新高考数学二轮复习数列培优专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)（含解析）

专题05构造法求数列通项的八种技巧(二)【必备知识点】◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.模型一:SKIPIF1<0,构造SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为常数数列.模型二:SKIPIF1<0,构造SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为常数数列.模型三:SKIPIF1<0,构造SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为常数数列.模型四:SKIPIF1<0,构造SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为等比数列.模型五:SKIPIF1<0,构造SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为等比数列.模型六:SKIPIF1<0,构造SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为等差数列.模型七:SKIPIF1<0,构造SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为等差数列.模型八:SKIPIF1<0,构造SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为等差数列.看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,SKIPIF1<0和SKIPIF1<0等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.【经典例题1】已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0.【解析】因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0是常数数列,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.【经典例题2】已知数列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,求数列SKIPIF1<0的通项公式.【解析】因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0是常数数列,所以SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0【经典例题3】已知数列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,求数列SKIPIF1<0的通项公式.【解析】SKIPIF1<0,等式两侧同除SKIPIF1<0,形成SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,这又回到了构造一的形式,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是以2为首项,2为公比的等差数列,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【经典例题4】已知SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,求数列SKIPIF1<0的通项公式.【解析】等式两侧同除SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,另SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,接下来就是叠加法发挥作用的时候了SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0……SKIPIF1<0叠加得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【练习1】已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0A.28B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则:SKIPIF1<0(常数)则：数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项,3为公差的等差数列。所以：SKIPIF1<0,所以：SKIPIF1<0则:SKIPIF1<0故选：B【练习2】已知SKIPIF1<0是首项为1的正项数列,且SKIPIF1<0,则它的通项公式是SKIPIF1<0______________.【解析】已知等式可转化为SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0是常数数列,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0.评注:本题是关于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的更为明显的关系式,从而求出SKIPIF1<0.【练习3】已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,求数列SKIPIF1<0的通项公式.【解析】将等式两边同时除以SKIPIF1<0得,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项,3为公差的等差数列,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.【练习4】已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求数列SKIPIF1<0的通项公式.【解析】等式两侧同除SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0SKIPIF1<0,另SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,接下来依旧是叠加法SKIPIF1<0SKIPIF1<0……SKIPIF1<0叠加得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,代入题干原式得SKIPIF1<0,经检验可以合并,SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【练习4】已知数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0,且满足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值;(2)求SKIPIF1<0的通项公式.【解析】(1)当SKIPIF1<0时,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0是常数数列,所以SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0.◆构造五:取倒数构造等差类型一:数列SKIPIF1<0满足:SKIPIF1<0,则有SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项,SKIPIF1<0为公差的等差数列,即SKIPIF1<0.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点).类型二:数列SKIPIF1<0满足:SKIPIF1<0,则有SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0是等差数列.类型三:若数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0,且满足SKIPIF1<0,则有SKIPIF1<0,两边同除以SKIPIF1<0得:SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项,SKIPIF1<0为公差的等差数列,即SKIPIF1<0,再用SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0.【经典例题1】在数列SKIPIF1<0中,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0___________.【解析】取倒数得:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0是首项为1,公差为2的等差数列SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.【经典例题2】已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0,且满足SKIPIF1<0.(1)求证:SKIPIF1<0是等差数列.(2)求SKIPIF1<0的表达式.【解析】(1)因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,两边同除以SKIPIF1<0得:SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项,2为公差的等差数列,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0.【经典例题3】已知数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0,证明:数列SKIPIF1<0是等比数列并求SKIPIF1<0的通项公式.【解析】因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项,SKIPIF1<0为公比的等比数列,所以SKIPIF1<0.【练习1】设SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0,公差为-1的等差数列SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上所述，答案选择:SKIPIF1<0【练习2】已知SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0,公差为SKIPIF1<0的等差数列,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【练习3】已知数列SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的通项公式.【答案】【解析】由已知得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为公差的等差数列.所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【过关检测】一、单选题1．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前100项的和是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为2，公差为1的等差数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A2．数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0是等比数列C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以此类推可知，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0是等差数列，且该数列的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，C对；SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0是等比数列，B对；由等差中项的性质可得SKIPIF1<0，A对；由上可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，D错.故选：D.3．若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题设，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：A4．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的n的最大取值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是以1为首项，4为公差的等差数列．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为正整数，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0；故选：C5．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大取值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，两边取倒数，得SKIPIF1<0，整理为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为1，公差为4的等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的最大值是7.故选：B6．已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以首项为2，公比为2的等比数列，从而SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.7．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，所以两边取倒数得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等比数列，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C.8．已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，公差为SKIPIF1<0的等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.二、多选题9．设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0是等比数列 B．SKIPIF1<0是等比数列C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】由题意得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是首项为2，公比为2的等比数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故B，C正确，A错误SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,两式相减得：SKIPIF1<0，故D错误．故选：BC10．已知数列{SKIPIF1<0}满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0为等比数列 B．{SKIPIF1<0}的通项公式为SKIPIF1<0C．{SKIPIF1<0}为递增数列 D．SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0【答案】AB【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以2为首项，3为公比的等比数列，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以{SKIPIF1<0}为递减数列，SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选:AB．三、填空题11．已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.12．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<013．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0__________【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】解：由SKIPIF1<0两边取倒数可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0是等差数列，且首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<014．已知数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，且对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，变形得SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.故答案为：015．已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0N+），由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0归纳出数列SKIPIF1<0的通项公式是__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此归纳出数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0，以下证明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以2为首项，2为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.16．数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，式子两端除以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为常数列.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.17．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则数列|SKIPIF1<0的前n项和为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】解：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是等差数列，且首项为2，公差为3，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0四、解答题18．已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0是等比数列，并求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若不等式SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)证明见解析；SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0(2)不等式SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立即SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立即SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0