建筑力学教学课件 第15章力法及利用对称性计算超静定结构的内力

建筑力学CONTENTS目录力法利用对称性计算超静定结构的内力超静定结构在温度变化和支座移动情况下的内力计算15.115.215.3第15章力法及利用对称性计算超静定结构的内力PART15.1力法15.1力法

力法求解超静定结构即以多余未知力作为基本未知量。一旦求出基本未知量，其余未知量即可全部求出。15.1.1力法的基本原理力法的基本思路是将一个未知问题转化为已知问题来解决。对于超静定结构，力法的计算思路是将超静定结构转化为静定结构进行分析计算。15.1.1力法的基本原理

1.基本结构和基本未知量如图15-1（a）所示，原结构为一端固定，另一端铰支的超静定梁。该梁有一个多余约束，为一次超静定结构。在图示荷载的作用下，结构的变形如较长15-1（a）中的虚线所示。若去掉B支座的链杆，以多余力X1代替，可得到图15-1（b）所示的由荷载和未知反力X1共同作用下的静定悬臂梁，即原结构的基本结构。此时，基本结构与原结构受力相同。显然，只要求出多余未知力X1，则原结构的计算问题就可由静定的基本结构来解决。因此，力法的基本未知量就是多余未知力。15.1.1力法的基本原理

2.力法方程对于图15-1（a）所示的原结构，X1是荷载作用下B支座的反力，具有固定值；对于图15-1（b）所示的静定结构，X1已成为主动力，若仅从平衡的角度来考虑，只要能满足强度条件，不论X1取何值，都可得出一组反力或内力，即都能满足平衡条件。图15-1力法方程推导用图15.1.1力法的基本原理因此，要确定X1，必须考虑变形条件来建立补充方程。由于图15-1（b）所示的基本结构的受力、变形和原结构是一致的，在原结构中B点的竖向位移等于零，因此在基本结构中，在未知反力X1和荷载的共同作用下，B点产生的竖向位移Δ1也应等于零。设Δ11为未知力X1引起的B点的竖向位移，Δ1P为荷载引起的B点的竖向位移，如图15-1（c）、（d）所示。根据叠加原理，有

Δ1=Δ11+Δ1P=0（15-1）式（15-1）称为变形协调条件，它是基本结构与原结构等同的条件，也是确定多余未知力大小的依据。15.1.1力法的基本原理由于X1是未知力，为了求得X1，令X1=1，X1所引起的X1方向上的位移为δ11

，于是有Δ11=δ11X1，则

δ11X1+Δ1P=0（15-2）式（15-2）为一次超静定结构的力法方程。在力法方程中，δ11称为力法方程系数，Δ1P称为力法方程的自由项，它们都是静定结构的位移，可用单位荷载法或图乘法进行计算。15.1.1力法的基本原理对于如图15-1（a）所示的一次超静定梁，为具体计算出δ11和Δ1P,应先分别作出基本结构在荷载单独作用下的MP图和基本结构在X1=1单独作用下的图，分别如图15-2（a）、（b）、（c）、（d）所示。应用图乘法得15.1.1力法的基本原理计算结果为正数，表示反力X

1的实际方向与假设方向相同。求出多余力后，用静力平衡方程即可求出其反力和内力。根据叠加法绘出弯矩图，任意截面弯矩的叠加公式为M=X1+MP（15-3）叠加后的弯矩图如图15-2（f）所示，根据弯矩图作出的剪力图如图15-2（g）所示。由此可以看出两点：（1）用力法求解超静定结构的内力，是以多余力为基本未知量，以多余未知力作用处的位移为协调条件，将超静定结构转化为静定结构建立位移补充方程，从而解出多余未知力。（2）在力法的计算过程中，关键是确定3个要素，即基本未知量、基本结构和力法方程。15.1.2力法典型方程用力法求解超静定问题的基本方法如下：(1)将超静定结构的多余约束去掉，以未知的约束反力（基本未知量）代替。这样，超静定结构就变成了在荷载和未知力共同作用下的静定结构——基本结构。(2)根据基本结构与实际结构的位移相同，即位移协调条件，建立补充方程，求解未知力。结构的超静定次数反映了结构具有的多余约束的数目，因此它也决定了基本未知量的数目。解决超静定结构的关键是求出结构的基本未知量，而基本结构就是计算超静定结构的计算对象。对于一个超静定结构来说，基本结构有多种形式，但不论采用哪种形式，基本未知量的数目是相同的。15.1.2力法典型方程图15-3(a)所示的刚架有六个支座约束，其中三个是多余的，所以这是一个三次超静定结构。现选择去掉B支座的三个约束，用多余未知力X1、X2和X3代替其作用，得到图15-3(b)所示的基本结构。

图15-3力法典型方程推导用图(a)原结构(b)基本结构(c)1=1作用(d)2=1作用(e)3=1作用(f)作外荷载作用15.1.2力法典型方程在原结构中，B为固定端支座，所以该处的水平位移、竖直位移和角位移都为零。因此，受外荷载P和多余未知力X1、X2和X3共同作用的基本结构中的B点沿X1方向的水平位移Δ1，沿X2方向的竖向位移Δ2和沿X3方向的角位移Δ3都应分别等于零，即

Δ1=0，Δ2=0，Δ3=015.1.2力法典型方程若单位力X1=1单独作用时，引起X1的作用点沿X1、X2和X3方向的位移分别为δ11、δ21、δ31，如图15-3(c)所示，则未知力X1单独作用时相应的位移为δ11X1、δ21X1、δ31X1。若单位力X2=1单独作用时，引起X2作用点沿X1、X2和X3方向相应的位移为δ12、δ22、δ32，如图15-3(d)所示，则未知力X2单独作用时，相应的位移为δ12

X2、δ22

X2、δ32

X2。同理，若单位力X3=1单独作用时，相应位移为δ13、δ23、δ33，如图15-3(e)所示。则未知力X3单独作用时，相应的位移为δ13X3、δ23X3、δ33X3。在荷载单独作用下相应的位移为Δ1P

、Δ2P、Δ3P，根据叠加原理，位移条件可写成15.1.2力法典型方程上式是由位移条件所建立的可求解多余力X1、X2和X3的三次超静定力法典型方程。对于n次超静定结构，同理可建立求解n个多余未知力的力法典型方程。首先去掉n个多余约束，用n个多余未知力代替，得到同时受荷载和n个多余未知力作用的基本结构，相应地在n个多余约束处建立n个位移条件——基本结构中沿n个多余力方向的位移与原结构中该方向的位移相等。15.1.2力法典型方程根据叠加原理，位移协调条件可写为

(15-4)15.1.2力法典型方程式(15-4)的方程组具有一定规律，不论超静定结构的类型、次数及所选取的基本结构如何，它在荷载作用下的力法方程都具有该公式的形式，故称式(15-4)为n次超静定的力法典型方程。在式(15-4)中，系数δij和自由项ΔiP都代表基本结构的位移。位移符号中采用两个下标，第一个下标表示位移的方向，第二个下标表示产生位移的原因。例如，ΔiP为由荷载产生的沿Xi方向的位移；δij为由单位力Xj=1产生的沿Xi方向的位移，常称为柔度系数。15.1.2力法典型方程在式(15-4)的方程组中，位于从左上方δ11至右下方δnn的一条主对角线上的系数δii称为主系数；主对角线两侧的其他系数δij(i≠j)称为副系数；最后一项ΔiP称为自由项。所有的系数和自由项都是基本结构上与某一多余未知力Xi作用方向相应的位移，并规定与所设的多余未知力Xi作用方向一致时为正。因为主系数δii代表由单位力Xi=1作用时，在其本身方向引起的位移，它必然与单位力Xi=1的方向一致，所以主系数恒为正数。而副系数δij(i≠j)则可正、可负或为零。根据位移互等定理有

δij=δji

15.1.2力法典型方程因为基本结构是静定的，所以力法方程中的各系数和自由项都可按第14章中求位移的方法计算。对于梁和刚架，可按式（15-5）或图乘法计算：

(15-5)

式中，Mi、Mj和MP分别代表Xi=1、Xj=1和荷载单独作用下基本结构的弯矩图。15.1.2力法典型方程从力法方程中解出多余力Xi(i=1、2、……、n)后，就可用静定结构中的计算方法算出其余反力和内力，或按下述叠加原理求出最后内力，即

(15-6)

式中，Mi、FSi和FNi是基本结构由于Xi=1作用而产生的内力，MP、FSP和FNP是基本结构由于荷载作用而产生的内力。15.1.3力法计算步骤与示例根据以上所述，力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：（1）选取基本结构。去掉原结构的多余约束，并以多余未知力代替相应多余约束的作用，从而得到基本结构。（2）建立力法方程。根据基本结构在去掉多余约束出的位移等于原结构相应位置的位移，建立力法方程。（3）求系数和自由项。对于一般结构，可用图乘法计算力法方程中的系数和自由项。对于曲杆或变截面杆则不能用图乘法。这是，必须列出弯矩方程，用位移公式计算。15.1.3力法计算步骤与示例（4）解力法方程，求解各多余未知力。（5）求出多余未知力后，即可用叠加法绘出原结构的最后弯矩图。然后根据弯矩图用平衡条件求剪力图和轴力图。以下分别举例说明用力法计算超静定梁、刚架、超静定桁架、排架、组合结构的具体方法。15.1.3力法计算步骤与示例

1.超静定梁和刚架【例3-1】

图15-4【例15-1】图

(a)原结构(b)基本结构(c)MP图（d）M1图(e)M2图（f）M3图(g)M图(h)FS图15.1.3力法计算步骤与示例15.1.3力法计算步骤与示例

2.超静定桁架用力法计算超静定桁架时，因为桁架只承受结点荷载，杆件均为等截面直杆且只产生轴力，所以力法典型方程中的系数和自由项的计算公式为

(15-7)桁架各杆的最后内力可按叠加法计算如下。

(15-8)15.1.3力法计算步骤与示例【例15-2】图15-5【例15-2】图15.1.3力法计算步骤与示例【解】(1)确定基本结构。此桁架是一次超静定结构，现切断FC杆，并用多余力X1代替，得到图15-5(b)所示的基本结构。(2)建立力法方程。根据切口两侧截面沿杆轴方向的相对线位移为零的条件，可建立力法方程，即

δ11X1+Δ1P=015.1.3力法计算步骤与示例15.1.3力法计算步骤与示例

3.排架排架常用于装配式单层工业厂房，其屋架简化为一刚度无限大的直杆(杆件)，屋架与柱之间的联结为铰接。用力法分析排架时，常取杆件的轴力作为基本未知力，其基本结构为一组与地面固结的竖向的悬臂梁(柱)，其他计算步骤与梁相同。15.1.3力法计算步骤与示例【例15-3】图15-6【例15-3】图15.1.3力法计算步骤与示例15.1.3力法计算步骤与示例

4.组合结构

组合结构中的梁式杆件既承受弯矩又承受轴力，而桁架杆件只承受轴力作用。其用力法计算过程同前。15.1.3力法计算步骤与示例【例15-7】15.1.3力法计算步骤与示例

图15-7【例15-4】图

(a)原结构(b)基本结构(c)FN1图(d)M1图(e)MP图(单位：kN·m)(f)

FN图(单位：kN)(g)M图(单位：kN·m)(h)M图(单位：kN·m)15.1.3力法计算步骤与示例PART15.2利用对称性计算超静定结构的内力15.2利用对称性计算超静定结构的内力实际工程中很多结构是对称的，利用它的对称性可简化内力的计算过程。用力法分析超静定结构时，力法方程是多余未知力的线性代数方程组，需要计算方程的系数和解联立方程。其结构的超静定次数越多，方程数量越多，计算工作量就越大。而主要工作量的大小取决于力法典型方程，并且需要计算大量的系数和自由项并求解该线性方程组。利用对称性来计算超静定结构，其目的就是简化计算过程。要简化计算过程必须从简化力法典型方程着手。15.2利用对称性计算超静定结构的内力若能使力法典型方程中的一些系数和自由项等于零，则可使计算得到一定程度的简化。通过对力法典型方程中系数的物理意义进行分析，可知主系数恒为正数，因此只能从副系数、自由项和基本未知量这三个方面考虑。力法典型方程简化的原则是使尽可能多的副系数和自由项等于零。这样不仅简化了系数的计算工作，也简化了联立方程的求解工作。为达到这一目的，可利用结构的对称性、荷载的对称性和反对称性来简化计算。15.2.1选取对称基本结构对称结构是指结构的几何形状和支撑情况关于某轴对称，杆件截面的刚度也关于此轴对称，如图15-8(a)所示。在工程实际中，许多结构都是对称的，利用对称性，适当选取基本结构，使力法方程中尽可能多的副系数和自由项等于零，可以达到计算简化的目的。

图15-8对称结构分析(a)刚架(b)基本结构(c)M1图(d)M2图(e)M3图15.2.1选取对称基本结构荷载可分为对称荷载和反对称荷载。对称荷载是指绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载彼此重合，即两者作用点相对应，大小相等，方向相同。反对称荷载是指绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载正好相反，即两者作用点相对应，大小相等，方向相反。同理，未知的约束力也可分为对称约束力和反对称约束力。15.2.1选取对称基本结构将图15-8(a)所示的刚架在水平横梁拆开，可得图15-8(b)所示的基本结构。多余未知力中轴力X1和弯矩X2是对称的，而剪力X3是反对称的。由图15-8(c)、(d)、(e)可知，力法方程中的系数δ13=δ31=δ23=δ32=0，δ12=δ21=δ23=δ32=0。于是力法典型方程可简化为(15-9)15.2.1选取对称基本结构由此可知，用力法计算对称结构时，若取对称的基本结构且多余未知力都是对称和反对称力，则力法方程可分成两组：一组只包含对称未知力，另一组只包含反对称未知力。由于选用对称结构，使力法方程阶次降低，从而使计算得到简化。15.2.2荷载分组根据荷载正对称和反对称的特点，可分别讨论两种情况下对称结构的内力特点，如图15-9、图15-10所示。

图15-9正对称荷载内力分析

(a)正对称(X3=0)(b)正对称(M′P图)15.2.2荷载分组

图15-10反对称荷载内力分析

(a)反对称(X1=0，X2=0)(b)反对称(M″P

图)15.2.2荷载分组

1.正对称荷载当荷载是正对称时，荷载弯矩图M′P图必然是对称的，如图15-9(b)所示。由M′P图与图15-8(e)的M3图图乘，求得自由项Δ′3P=0。将其代入式(15-8)中，可得X3=0，即反对称未知力为零。由此得出结论：对称结构在正对称荷载作用下，反对称未知力为零，只有正对称未知力。计算时，可直接取如图15-9(a)所示的基本结构，由式(15-9)中的一、二式求出对称未知力X1、X2。15.2.2荷载分组

2.反对称荷载此时荷载弯矩图M″P图是反对称的，如图15-10(b)所示。可求得自由项Δ″1P=Δ″2P=0，将其代入式(15-8)中，得X1=X2=0，即对称未知力为零。由此得出结论：对称结构在反对称荷载作用下，正对称未知力为零，只有反对称未知力。综上所述，可以得出对称结构的受力和变形特点：在正对称荷载作用下，反力、内力和变形是对称的；在反对称荷载作用下，反力、内力和变形是反对称的。

15.2.2荷载分组【例15-5】图15-11【例15-5】图115.2.2荷载分组在正对称荷载的作用下，由于计算刚架时通常忽略轴力对变形的影响，也就是忽略横梁的压缩变形，因此，为了求作图15-11（a）所示刚架的弯矩图，只要作出图15-11（c）所示的刚架在反对称荷载作用下的弯矩图即可。反对称荷载作用下的基本结构如图15-12（a）所示。切口截面的弯矩、轴力都是正对称的未知力，应为零；只有反对称未知力X1存在。15.2.2荷载分组图15-12（b）、（c）所示为基本结构在荷载和未知力方向的单位力作用下的弯矩图。图15-12【例15-5】图215.2.2荷载分组15.2.2荷载分组刚架的弯矩图如图15-13所示。图15-13【例15-5】图3PART15.3超静定结构在温度变化和支座移动情况下的内力计算15.3超静定结构在温度变化和支座移动情况下的内力计算对于静定结构，在荷载作用下会产生内力，而在其他因素（如支座移动、温度改变、制造误差及材料的收缩膨胀等）影响下，不会产生内力。但是，对于超静定结构，在上述几种因素作用下，结构都将产生内力，这是超静定结构的重要特征之一。15.3超静定结构在温度变化和支座移动情况下的内力计算在温度变化和支座移动作用下，超静定结构之所以会产生内力，是因为有多余约束的存在。由于多余约束的存在限制了结构的自由变化和位移，因此产生了内力。当用力法计算温度变化和支座移动所产生的内力时，同样需要去掉多余约束，使结构变成静定的基本结构。基本结构在支座移动或温度变化等外在因素和多余未知力共同作用下，在多余未知力作用点处的位移应与原结构该处的实际位移相符合。根据这一位移协调条件，建立力法典型方程，并从力法典型方程中解出基本未知力，从而解决整个问题。15.3.1超静定结构在温度变化情况下的内力计算温度变化引起超静定结构的内力计算，方法同荷载作用下的计算相同，仍要判断超静定次数和选择适当的基本结构，不同点是力法方程中的自由项是由温度变化引起的基本结构上未知力作用点的位移，力法典型方程为

(15-10)

15.3.1超静定结构在温度变化情况下的内力计算式中，Δit是温度变化引起的基本结构(静定结构)未知力作用点的位移，可按前述内容计算得式中，在确定系数和自