2021考研数学章节练习答案解析-《数学-线代》-第三讲 向量

1

设四阶矩阵工的秩是2,则其伴随矩阵/的秩是,

伴随矩阵由矩阵”的三阶代数余子式构成.

又因为矩阵,4的秩是2,即可得

矩阵』的二阶子式中至少有一个不为0且三阶子式均为0.

所以矩阵/的余子式均为0,即伴随矩阵/的任意元素都是0.

「公"公田］所以伴随矩阵的秩是0.

参考答案」

2

'12-2

设.4=41-3,并且/的列向量线性相关，则『=.

3-11

矩阵N的列向量线性相关，即矩阵的列秩小于3.

由三秩相等可得，•(/)<3.

12-2

故|4|=0,即4t-3=r+8-18+6f-3-8=0,解得［=3.

3-11

［参考答案］

3

.里线性表示?

(2)问a,Z＞取何值时,尸能由向量组%线性表示？并

写出其一般表示式.

［参考答案］

(1)设+三％+三4=0'

‘阳+2三+3X3=4

并按照分量写出方程式

2X2+x3=b

-1234一-1234

_021—1021-1

A=

1a160a-2-22

—021b000b+1—

-1234'1025

021—1021-1

f一

0a+20004+200

000b+1000b+1

当匕。-1时，方程无解，力不能由向量组％4.4线性表示;

（2）当6=-1,〃。一2时，增广矩阵的秩为3,

$=7

同解方程组为《2X2+x3=-1=><^x2=0

(n+2)X2=0

B的表达式为/?=7%-%;

若Z,=_1M=_2时，增广矩阵的秩为2,原方程有无穷多解,

%=5-2t,

卜产29=5.令三,，则,

同解方程组为4

2工？+/=-LX2=

，的表达式为尸=（5-21）/+：（-1-，）4+r%a为任意常数）

2

4

31

-2-2

已知向量组,4:及向量组］应=

2

-1一4

证明向量组/与向量组5等价.

由题意得，7(/)=7•(8)=2.

■8131'-1-312--1-312

-42-2-20-5130-513

(45)=一f

1-312025-5-150000

17-1-4010-2-60000

7，(/)=r(B)=2=r(4B),

即向量组5能由“线性表示，向量组N能由5线性表示.

「公出『田1综上，向量组,与向量组5等价•

［参考答案］

设向量组%%.外线性无关，问常数s"满足什么条件时，向量组

0bl-s%.2cLi也线性无关？

向量组名.生.生线性无关，

即向量组%%,6的秩为3,I%%*引W0.

--503'

向量组［4-5%26+6.3《一@］=［%4.。3］110

02-/

设向量组％-s«,2al+%,3«-7%也线性无关，则

向量组生-s%2%+生,3«-ta3的秩为3.

即|%-s%20+/,3%|。0.

-503

故110H0，展开得s/+6wO,sfW-6.

02T

综上，S/H-6时，向量组%-s%2生+6.3«!一但线性无关.

［参考答案］

6

12253

23-526-4

求向量组q=,a、=.4=q=，里=

3—48-91

—41—3-122

的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示.

将向量组转为矩阵形式,

/

12253、

23-526--4

3-48-91

-41-3-122,

"12253

0-1-916-10

->

0-102-24

、095814

’12253、005-r

019-161001021

一

001-21001-21

、00000,o00o>

于是%.%.生为原向量组的一个极大无关组,

且区=5a+2a—2a.a=-a+a+«.

［参考答案］

r

设丹=q•丹=«+%.…,0=a+%+…+4且向量组%a,

线性无关，证明向量组以.旦・…・月线性无关.

已知的r个等式可以写成

T11、

011,记为5=WfiT.

(A，旦,，，、艮)=

、00

因为|K|=1二O,K可逆,所以RCB)=R(/)=r,

从而向量组女.广、.….以线性无关.

［参考答案］

设向量组分别为(。，3,以,(2也3)T,Q2,1)T,(2,3,1)T,

其向量组的秩为2,求。,人

由题可知名=(43.1)7,6=(2»,3尸,生=。,2,1尸,04=(2,3,1)7.

因为

’12a2、113、

(生..%%)=233b二01a-1-1

1113/、011b-6,

rl113、

I01a-1-1

、002-a

而厂(区.4,%%)=2,所以aF=2,b-=5.

［参考答案］

9

设,4为〃阶矩阵(〃22).,4*为.4的伴随阵，证明

n,r{A)=n.

7(4*)=<L7(.4)=77-1,

0.r(A)<n-2.

当7，(/)=〃时，|A\^0,

故有|^4*|=||A\E\=\A\^0,|.4*|^0,所以r(/*)=n.

当r(Z)=〃T时，|N|=0,故有44*=|,4|E=O,

即A*的列向量都是方程组Ax=O的解.

因为r(N)=〃T,

所以方程组Nx=0的基础解系中只含一个解向量，

即基础解系的秩为1,因此R(N*)=L

当r(A)<〃-2时，N中每个元素的代数余子式都为0.

故N*=O,从而r(N*)=0.

［参考答案］

10

设有向量组4：q=32*10)7,%=(-2,1,5)。生=(一1,1,4)"

及尸=(1，瓦-1)。问a)为何值时：

(1)向量,不能由向量组，线性表示：

(2)向量夕能由向量组/线性表示，且表示式唯一；

(3)向量)能由向量组N线性表示，且表示式不唯一，并求一

般表示式.

-1-2a1、-1-2ai、

(%/：4向=112b0-12+a6+1

、4510口、004+a一3九

(1)故可得当。=~4,》工0时,r(Z)wr(4向,

此时向量尸不能由向量组A线性表示.

(2)故可得当a#-4时，r(/)=r(4£)=3,

此时向量组里,生，