第三全微分及其应用

第三节全微分一元函数y=f(x)

的增量概念：考虑二元函数z=f(x,y)关于x

的偏增量关于y

的偏增量全增量一元函数y=f(x)

的微分概念：若函数的增量：能表示为：则称函数y=f(x)在点

x

处是可微的，并称

为函数的微分当例如：存在时，考虑边长分别为x

和y

的矩形的面积：当两边长分别取得增量和时的改变量

第一部分是的线性函数

第二部分

第一部分是的线性函数

第二部分定义：如果函数z=f(x,y)的全增量可以表示为其中A

、B

与

x,

y

无关(仅与x,y

有关)则称z=f(x,y)在点(x,y)处可微，并称Ax+B

y

为z=f(x,y)

在点(x,y)处的全微分，记作dz

或证明：定义：如果函数z=f(x,y)的全增量可以表示为则称z=f(x,y)在点(x,y)处可微，记作问题1：函数

z=f(x,y)在什么条件下可微？问题2：在可微的条件下，A=？，B=？如果

z=f(x,y)

在点(x,y)可微，必存在，证明：因为z=f(x,y)在点(x,y)可微，故且z=f(x,y)

在点(x,y)

处的微分可表示为定理1（必要条件）则函数在该点(x,y)处的两个一阶偏导数（1）令，得（2）令，同理得：所以，当函数可微时，全微分可写成若分别取z=x

和z=y

，则记分别称为z=f(x,y)在点(x,y)处对

x

和

y

的偏微分。叠加原理：二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和。叠加原理也适用于二元以上的多元函数的情形。如设u=f(x,y,z)则有（1）对于一元函数，可微可导；几点说明：（2）对于多元函数，可微一定连续，（3）对于多元函数，若可微，则偏导数一定存在，问题3：对于多元函数，偏导数存在，函数是否一定可微？例1但f(x,y)在点(0,0)处不可微。证明：证明：用反证法证明函数在点(0,0)处不可微。如果f(x,y)在点(0,0)处可微，则必有由定理1即有例1但f(x,y)在点(0,0)处不可微。因此必有但当即有与k有关矛盾！所以函数在点(0,0)处不可微。上述例子有两个重要性（1）它具体说明了即使函数在某点处的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点可微。（2）它给出了证明函数在某点不可微的一般方法。定理2（可微的充分条件）:如果

z=f(x,y)

的偏导数

在点(x,y)

的某邻域内连续，则z=f(x,y)

在点(x,y)

处可微。问题1：函数

z=f(x,y)在什么条件下可微？多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续偏导数存在例2：计算解：在点(2,1)处的全微分。全微分的计算当函数可微时，全微分可表示为所以全微分的计算实际上就是偏导数的计算问题。例3：计算函数的全微分解：解解答思考题：若f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义

若f(x,y)在点(0,0)处可微，则必有若f(x,y)在点(0,0)处不可微，则表达式可以存在，但它不代表函数在(0,0)处的微分。作业习题93:1(1,3),2,4,5定义：如果函数z=f(x,y)的全增量可以表示为其中A

、B

与

x,

y

无关(仅与x,y

有关)则称z=f(x,y)在点(x,y)处可微，并称Ax+B

y

为z=f(x,y)

在点(x,y)处的全微分，记作dz

或内容回顾定理1（必要条件）：如果

z=f(x,y)

在点(x,y)处可微，则函数在该点(x,y)处的两个一阶偏导数