备战2023年中考数学一轮复习专项训练专题06四点共圆(解析版)

专题06四点共圆（专项训练）1．（2021秋•渝北区期末）如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE为80°，则∠ADC度数为（）A．80° B．40° C．100° D．160°【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠ABE＝80°，故选：A．2．（2021秋•滨湖区期中）如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（）A．4 B．8 C．10 D．6【答案】A【解答】解：如图，连接AC，BD，在AC上取点M使DM＝DC，∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∴A，B，C，D，四点共圆，∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴∠ABD＝∠ACD＝60°，∵DM＝DC，∴△DMC是等边三角形，∴∠ADB＝∠ACD＝60°，∴∠ADM＝∠BDC，∵AD＝BD，∴△ADM≌△BDC（SAS），∴AM＝BC，∴AC＝AM+MC＝BC+CD，∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，且AD＝AB＝6，∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大，此时C点在的中点处，∴∠CAB＝30°，∴AC的最大值＝AB×cos30°＝4，∴CB+CD最大值为AC＝4，故选：A．3．（2022•靖江市二模）如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为．【答案】【解答】解：连接BD并延长，如图，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∠EDF＝90°，∴∠ABC+∠EDF＝180°，∴B，E，D，F四点共圆，∵△DEF为等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∴∠DBF＝∠DEF＝45°，∴∠DBF＝∠DBE＝45°，∴点D的轨迹为∠ABC的平分线上，∵垂线段最短，∴当AD⊥BD时，AD取最小值，∴AD的最小值为AB＝，故答案为：．4．如图，△ABC和△BCD均为直角三角形，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝2，连接AD．若∠ADB＝30°，则AC的长为．【答案】【解答】解：∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴A，B，C，D四点共圆，∵∠ADB＝30°，AB＝2，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，∴BC＝2AB＝4，∴AC＝．故答案为：．5．如图，在四边形ABCD中，BD＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD面积的最大值为．【答案】18【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A，C两点在以BD为直径的圆上，∴当AB＝AD，CB＝CD时，四边形ABCD面积最大，∵BD＝6，∴AB＝AD＝CB＝CD＝3，∴四边形BCD的面积为3××＝18．故答案为：18．6．如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，则AD的最大值为．【答案】6【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝45°，∴A，C，D，B四点共圆，如图，作⊙O经过A，C，D，B四点，当AD（D′）为直径时，AD有最大值，∵∠ADC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OC，∴△AOC是等腰直角三角形，∵AC＝6，∴AO＝6×＝3，∴AD′＝2AO＝6，即AD的最大值为6．故答案为：6．7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E，F分别为AB，AC边上的点，且∠EDF＝90°，连接EF，则∠DEF的度数为．【答案】45°【解答】解：如图，连接AD，∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，而∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴DE＝DF，而∠EDF＝90°，∴∠DEF＝∠DFE＝45°．故答案为：45°．8．（2022秋•萧山区月考）如图，以C为公共顶点的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且点D在线段AB上，则∠ABE＝30°，若AC＝10，CD＝9，则BE＝．【答案】【解答】解：∵∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，∴∠DBC＝∠DEC＝60°，∴B、C、D、E四点共圆，∴∠DBE＝∠DCE＝30°，∴∠ABE＝30°，设BC＝x，则AB＝2x，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，∵AC＝10，∴（2x）2＝102+x2，解得：x＝，∴BC＝，设DE＝a，则CE＝2a，在Rt△CED中，由勾股定理得CE2＝DE2+CD2，∵CD＝9，∴（2a）2＝a2+92，解得：a＝，∴DE＝，CE＝，∵∠ABC＝60°，∠ABE＝30°，∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，在Rt△CBE中，由勾股定理得＝．9．（2021秋•宽城区期末）【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连结AB、AC．（1）在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为．【解答】解：【问题原型】（1）∠A的度数不发生变化，理由如下：∵，∠BOC＝90°，∴；（2）当AC为⊙O的直径时，AC最大，在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，根据勾股定理，得OB2+OC2＝BC2，∵OB＝OC，∴，∴，即AC的最大值为；【问题拓展】如图，画△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，ON，则ON⊥BC，∠BON＝60°，BN＝BC＝2，∴OB＝，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN＝AC，∴AC为直径时，AC最大，此时AC＝2OB＝，∴MN最大值为，故答案为：．10．（2022秋•仪征市期中）【问题提出】苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：1．如图（1），在⊙O的内接四边形ABCD中，BD是⊙O的直径．∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？2．如图（2），若圆心O不在⊙O的内接四边形ABCD的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？（1）小明发现问题1中的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：∵BD是⊙O的直径，∴，∴∠A+∠C＝180°，∵四边形内角和等于360°，∴．（2）请回答问题2，并说明理由；【深入探究】如图（3），⊙O的内接四边形ABCD恰有一个内切圆⊙I，切点分别是点E、F、G、H，连接GH，EF．（3）直接写出四边形ABCD边满足的数量关系；（4）探究EF、GH满足的位置关系；（5）如图（4），若∠C＝90°，BC＝3，CD＝2，请直接写出图中阴影部分的面积．【解答】解：【问题提出】（1）∵BD是⊙O的直径，∴∠A＝∠C＝90°，∴∠A+∠C＝180°，∵四边形内角和等于360°，∴∠ABC+∠ADC＝180°；故答案为：∠A＝∠C＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°；（2）成立，理由如下：连接AC、BD，∵∠DAC＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，∴∠DAC+∠ACD＝∠DBC+∠ABD＝∠ABC，∵∠DAC+∠ACD+∠ADC＝180°，∴∠ABC+∠ADC＝180°；同理，∠BAD+∠BCD＝180°；【深入探究】（3）AD+BC＝AB+CD，理由如下：连接AI、BI、CI、DI，∵圆I是四边形ABCD的内切圆，∴AG＝AE，DE＝DH，CH＝CF，BF＝BG，∴AD+BC＝AE+ED+BF+CF＝AG+DH+BG+CH＝AB+CD，即AD+BC＝AB+CD，故答案为：AD+BC＝AB+CD；（4）EF⊥GH，理由如下：连接EH、IH、IG、IF、GF，∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，∵BG⊥IG，IF⊥BF，∴∠BGI＝∠IFB＝90°，∴∠B+∠GIF＝180°，∴∠GIF＝∠D，∵GI＝IF，∴∠GFI＝90°﹣∠GIF，∵ED＝DH，∴∠DEH＝90°﹣∠D，∴∠GFI＝∠DEH，∵＝，∴∠GFE＝∠GHE，∴∠GHE＝∠GFI+∠IFE，∵IF＝IE，∴∠IFE＝∠IEF，∴∠FEH+∠EHG＝∠FEH+∠IEF+∠DEH＝∠EID＝90°，∴EF⊥GH；（5）连接BD，∵∠C＝90°，∴∠A＝90°，∵ABCD是圆O的内接圆，∴BD是圆O的直径，连接IF、IH，∵I是四边形ABCD的内切圆圆心，∴∠ADI＝∠IDH，∠ABI＝∠FBI，∵IH⊥CD，IF⊥BC，∴∠BIF＝90°﹣∠IBF，∠DIH＝90°﹣∠IDH，∴∠BIF+∠DIH＝180°﹣（∠IBF+∠IDH）＝180°﹣（∠ADC+∠ABC），∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BIF+∠DIH＝90°，∵IF⊥FC，IH⊥CD，∠C＝90°，IH＝IF，∴四边形IHCF是正方形，∴∠HIF＝90°，∴I点在BD上，∵BC＝3，CD＝2，∴S四边形ABCD＝3×2＝6，∵∠DIH+∠IDH＝90°，∠IBF+∠IDH＝90°，∴∠DIH＝∠IBF，∵∠IHD＝∠IFB＝90°，∴△DHI∽△IFB，∴＝，即＝，解得IH＝，∴S⊙I＝π，∴阴影部分的面积＝6﹣π．10．（2022•遵义）综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）∴点A，B，C，D四点在同一个圆上反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：；依据2：．（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为．拓展探究：（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．【解答】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆，故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；（2）解：∵∠1＝∠2，∴点A，B，C，D四点在同一个圆上，∴∠3＝∠4，∵∠3＝45°，∴∠4＝45°，故答案为：45°；（3）①证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵点E与点C关于AD的对称，∴AE＝AC，DE＝DC，∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，∴∠AED＝∠ACB，∴∠AED＝∠ABC，∴A，D，B，E四点共圆；②解：AD•AF的值不会发生变化，理由如下：如图4，连接CF，∵点E与点C关于AD的对称，∴FE＝FC，∴∠FEC＝∠FCE，∴∠FED＝∠FCD，∵A，D，B，E四点共圆，∴∠FED＝∠BAF，∴∠BAF＝∠FCD，∴A，B，F，C四点共圆，∴∠AFB＝∠ACB＝∠ABC，∵∠BAD＝∠FAB，∴△ABD∽△AFB，∴＝，∴AD•AF＝AB2＝8．11．如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，CE＝BE，过点E作EF⊥AC于点F，FE的延长线交AB的延长线于点G，连接DE．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）求证：EG2＝AG•BG；（3）若BG＝1，EG＝，求sin∠CDE的值．【解答】（1）证明：连接OE，∵CE＝BE，OA＝BO，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∵E点在圆O上，∴FG是⊙O的切线；（2）证明：∵OE⊥GF，∴∠OEG＝90°，∴OG2＝OE2+EG2，∵EG2＝OG2﹣OE2＝（OG+OE）（OG﹣OE），∵E