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文档简介

一、准则I及个重要极限二、准则II及个重要极限§1.6两个重要极限

下页铃返回首页2021/5/91一、准则I

及第一个重要极限

如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件

(1)yn

xn

zn(n=1

2

3

)

准则I（夹逼定理）准则I

如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件

(1)g(x)

f(x)

h(x)

(2)limg(x)

A

limh(x)

A

那么limf(x)存在

且limf(x)

A

下页那么数列{xn

}的极限存在,

且¥®nlimxn=a

.

那么数列{xn

}的极限存在,

且¥®nlimxn=a

.

2021/5/92第一个重要极限

显然BC

AB

AD

(因此sinx

x

tanx

DB1OCAx

简要证明

参看附图

设圆心角

AOB=x

下页2021/5/93应注意的问题

这是因为

令u=a(x)

则u

0

于是第一个重要极限下页2021/5/94

例1

解:

解:

例2

下页2021/5/95

例3

解:

解:

例4

下页2021/5/96

例5

解:下页2021/5/97

例6

解:首页2021/5/98二、准则II

及第二个重要极限单调数列

如果数列{xn}满足条件x1

x2

x3

xn

xn+1

就称数列{xn}是单调增加的

如果数列{x

n}满足条件x1

x2

x3

xn

xn+1

就称数列{xn}是单调减少的

单调增加和单调减少数列统称为单调数列

下页2021/5/99准则II

单调有界数列必有极限

前面曾证明

收敛的数列一定有界

但有界的数列不一定收敛

现在准则II表明

如果数列不仅有界

并且是单调的

那么这个数列一定是收敛的

说明下页2021/5/910

可以证明数列{xn}是单调有界的,根据准则II

数列{xn}必有极限,

这个极限我们用e来表示,

即第二个重要极限e是个无理数

它的值是e=2

718281828459045

指数函数y=ex及对数函数y=lnx

中的底就是常数e

下页2021/5/911第二个重要极限

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