重庆市七校2024届高三上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市七校2024届高三上学期开学考试数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题1已知集合，，且，则实数（）A. B.1 C.或1 D.0〖答案〗A〖解析〗∵集合，，，∴由集合元素的互异性及子集的概念可知，解得实数．故选：A．2.命题的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗量词命题的否定步骤为：“改量词，否结论”，所以命题的否定为.故选：C.3.定义在R上的奇函数f（x）满足，当时，，则（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以的周期为4，令，则，又为奇函数，所以，∴，，，∴.故选：B.4.若随机变量，且，则的值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，解得：；.故选：B.5.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗设,则函数在上递增，且，因为在区间上单调递增，所以函数在上单调递增，又因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，可得函数的递增区间为，由，可得，即实数的取值范围为，故选C.6.若,则在“函数的定义域为”的条件下,“函数为奇函数”的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗用所有的有序数对表示满足的结果，则所有的情况为:,共9种,记“函数的定义域为”为事件A,因为函数的定义域为,所以,恒成立,即,即,其中满足的基本事件有:共6种,故．记“函数为奇函数”为事件B．已知是奇函数,且定义域为,则,即,即,解得或．满足或的情况有共3种,所以,即同时满足事件A和事件B的情况有共3种,故,所以.故选:C7.已知，则的最小值是（）A.1 B.4 C.7 D.〖答案〗C〖解析〗∵，∴当且仅当时等号成立.故选：C.8.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b〖答案〗A〖解析〗由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.二、多选题9.为研究女儿身高与母亲身高的关系，现经过随机抽样获得成对样本数据，，下列说法正确的是（）A.落在回归直线上的样本点越多，回归直线方程的拟合效果越好B.样本相关系数越大，变量线性相关程度越强C.决定系数越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越好D.决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好〖答案〗BD〖解析〗对于A：回归直线方程拟合效果的好坏是由决定系数来判断的，故A错误；对于B：因为，且相关系数越接近，变量线性相关程度越强，故B正确；对于C：决定系数越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差，故C错误；对于D：决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故D正确.故选：BD．10.已知的展开式中共有7项，则（）A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为1C.二项式系数最大的项为第4项D.有理项共4项〖答案〗ACD〖解析〗因为的展开式中共有7项，所以，对于A，所有项的二项式系数和为，所以A正确，对于B，令，则所有项的系数和为，所以B错误，对于C，由于二项式的展开项共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，所以C正确，对于D，的展开式的通项公式为，当时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，所以D正确，故选：ACD11.一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫､6只白猫，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫，猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第只出笼的猫是黑猫”，，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由题，，事件表示“第1，2只出笼的猫都是黑猫”，则，故A错误；事件表示“第1只或第2只出笼的猫是黑猫”，则，故B正确；则，故C正确；事件表示“第2，10只出笼的猫是黑猫”，则，则，故D正确，故选：BCD12.已知函数在R上可导，其导函数满足，，则（）A.函数在上为增函数 B.是函数的极小值点C.函数必有2个零点 D.〖答案〗BD〖解析〗函数，则，当时，，，故在上为增函数，A错误；当时，，，故在单调递减，故是函数的极小值点，B正确；若，则没有零点，故C错误：在上为增函数，则，即，化简得，D正确.故选：BD第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题13.不等式恒成立，则实数的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗由题意，当时，不等式恒成立；当时，不等式恒成立，则满足，即，解得，综上可得，实数的取值范围是.故〖答案〗为：.14.成都将于2023年7月28日至8月8日举办第31届世界大学生夏季运动会．若将6名志愿者分到3个场馆，一个1名，一个2名，一个3名，则有_________种不同的分法．〖答案〗360〖解析〗根据先选后排的方法，即先从6人中选出3人成一组，再从剩下的3人选出两人成一组，最后1人自成一组，然后再进行全排列，则知共有.故〖答案〗为：360.15.已知随机变量,且，若,则的最小值为_________．〖答案〗〖解析〗，可得正态分布曲线的对称轴为，又，，即．则，当且仅当，即时，等号成立.故〖答案〗为：.16.定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的个数是________．〖答案〗11〖解析〗因为，所以，则的周期为2，又为偶函数，且当时，，所以可利用的周期性与奇偶性作出的大致图像，因为是定义在上的奇函数，当时，，所以函数与函数的大致图像如图所示，考虑特殊位置，当时，；当时，；当时，；又函数的零点个数即函数与函数图像的交点个数，所以由图像可知函数与函数图像的交点个数为11个.故〖答案〗为：11.四、解答题17.已知非空集合．（1）若，求．（2）若“”是“”的既不充分也不必要条件，求a的取值范围．解：（1）因为，所以，因为或，所以，故．（2）因为“”是“”的既不充分也不必要条件，所以，同时不是的子集，也不是的子集，因为，，所以，则，又或，所以必不是的子集，因为不是的子集，所以，解得，又，故，所以a的取值范围为．18.实验杯足球赛采用七人制淘汰赛规则，某场比赛中一班与二班在常规时间内战平，直接进入点球决胜环节，在点球决胜环节中，双方首先轮流罚点球三轮，罚中更多点球的球队获胜；若双方在三轮罚球中未分胜负，则需要进行一对一的点球决胜，即双方各派处一名队员罚点球，直至分出胜负；在前三轮罚球中，若某一时刻胜负已分，尚未出场的队员无需出场罚球（例如一班在先罚球的情况下，一班前两轮均命中，二班前两轮未能命中，则一班、二班的第三位同学无需出场）.由于一班同学平时踢球热情较高，每位队员罚点球的命中率都能达到0.8，而二班队员的点球命中串只有0.5，比赛时通过抽签决定一班在每一轮都先罚球.（1）定义事件为“一班第三位同学没能出场罚球”，求事件发生的概率；（2）若两队在前三轮点球结束后打平，则进入一对一点球决胜，一对一球决胜由没有在之前点球大战中出场过的队员主罚点球，若在一对一点球决胜的某一轮中，某对队员射入点球且另一队员未能射入，则比赛结束；若两名队员均射入或者均射失点球，则进行下一轮比赛.若直至双方场上每名队员都已经出场罚球，则比赛亦结束，双方通过抽签决定胜负，本场比赛中若已知双方在点球大战，以随机变量记录双方进行一对一点球决胜的轮数，求的分布列与数学期望.解：（1）（2）随机变量的可取值为1，2，3，4，，，故随机变量的分布列如下：则的数学期望为：（轮）19.国防科技大学是我国军事学院的最高学府，被称为“军中清华”学校拟计划对今年招收的部分新生做一个测试，抽取40名新生对关于报考志愿的首要考虑因素进行调查，所得统计结果如下表所示：男生女生总计以祖国的国防事业为首要考虑因素1026以实现自己的军人梦为首要考虑因素4总计2040（1）完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为新生报考志愿的首要考虑因素与性别有关；（2）若测试调查共设置2个环节，新生需要参加全部环节的测试，每个环节设置两个项目，若新生每通过一个项目积2分，未通过积分．已知新生甲第1环节每个项目通过的概率均为第2环节每个项目通过的概率为，各环节、各项目间相互独立．求甲经过两个环节的测试后所得积分之和的分布列和数学期望．参考公式：，其中．参考数据：0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828解：（1）补充2×2列联表如下所示：男生女生总计以祖国的国防事业为首要考虑因素101626以实现自己的军人梦为首要考虑因素10414总计202040∴∴有95%的把握认为“新生报考志愿的首要考虑因素与性别有关”（2）ξ的所有可能取值为，2，5，8，，，，.所以，的分布列为ξ258P∴20.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程（2）若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围解：（1）因为，所以.所以又所以曲线在点处的切线方程为即.（5分）（2）由题意得，，所以.由，解得，故当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以.又，，若函数恰有两个零点，则解得.所以实数的取值范围为.21.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度℃关于时间的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图．73.53.85表中：（1）根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的回归方程：（3）已知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据（2）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：②参考数据：．解：（1）根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此，选②更适宜此散点的回归方程.（2）由有：，