七年级数学考点大串讲（人教版）：专题02有理数计算常用技巧与方法（方法清单）（6个题型解读+提升训练）（原卷版）

专题02有理数常用技巧与方法（方法清单）（6个题型解读+提升训练）【方法清单】有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。一、四个原则1.整体性原则:乘除混合运算统一化乘，统一进行约分;加减混合运算按正负数分类分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。2．简明性原则:计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来:运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。3口算原则:在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。4分段同时性原则:对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算二、运算技巧题型一：巧用凑整法计算将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消。将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率【例1】（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）【变式】(1)31＋(－28)＋28＋69；(2)16＋(－25)＋24＋(－35)；(3)(＋6eq\f(3,5))＋(－5eq\f(2,3))＋(4eq\f(2,5))＋(1＋1eq\f(2,3))．题型二：运用拆项法计算将一个数分解成几个数和的形式.或分解为它的因数相乘的形式。【例2】（2022秋·湖南邵阳·七年级统考期中）阅读：对于，可以按如下方法计算：原式＝＝＝．上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算：．【变式】阅读下面文字：对于()＋()＋17＋()，可以按如下方法计算：原式＝[(-5)+()]＋[(－9)＋()]＋()＋[(-3)+()]＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[()＋()＋＋()]＝0＋()＝－1.上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036.题型三：巧用组合法计算运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。【例3】计算：(1)－9.2－(－7.4)＋9eq\f(1,5)＋(－6eq\f(2,5))＋(－4)＋|－3|；(2)－14eq\f(2,3)＋11eq\f(2,15)－(－12eq\f(2,3))－14＋(－11eq\f(2,15))；(3)eq\f(2,3)－eq\f(1,8)－(－eq\f(1,3))＋(－eq\f(3,8))．题型四：巧用裂项相消法计算凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法【例4】（2022秋·全国·七年级期中）观察下列等式将以上三个等式两边分别相加得：并完成下列问题：（1）填空：；（2）填空：；（3）探究并计算：．【变式】先观察下列各式：；；；…；，根据以上观察，计算：…的值．题型五：正逆用分配律计算正难则反逆用运算定律以简化计算乘法分配律a(b+c)-ab+ac在运算中可简化计算，而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立有时逆用也可使运算简便。在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快.【例5】（2022秋·安徽马鞍山·七年级马鞍山八中校考期中）计算：(1)(2)题型六：巧用倒数法计算解答此类题目,交换被除数和除数的位置得到原式的倒,先计算出倒数的值,然后求出原数即可。【例6】（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）用常规方法计算时比较麻烦，小东想了一个办法：先将该式的被除数和除数交换位置，先算出后，再利用倒数意义求出算式你认为小东的方法正确吗？若正确，请用这种方法计算．若不正确，请说明理由．【变式】（2023秋·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：计算．解法一：原式．解法二：原式．解法三：原式的倒数为．故原式．(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的．(2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：题型七：倒序相加法计算利用运算律，改变运算顺序,简化计算【例7】（2022秋·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）【材料阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程：解：设，①则．②①＋②，得（即左右两边分别相加）：．所以，．所以，．后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题：(1)计算：_________；(2)猜想：__________并利用“倒序相加法”说明理由．(3)利用（2）中的结论，计开：．【变式】（2021秋·山东菏泽·七年级统考期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从到这个正整数的和"，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程：解：设，①则，②①②，得．，③．后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：；（2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想（用含的代数式表示）；（3）计算：．题型八：借用图形面积计算【例8】（2022秋·山东青岛·七年级统考期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：数学问题，计算(其中是正整数，且，)．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；……第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：．探究二：计算．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，……第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．根据第n次分制图可得等式：，两边同除2，得，探究三：计算．(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)解决问题．计算．(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．(1)根据第n次分割图可得等式：___________．(2)所以，___________．(3)拓广应用：计算___________．【提升训练】1．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）2．（2022秋·黑龙江鸡西·七年级校考期中）用简便算法计算：(1)；(2)．3.计算：（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；（2）11－12+13－15+16－18+17；（3）（4）（5）；（6）4.(1)(2)(4)(5)5．（2022秋·山西朔州·七年级校考期中）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多计算：(1)；(2)．6．（2022秋·四川达州·七年级校考期中）观察下列等式将以上三个等式两边分别相加得：．(1)猜想并写出：＝；(2)直接写出下列各式的计算结果：＝；(3)探究并计算：．7．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）观察下列等式：，，将以上三个等式的两边分别相加得：(1)计算：（直接写结果）(2)计算：（直接写结果）(3)探究并计算：①；②．8．（2022秋·四川遂宁·七年级校考期中）观察下列等式将以上三个等式两边分别相加得：并完成下列问题：(1)填空：___________(2)填空：___________(3)探究并计算：9．（2022秋·福建漳州·七年级校联考期中）阅读材料，回答下列问题．通过计算容易发现：①；②；③；……(1)观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式：________．(2)通过观察，计算的值________．（直接写出结果）(3)探究上述的运算规律，试计算的值．10．（2022秋·山东德州·七年级校考期中）阅读下面的文字，完成解答过程．(1)，，，……按照等号右边的形式直接写出结果：________；(2)尝试并计算：+++···；(3)根据上述方法计算：+++···；(4)[拓展]观察：，，……计算：++···+；11．（2022秋·四川巴中·七年级统考期中）阅读下面的计算方法：计算：解：原式上面的解法叫拆项法．请你运用这种方法计算：．12．（2022秋·湖南永州·七年级统考期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题：小明的解法：原式小红的解法：原式的倒数为故原式你觉得________的解法更好．请你用自己喜欢的方法解答下面的问题：计算：13．（2022秋·四川达州·七年级四川省达川第四中学校联考期中）观察下列等式＝1﹣，＝﹣，＝﹣，将以上三个等式两边分别相加得++＝1﹣+﹣+﹣＝1﹣＝．（1）猜想并写出；（2）+++…+＝；（3）探究并计算：；（4）计算：．14．（2020秋·河北衡水·七年级校考期中）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程解：设，①则，②①+②，得．（两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于100个101的和）∴，③∴．后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：；（2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想________（用含的代数式表示）；（3）计算：．15．（2021秋·山东威海·六年级统考期中）【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经