矩形，且以为一边，作轴于点，可证明，则，四边形是矩形，且以为对角线，作轴于点，轴于点，可证明，得，则，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：抛物线经过点、，，解得：，抛物线的解析式为：；（2）解：如图2，连接，作轴于点，交于点，

，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，在抛物线中，当时，则，解得：，，点在第一象限的抛物线上，且点横坐标为，，，，，且，，与的函数关系式为；（3）解：存在，设点的横坐标为，则，如图3，四边形是矩形，且以为一边，作轴于点，

，则，，在抛物线中，当时，，，，，，，，，解得（不符合题意，舍去），如图4，四边形是矩形，且以为对角线，作轴于点，轴于点，

，则，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，整理得，解得，（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），综上所述，点的横坐标为1或．【点睛】本题考查了二次函数的图象性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．22．（2023·吉林白城·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）经过点和点，点P在此抛物线上，其横坐标为m．

(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P在x轴下方时，直接写出m的取值范围；(3)当点P在y轴右侧时，将抛物线B、P两点之间的部分（包括B、P两点）记为图象G，设图象G上最高点与最低点的纵坐标的差为h．①求h与m之间的函数关系式；②点Q在此抛物线的对称轴上，点D在坐标平面内，当时，以B、P、Q、D为顶点的四边形为矩形，且BP为矩形的一边，直接写出点Q的坐标．【答案】(1)(2)或(3)①；②点的坐标为或【分析】（1）将点，代入之中得到关于，的方程组，解方程组求出，即可得到抛物线的解析式；（2）先求出抛物线与轴的两个交点，，再根据抛物线的开口向下可得出当点在轴下方的抛物线上时，的取值范围；（3）①先求出抛物线的点为，对称轴为，点，分三种情况进行讨论：当，点为最低点，点为最高点，据此可求出与之间的函数关系式；当，此时最高点为抛物线的顶点，最低点为，据此可求出与之间的函数关系式；当，此时最高点为点，最低点为，据此可求出与之间的函数关系式；②由①可知当时，，据此可求出点，再求出直线的解析式为，分两种情况进行讨论：当点在轴上方、当点在轴的下方；设点，利用勾股定理列式计算可求出点的坐标．【详解】（1）解：将点，代入，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）解：对于，当时，，解得：，，∴抛物线与轴的两个交点，，又∵抛物线的开口向下，∴当点在轴下方的抛物线上时，的取值范围是：或；（3）解：①，∴抛物线的点为，对称轴为直线，∵点在轴右侧的抛物线上，且横坐标为，∴点的坐标为，分两种情况讨论如下：当时，∴点为最低点，点为最高点，，其中，当，此时最高点为抛物线的顶点，最低点为，其中；当，此时最高点为点，最低点为，，其中，综上所述：与之