2023年中考数学专题复习-二次函数综合题(特殊三角形问题)

试卷第=page1010页，共=sectionpages1010页2023年中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊三角形问题）1．如图，已知抛物线经过点A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC，将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°，得到，点A、O、C的对应点分别是点、、、若的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点的横坐标．2．如图，已知A（﹣2，0）、B（3，0），抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为点N．(1)直接写出抛物线的函数关系式；(2)请用含m的代数式表示线段PN的长；(3)连接PC，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠BCO＋2∠PCN＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；(4)连接AQ，若△ACQ为等腰三角形，请直接写出m的值．3．如图，抛物线过，两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点H．(1)求抛物线的表达式；(2)求的面积；(3)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当为等腰直角三角形时，点N的坐标为______．4．如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；(3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点．(1)求抛物线的表达式；(2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标；(3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标．7．已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F(1)求抛物线的表达式；(2)求证：∠BOF＝∠BDF：(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长8．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，交直线于点F，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D在第二象限且时，求点D的坐标；(3)当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．9．已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于C点，D是抛物线上的动点，已知A的坐标为（-3，0），C的坐标为（0，3）．(1)求该抛物线的函数表达式以及B点的坐标；(2)在第二象限内是否存在点D使得△ACD是直角三角形且∠ADC=90°，若存在请求出D点的坐标，若不存在请说明理由；(3)如图2，连接AC，BC，当∠ACD=∠BCO，求D点的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2＋bx﹣1经过点A(﹣1,﹣2)和点B(﹣2,1)，抛物线C2：y＝3x2＋3x＋1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．(1)求抛物线C1的表达式；(2)求线段MN的长（用含t的代数式表达）；(3)当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值．12．如图，二次函数的图象经过点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C．(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当S△PCD=3时，求出点P的坐标；(3)若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为，过点P作轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；(3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标．14．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴并交抛物线于点，当线段取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为．(1)求抛物线的解析式；(2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最大值时，求点P的坐标．(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，4)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接．(1)求线段AC的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标．18．如图，已知抛物线经过点B（4，0）和点C（0，－2），与x轴的另一个交点为点A，其对称轴与x轴交于点E，过点C且平行x轴的直线交抛物线于点D，连接AD．(1)求该抛物线的解析式；(2)判断△ABD的形状，并说明理由；(3)P为线段AD上一点，连接PE，若△APE是直角三角形，求点P的坐标；(4)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△APD是直角三角形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，点在点的左侧，，，点是抛物线的顶点，是抛物线对称轴上的点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当点关于直线的对称点落在抛物线上时，求点的横坐标；(3)若点是抛物线上的动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标__________；若不存在，请说明理由；(4)直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标__________；若不存在，请说明理由．20．如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点为轴上方抛物线上的动点，点为轴上的动点，连接，，．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如图1，当点的坐标为，求出此时面积的最大值；(3)如图2，是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．答案第=page44页，共=sectionpages44页参考答案：1．(1)(2)存在，Q(3，2)或Q(-1，0)(3)两个“和谐点”，的横坐标是1或2．(1)(2)(3)存在，(4)或3．(1)(2)3(3)（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．4．(1)y=-x2+4x(2)(3)存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）5．(1)(2)（-2，-4）(3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，6．(1)(2)(3)或7．(1)(2)见解析(3)存在，或8．(1)(2)或(3)或或或9．(1)(2)1(3)，，10．(1)y＝-x2-2x＋3，B(1，0)(2)存在，D(－2，3)(3)D(－，)或(－4，－5)11．(1)y＝2x2+3x﹣1(2)t2+2(3)t＝012．(1)(2)P1（，），P2（2，3）(3)存在点M其坐标为或13．(1)y＝x2−x−3(2)（3，−）或（0，−3）(3)（0，