专题21 圆中的计算与证明经典综合大题专训（六大题型）（原卷版）

第二十四章圆专题21圆中的计算与证明经典综合大题专训（六大题型）【题型目录】题型一圆的对称性相关的综合大题题型二确定圆的条件相关的综合大题题型三圆周角的综合大题题型四直线与圆的位置关系相关的综合大题题型五正多边形与圆相关的综合大题题型六弧长及扇形面积综合大题【经典例题一圆的对称性相关的综合大题】1．（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，C，D是直径上的两点，且，交于C、D，点E，G，F，H在上．(1)若，求半径；(2)求证：；(3)若C，D分别为的中点，则成立吗？请说明理由．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1，是的弦，点C在外，连接、分别交于D、E，(1)求证：．(2)如图2，过圆心O作，交于P、Q两点，交、于M、N两点，求证：．(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，，若，，求弦的长．3．（2023·全国·九年级专题练习）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下图，直线l1l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；【尝试应用】如图2，在半径为5的中，，，，用含x的代数式表示；【拓展提高】如图3，是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交于点E，若，，求的半径．4．（2023秋·浙江温州·九年级期末）已知，、是的两条弦，，过圆心作于点．（1）如图1，求证：．（2）如图2：当、、三点在一条直线上时，求的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，点为劣弧上一点，，，连结、交于点，求和的长．5．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）请阅读下面材料，并完成相应的任务．阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），．M是的中点，则从点M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．

这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程．证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接．∵M是的中点，∴．任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，已知等边三角形内接于，D为上一点，．于点E，，连接，求的周长．【经典例题二确定圆的条件相关的综合大题】6．（2023·陕西·模拟预测）新定义：如图1（图2，图3），在中，把边绕点A顺时针旋转，把边绕点A逆时针旋转，得到，若，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．【特例感知】(1)①若是等边三角形（如图2），，则______________．②若（如图3），，_____________．【猜想论证】(2)在图1中，当是任意三角形时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点作且，连接，则四边形是平行四边形）【拓展应用】(3)如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且与不平行，，是的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长．7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．解：设，则原方程变为，整理得，，所以，因为，所以,上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．(1)已知实数x、y满足，求值；(2)已知的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足，外接圆的半径．8．（2023春·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校考阶段练习）抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点D（m，3）在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BC、BD，点P在对称轴左侧的抛物线上，若∠PBC＝∠DBC，求点P的坐标；(3)如图2，点Q为第四象限抛物线上一点，经过C、D、Q三点作⊙M，⊙M的弦QF∥y轴，求证：点F在定直线上．9．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）．（1）如图1．当时，的面积为；（2）直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点．①如图2，当时，若直线，求的长度；②如图3，当时，在直线l变化过程中．请直接写出面积的最大值．10．（2023春·八年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t．（1）若△ABE的面积为30，直接写出S的值；（2）求证：AE平分∠DAF；（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．【经典例题三圆周角的综合大题】11．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．

知识回顾(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．①求的度数；②若的半径为5，，求的长；逆向思考(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；拓展应用(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．12．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1，⊙的直径的长为16，为半圆的中点，为劣弧上的一动点，和的延长线交于点，过点作的垂线交的延长线于点．

(1)求证：．(2)以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，则点的坐标为，设点的坐标为，若，是方程的两根，求的值．(3)若，求的值．13．（2023·江苏·九年级假期作业）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．

(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，C是劣弧的中点，直线于点E，则．请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．C是劣弧的中点，直线于点E，则．可以通过延长、相交于点F，再连接证明结论成立．请写出证明过程；(3)如图3，，组成的一条折弦．C是优弧的中点，直线于点E，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．14．（2023·江苏·九年级假期作业）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿拉伯（973年～1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．证明：如图2，在上截取，连接和．∵是的中点，∴…

任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图（3），已知等边△ABC内接于为圆上一点，，与点，则的周长是．15．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，内接于，连接，．

(1)如图1，求证：；(2)如图2，点在上，连接，点是上一点，连接，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，，求的长．【经典例题四直线与圆的位置关系相关的综合大题】16．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，是的直径，弦交于点E，且．(1)根据题干信息，请用尺规作图作出点F（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：是的切线；(3)若的半径为5，，且，求的长17．（2023·山东·九年级专题练习）已知：射线平分，为上一点，交射线于点，，交射线于点，，连接，，．

(1)如图1，若，试判断四边形的形状，并说明理由；(2)如图2，过点作，交于点；过点作，交于点．求证：．18．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图，内接于，且为的直径，的平分线交于点，过点在左侧作交的延长线于点，过点作于点．

(1)求证：；(2)求证：是的切线；(3)若，，求线段的长．19．（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）课本再现（1）在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补．课本中先从四边形一条对角线为直径的特殊情况来论证其正确性，再从对角线是非直径的一般情形进一步论证其正确性，这种数学思维方法称为“由特殊到一般”如图1，四边形为的内接四边形，为直径，则__________度，__________度．（2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补．知识运用（3）如图4，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点．点是线段的中点，连接，求证：是的切线．

20．（2023·浙江宁波·校联考一模）等腰三角形中，且内接于圆O，D、E为边上两点（D在F、E之间），分别延长、交圆O于B、C两点（如图1），记，．

(1)求的大小（用α，β表示）；(2)连接，交于H（如图2）．若，且．求证：；(3)在（2）的条件下，取中点M，连接、（如图3），若，①求证：，；②请直接写出的值．【经典例题五正多边形与圆的相关的综合大题】1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，．

(1)求证：是的切线；(2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________．2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，点、都在格点上，以为圆心，为半径做圆，只用无刻度的直尺完成以下画图．(1)在图①中画的一个内接正四边形，___________；(2)在图②中画的一个内接正六边形，__________．4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．5．（2023·江苏·九年级假期作业）[阅读与思考]如图①，在正三角形中，点，是，上的点，且，则，；如图②，在正方形中，点，是，上的点，且，则，；如图③，在正五边形中，点，是，上的点，且，则，；[理解与运用]在正六边形中，点，是，上的点，且，则，；在正十边形中，点，是，上的点，且，则，；[归纳与总结]根据以上规律，在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是，上的点，且，与相交于；也会有类似的结论，你的结论是．6．（2023·江苏·九年级假期作业）【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．【经典例题六弧长及扇形的面积综合大题】1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，内接于，，，，．(1)度数．（直接写出答案）(2)求的长度．(3)是上一点（不与，，重合），连结．①若垂直的某一边，求的长．②将点A绕点P逆时针旋转后得到，若恰好落在上，则的长度为．（直接写出答案）2．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图所示，在中，，，在上取点，以为圆心，以为半径作圆，与相切于点，并分别与，相交于点，（异于点）．(1)求证：平分；(2)若点恰好是的中点，求扇形的面积．3．（2023·江苏无锡·校考二模）如图，是半圆的直径，是半圆上的一点不与，重合，连接，点为弧的中点，过点作，交的延长线于点．

(1)求证：是半圆的切线；(2)若，，求阴影部分的面积．4．（2023·江苏南通·统考一模）如图，在中，，，点D在上，以为直径的与相切于点E，与相交于点F，(1)求CF的长度；(2)求阴影部分的面积．．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）正方形与扇形有公共顶点O，分别以，所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．如图所示．正方形两个顶点C、D分别在x轴、y轴正半轴上移动．设，，(1)当时，正方形与扇形不重合的面积是______；此时直线对应的函数关系式是______；(2)当直线与扇形相切时．求直线对应的函数关系式；(3)当正方形有顶点恰好落在上时，求正方形与扇形不重合的面积．6．（2023·江苏无锡·九年级专题练习）如图，在中，，平分交于D点，O是上一点，经过B、D两点的分别交、于点E、F．(1)用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：与相切：(3)当，时，求劣弧的长．【经典例题七圆锥的侧面积综合大题】1．（2023春·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角．(1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；(2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）2．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（-4，4）、C（-6，2），请在网格图中进行如下操作：（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为_____________；（2）连接AD、CD，则的半径长为______（结果保留根号），的度数为___________；（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）3．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作：（1）利用网格